Main Unknotting Dalam Talian

300000

Panduan ini akan memperkenalkan anda kepada subjek Teori Simpulan. Bahagian pertama memberikan pengenalan kepada konsep dan istilah teori matematik yang penting. Jika anda hanya mencari petua pantas untuk menyelesaikan teka-teki yang tidak mengikat, langkau ke bahagian kedua. Anda sentiasa boleh merujuk bahagian pertama jika makna beberapa perkataan tidak jelas.

Pengenalan dengan Definisi

Pengenalan
Perkara pertama dahulu : apa itu simpulan? Simpulan dalam matematik berbeza daripada simpulan dalam kehidupan seharian anda.

Apakah jenis simpulan yang anda gunakan setiap hari?

Bagaimanakah ini berbeza daripada simpulan matematik?

Adakah terdapat simpulan matematik dalam kehidupan seharian?

Sudah tentu! Anda kini tahu bahawa dalam matematik, simpulan ialah untaian tunggal, tertutup, berterusan.

Dengan definisi ini dalam fikiran, apakah simpulan matematik yang paling mudah?

Simpulan matematik yang paling mudah hanyalah satu gelung atau bulatan, seperti ini:

Kami akan membincangkan lebih lanjut mengenai simpulan ini kemudian, tetapi terdapat banyak contoh gelung mudah seperti ini dalam kehidupan sebenar.

Bagaimanakah anda boleh membuat simpulan matematik daripada seutas rentetan?

Simpulan matematik yang paling mudah ialah bulatan. Untuk membuatnya, hanya gamkan hujung tali anda bersama-sama.

Apa yang berlaku jika anda memutar bulatan anda sekali?

Adakah ini simpulan yang berbeza?

Bolehkah semua simpulan diubah bentuk untuk membuat bulatan?

Sejauh manakah perbezaan gambar rajah simpulan boleh kelihatan daripada bentuk yang paling mudah?

Bagaimanakah permainan Unknotting berfungsi?

Definisi
Mulai sekarang, kita hanya bercakap tentang simpulan matematik. Untuk mengelakkan salah faham dan untuk dapat memutuskan sama ada mana-mana kenyataan itu benar atau salah, kita harus mulakan dengan mentakrifkan makna beberapa perkataan untuk seluruh halaman ini.
garisan simpulan:

lengkung tertutup dalam ruang 3 dimensi yang tidak bersilang sendiri dan yang mempunyai ketebalan terhingga (untuk mengelakkan banyak simpulan yang lebih kecil dan lebih kecil di sepanjang garisan), Contoh: simpulan-8.
Gambar rajah simpulan:
Unjuran garis simpulan ke dalam 2 dimensi di mana bahagian garisan simpulan yang berlainan boleh bersilang antara satu sama lain (di laman web ini garisan bersilang di bawah sudut 90°), tetapi tidak terletak di atas satu sama lain.

Membuka simpulan



Trefoil



Rajah-lapan



Cinquefoil



Tiga pusingan

'Unknot' juga dipanggil 'simpulan remeh'.
Simpulan manakah yang diwakili oleh setiap 3 gambar rajah ini?

Untied (simpulan). Adakah anda melihat bagaimana mereka boleh berubah bentuk menjadi segi empat tepat?

Simpulan manakah yang diwakili oleh rajah ini?

Trefoil.

Adakah anda melihat bagaimana untuk mengubah bentuknya menjadi rajah trefoil terdahulu?

Anda boleh mengubah bentuk gambar rajah ini kepada yang lain dengan membalikkan arka atas.

simpulan matematik (atau ringkasnya, simpulan):
objek abstrak di sebalik satu set gambar rajah simpulan (tak terhingga) yang semuanya boleh berubah bentuk, diregangkan dan dialihkan antara satu sama lain tanpa dipotong. Contoh: simpulan 3₁ juga dipanggil 'trefoil' yang merupakan simpulan bukan remeh.

isotop ambien:
istilah matematik apabila satu garisan simpulan boleh diputarbelitkan secara berterusan kepada yang lain.

Langkah:
Di laman web ini gambar rajah simpulan dilukis menggunakan hanya 6 jubin yang kami panggil langkah:

Menyeberangi:
tempat dalam rajah di mana dua langkah bersilang, satu di atas yang lain:

Pas:
langkah yang merupakan sebahagian daripada lintasan, terdapat laluan berlebihan (kelihatan sepenuhnya) dan laluan bawah (sebahagiannya ditutup).

Tukar:
bertukar-tukar lintasan atas dan bawah lintasan, iaitu bertukar antara kedua-dua lintasan ini:

Jika lintasan ditukar, rajah lama dan baru secara umum mewakili simpulan yang berbeza. Menukar semua lintasan adalah bersamaan dengan menukar simpulan kepada imej cerminnya. Sesetengah simpulan adalah sama dengan versi cermin mereka, ini bermakna terdapat isotop ambien di antara mereka. Ini dipanggil 'achiral'. Sebagai contoh, simpulan angka-8 adalah achiral. Yang lain tidak boleh diubah bentuk kepada versi cermin mereka, seperti trefoil. Mereka dipanggil 'kiral'.
Bolehkah simpulan ini diubah bentuk menjadi imej cerminnya?

Ya! Rajah ini mewakili simpulan angka lapan yang merupakan achiral dan boleh berubah bentuk menjadi imej cerminnya seperti berikut:

Kedudukan awal

Putaran 180°

Menggerakkan helai

Imej cermin

Perhatikan bahawa satu-satunya perbezaan antara rajah pertama dan yang terakhir ialah semua lintasan ditukar!

Orientasi:
Ini bukan sifat garis simpulan, mahupun simpulan. Ia adalah persoalan bagaimana untuk bergerak di sepanjang garis simpulan. Seseorang boleh bergerak dalam 2 arah, juga dipanggil 2 orientasi.

Simpulan yang boleh berubah bentuk melalui isotop ambien ke dalam dirinya sendiri tetapi dengan orientasi terbalik dipanggil 'boleh balik' jika tidak, ia dipanggil tidak boleh diterbalikkan. Simpulan tidak boleh terbalik terkecil ialah 8₁₇ yang merupakan achiral tetapi jika orientasi ditambah ia menjadi kiral (cari lebih lanjut laman Wikipedia Simpulan Boleh Terbalik). Menambah lebih banyak struktur (di sini orientasi) menyebabkan 8₁₇ kehilangan simetri (tidak sama lagi dengan imej cerminnya).

Simpulan angka lapan yang disebutkan di atas mempunyai nombor lintasan 4, jadi kurang daripada 8, dan oleh itu mesti boleh diterbalikkan.
Bagaimanakah simpulan angka lapan boleh diubah bentuk untuk membiarkan gambar rajahnya tidak berubah, tetapi dengan orientasi terbalik?
Urutan berikut membuktikan bahawa simpulan itu boleh diterbalikkan kerana gambar rajah simpulan ini boleh diubah bentuk ke dalam rajah yang sama tetapi dengan orientasi terbalik.

Unjuran awal

Penghalaan semula

Selepas itu

Penghalaan semula

Selepas itu

Penghalaan semula

Selepas itu

Penghalaan semula

Selepas itu

Selepas itu

Dilebarkan, sekarang
dengan orientasi yang bertentangan

Dalam contoh terdahulu, simpulan angka lapan telah diubah melalui ubah bentuk mudah ke dalam imej cerminnya. Ubah bentuk ini juga mengubah orientasi- sila sahkan sendiri! Jadi, jika seseorang ingin mengubah bentuk gambar rajah kepada imej cerminnya tanpa membalikkan orientasi, maka seseorang hanya boleh menggabungkan kedua-dua jujukan.

Simpulan kiral (simpulan yang tidak boleh diubah bentuk kepada imej cerminnya) masih boleh diterbalikkan (simetri terhadap perubahan orientasi). Simpulan sedemikian dipanggil 'boleh diterbalikkan'.

Tangan bersilang:
Untuk gambar rajah simpulan tertentu, lintasan sama ada tangan kanan atau kiri.
Dalam perkara berikut kita akan meneroka dua jenis lintasan dan menentukan mana yang kidal atau kanan.
Berapa banyak lintasan berbeza yang terdapat jika kita mempertimbangkan laluan mana yang merupakan laluan atas/bawah dan mempertimbangkan kedua-dua orientasi?
Secara keseluruhan terdapat 8 kes:
Jika pas mendatar adalah lintasan maka terdapat 4 pilihan:

1

2

3

4

Begitu juga jika laluan menegak ialah laluan lampau, maka terdapat 4 pilihan lagi:

5

6

7

8

Prinsip: Tangan tidak boleh bergantung kepada orientasi (arah melangkah melalui garis simpulan), jadi membalikkan kedua-dua anak panah kita mengenal pasti 4 pasang lintasan: 1 = 4, 2 = 3, 5 = 8, 6 = 7. Oleh itu, mana-mana kumpulan yang kita hadapi, lintasan 1 dan 4 harus berada dalam kumpulan yang sama dan seterusnya.
Prinsip: Kumpulan yang dimiliki oleh persimpangan tidak boleh berubah jika kita memutar keseluruhan simpulan. Oleh itu, kami mengenal pasti lintasan 1 = 7 = 4 = 6 dan 2 = 5 = 3 = 8.
Selepas semua pengenalpastian, kami masih mempunyai 2 kumpulan:
Persimpangan dalam kumpulan 1, 7, 4, 6 dipanggil lintasan tangan kanan dan
Lintasan dalam kumpulan 2, 5, 3, 8 dipanggil lintasan tangan kiri.

Jika seseorang mengekalkan rajah tidak berubah dan hanya menukar satu lintasan, adakah tangan lintasan itu berubah?
Ya. Cuba tukar mana-mana daripada lapan lintasan, kemudian semak yang mana satu telah menjadi dan semak sama ada ia masih dalam kumpulan tangan yang sama. Sebagai contoh, menukar persilangan 1 memberikan persilangan 5, kedua-duanya berada dalam kumpulan tangan yang berbeza.

Penyata: Persoalan sama ada lintasan adalah tangan kanan atau kiri bukan sahaja bergantung pada lintasan itu sendiri tetapi pada rajah di sekelilingnya.

Bukti: Sama ada hantaran mendatar di atas atau di bawah tidak sendirian menentukan tangan. Kedua-dua kes boleh menjadi tangan kanan dan kiri (lihat 8 lintasan di atas). Jika seseorang memutar simpulan supaya lintasan mendatar dan jika seseorang kemudian meninggalkan lintasan melalui laluan atas ke kanan (ke Timur) maka ia bergantung kepada simpulan yang lain sama ada seseorang kembali ke lintasan dari Selatan (maka lintasan itu tangan kanan) atau dari Utara (maka lintasan itu kidal).

Hakikat bahawa kedua-dua kumpulan lintasan dipanggil tangan kiri dan kanan memberi petunjuk bahawa seseorang boleh membezakan lintasan dengan tangan kiri dan kanan.

Dengan menggunakan tangan seseorang, bagaimana seseorang boleh mengingati sama ada lintasan itu tangan kanan atau kiri?
Regangkan jari anda supaya semuanya berada dalam satu satah, dan ibu jari anda berada pada sudut tepat kepada semua yang lain yang selari antara satu sama lain. Putar tangan anda supaya anda boleh melihat tapak tangan anda dan ibu jari anda menghala ke arah keluar laluan dan jari anda menunjuk ke arah keluar laluan bawah. Tangan yang boleh melakukan itu menentukan tangan tangan. Sebagai contoh, untuk lintasan di bawah, anda akan menghulurkan tangan anda seperti ini:

Oleh kerana anda hanya boleh melakukan ini dengan tangan kiri anda, ini adalah lintasan tangan kiri.

Persimpangan kanan dan kiri juga dirujuk sebagai persimpangan positif atau negatif.

Nombor menggeliat:
perbezaan antara bilangan lintasan kiri dan kanan dalam satu rajah. Nombor menggeliat mencirikan rajah, bukan simpulan kerana mungkin terdapat 2 gambar rajah berbeza bagi simpulan yang sama dengan nombor menggeliat yang berbeza.

Berapakah nombor menggeliat rajah ini?
Lintasan kanan dalam rajah diserlahkan dengan warna merah dan lintasan kiri dalam warna hijau. Untuk mendapatkan nombor menggeliat, kita boleh mengira bilangan lintasan kiri dan kanan, kemudian tolak bilangan lintasan tangan kanan daripada bilangan lintasan tangan kiri.

Rajah ini mempunyai 2 lintasan tangan kiri dan 4 lintasan tangan kanan, jadi nombor menggeliatnya ialah 2 − 4 = −2.

simpulan tidak berubah:
nombor atau polinomial atau pernyataan kebolehlaksanaan yang merupakan ciri untuk semua (tak terhingga) gambar rajah simpulan. Sifat-sifat simpulan ialah kiral/achiral, boleh balik/tidak boleh balik, boleh balik ialah invarian simpulan.

nombor lintasan:
bilangan minimum lintasan yang mana-mana rajah simpulan ini boleh ada selepas ubah bentuk, ini adalah ciri setiap simpulan dan oleh itu invarian simpulan.
Berapakah bilangan lintasan yang ada pada rajah ini?

Rajah ini mempunyai 5 lintasan.

Berapakah nombor silang simpulan yang diwakili melalui rajah di atas?
Sifar! Nombor lintasan adalah sifat simpulan matematik abstrak, ia bukan sifat rajah. Rajah di atas boleh diubah bentuk untuk mendapatkan simpulan yang tidak yang mempunyai lintasan sifar.

Adakah anda melihat bagaimana?

Oleh kerana nombor lintasan ialah bilangan minimum lintasan mana-mana rajah simpulan dan kerana seseorang tidak boleh mempunyai kurang daripada sifar lintasan, nombor lintasan simpulan yang diwakili oleh rajah di atas adalah sifar.

Apakah dua nombor lintasan terendah yang boleh dimiliki oleh simpulan?
Nombor lintasan terendah tergolong dalam unknot iaitu 0. Gambar rajah simpulan dengan 1 persimpangan akan kelihatan seperti:

dan boleh berubah bentuk kepada simpulan. Gambar rajah simpulan dengan 2 lintasan akan kelihatan seperti

dan juga boleh berubah bentuk kepada unknot.
Gambar rajah trefoil yang ditunjukkan lebih lanjut di atas mempunyai 3 lintasan dan tidak boleh diubah bentuk kepada simpulan, jadi nombor lintasan terendah ialah 0 dan 3.

Arc:
Bahagian garis simpulan dalam rajah dari satu lintasan ke seterusnya.
Berapakah bilangan arka yang ada pada gambar rajah dengan persimpangan N ?
Setiap lintasan mempunyai 4 hujung arka. Setiap arka mempunyai 2 hujung, jadi terdapat 4/2 = 2 kali lebih banyak arka daripada lintasan, jadi 2arka N .

Lubang:
ruang kosong dalam rajah yang dikelilingi oleh arka. Seluruh ruang kosong di luar rajah juga merupakan satu lubang.
Berapakah bilangan lubang yang ada pada gambar rajah dengan persimpangan N ?
Seseorang boleh melukis beberapa simpulan dan meneka formula tetapi seseorang boleh memperolehnya juga. Formula Euler mengatakan bahawa untuk mana-mana lukisan dalam satah di mana m garisan (di sini m = 2N arka) masing-masing menyambung 2 daripada n titik (di sini n = N lintasan) maka bilangan f muka (di sini lubang) ialah f = 2 + m − n. Itu memberikan bilangan lubang simpulan: 2 + 2N − N = N + 2

over-helai:
Urutan arka berturut-turut dalam rajah (iaitu arka mengikuti satu sama lain) yang bermula dan berakhir pada laluan bawah dan sebaliknya melibatkan 0, 1 atau lebih laluan berlebihan.

bawah helai:
Urutan arka berturut-turut dalam rajah (iaitu arka mengikuti satu sama lain) yang bermula dan berakhir pada lintasan dan sebaliknya melibatkan 0, 1 atau lebih laluan bawah.

(Dalam kesusasteraan, 'helai' sering digunakan untuk apa yang kita panggil helai berlebihan. Bagi kami, bilangan lintasan over-strand penting serta bilangan under-pass under-strand. Oleh itu, kami mempertimbangkan helai bawah dan juga helai lebih.)

Apakah jenis helai yang ditunjukkan garis mendatar yang terdiri daripada lima arka?

Ini ialah untaian bawah dengan 4 laluan bawah.

Berapakah bilangan helai berlebihan yang ada pada gambar rajah dengan persimpangan N ?
Pada setiap lintasan terdapat 2 hujung helai (sama ada satu hujung 2 helai berbeza atau kedua-dua hujung dari satu helai). Sebaliknya, setiap helai mempunyai 2 hujung yang berada di persimpangan. Oleh itu bilangan lintasan adalah sama dengan bilangan helai atas dan kerana simetri juga sama dengan bilangan helai bawah, jadi terdapat N setiap satu.

Reidemeister bergerak:
Pada tahun 1927 ahli matematik Jerman Kurt Reidemeister dan, secara bebas, James Waddell Alexander dan Garland Baird Briggs (1926), membuktikan bahawa mana-mana dua gambar rajah yang mewakili simpulan yang sama boleh diubah bentuk antara satu sama lain melalui urutan hanya 3 jenis pergerakan yang berbeza. Masalahnya ialah semasa ubah bentuk bilangan lintasan mungkin meningkat buat sementara waktu dan batas atas yang tajam untuk peningkatan ini tidak diketahui serta bilangan pergerakan yang diperlukan.

Reidemeister 1 langkah:
mengalih keluar atau menambah lubang yang dikelilingi oleh satu arka:





Rajah manakah yang menunjukkan lintasan tangan kiri dan yang mana menunjukkan lintasan tangan kanan?
Gambar rajah kiri menunjukkan lintasan tangan kanan dan rajah kanan menunjukkan lintasan tangan kiri. Oleh itu, langkah Reidemeister 1 mengubah bilangan lintasan tangan kanan atau kiri sebanyak 1 dan dengan itu mengubah bilangan rajah yang menggeliat.

Reidemeister 2 bergerak:
mengalih keluar atau menambah lubang yang dikelilingi oleh 2 arka:





Apa yang boleh dikatakan tentang tangan dua lintasan yang ditambah atau dikeluarkan dalam langkah Reidemeister 2?
Salah satu daripada dua lintasan adalah tangan kanan dan satu lagi kidal. Oleh itu, langkah Reidemeister 2 tidak mengubah nombor menggeliat rajah.

Reidemeister 3 langkah:
mengeluarkan dan menambah lubang yang dikelilingi oleh 3 arka.
2 jenis lubang yang manakah dikelilingi oleh 3 arka yang boleh anda fikirkan?
Sama ada:

1) Setiap arka mempunyai 1 hantaran berlebihan dan 1 laluan bawah:

maka tiada satu pun daripada 3 arka boleh dialihkan ke atas/bawah/melalui lintasan yang lain

Atau:

2) Satu arka mempunyai 2 hantaran berlebihan, satu mempunyai 1 hantaran atas dan 1 hantaran bawah, dan satu mempunyai 2 hantaran bawah:

Kemudian terdapat 3 pergerakan. Seseorang boleh menggerakkan over-over-strand yang kekal over-over-strand:

atau gerakkan under-over-strand yang menjadi over-under-strand:

atau gerakkan untaian bawah yang kekal untaian bawah:

Sahkan bahawa hasil daripada 3 langkah sentiasa sama.
Apabila membandingkan bahagian kanan pergerakan di atas, mudah untuk melihat bahawa kesemua 3 langkah menghasilkan hasil yang sama. Oleh itu, jika terdapat langkah Reidemeister 3 maka hanya ada satu. Semua perubahan itu ialah untuk semua 3 arka dua arka yang lain kini disilangkan dalam susunan terbalik. Ini bermakna bahawa untuk arka tengah susunan over-pass dan under-pass diterbalikkan.

Adakah tangan 3 lintasan berubah dalam langkah Reidemeister 3?
Tidak. Untuk melihatnya, pilih mana-mana orientasi untuk setiap helai dan gunakan peraturan tangan di atas.

Apa yang telah kita pelajari?
Kami belajar:
bagaimana untuk mengesan lubang dengan 3 arka yang membolehkan pergerakan Reidemeister 3,
bahawa untuk lubang sedemikian tidak kira arka mana yang digerakkan,
bahawa tangan 3 lintasan tidak berubah,
bahawa susunan hantaran atas dan bawah diterbalikkan untuk arka tengah.
Semua penemuan ini akan berguna lagi di bawah apabila kita belajar untuk memudahkan simpulan.

hantaran bergerak:
Ini tiada kaitan dengan 'lulus' yang ditakrifkan di atas. Gerakan hantaran menggantikan helai atas (bawah) dengan helai atas (bawah) yang lain di mana kedua-dua helai mempunyai hujung yang sama. Sebagai contoh, sila lihat pergerakan P-, P0 dan P+ di bawah.

P- bergerak:
pergerakan hantaran di mana helai baharu mempunyai hantaran yang kurang daripada helai lama.
Cari gerakan P menggantikan helai hijau dalam rajah ini:

Dalam rajah ini, helai merah baru mempunyai lebih sedikit pas daripada helai hijau lama. Oleh itu rajah ini menunjukkan langkah P-.

P0 bergerak:
pergerakan hantaran di mana helai baharu mempunyai bilangan hantaran yang sama dengan helai lama.
Cari langkah P0 menggantikan helai hijau dalam rajah ini:

Dalam rajah ini, helai merah baru mempunyai bilangan pas yang sama seperti helai hijau lama. Oleh itu rajah ini menunjukkan pergerakan P0.

P+ bergerak:
pergerakan hantaran di mana helai baru mempunyai lebih banyak hantaran daripada helai lama.
Cari langkah P + menggantikan helai hijau dalam rajah ini:

Dalam rajah ini helai merah baru mempunyai satu lagi pas daripada helai hijau lama, oleh itu ini adalah langkah P+.

Pergerakan P+ menjadi perlu jika seseorang ingin menukar nombor menggeliatkan rajah. Lebih lanjut mengenainya diterangkan lebih lanjut di bawah 'Mencari Pergerakan P0'.

Nombor yang tidak mengikat:
Nombor yang tidak mengikat ialah sifat simpulan, bukan sifat rajah dan oleh itu merupakan invarian simpulan.
Bermula dengan rajah simpulan, ia adalah bilangan minimum bahawa satu atau lebih lintasan perlu ditukar untuk mendapatkan simpulan. Sebelum suis pertama dan di antara suis, rajah boleh berubah bentuk sewenang-wenangnya. Oleh itu, nombor yang tidak mengikat bukanlah nombor yang mudah untuk ditentukan kerana sebarang ubah bentuk dibenarkan.
Mengapa trefoil mempunyai nombor 1 yang tidak diikat?
Trefoil tidak boleh mempunyai nombor unknotting 0 kerana ia tidak boleh diubah bentuk menjadi unknot (ini perlu dan boleh dibuktikan). Unknot mempunyai nombor untied 0. Jadi trefoil mempunyai nombor ≥1 yang tidak diikat. Sebaliknya seseorang boleh melihat dengan mudah bahawa menukar mana-mana satu lintasan rajah trefoil yang ditunjukkan lebih lanjut di atas menghasilkan unknot, jadi nombor untied trefoil ialah ≤1. Jika ia adalah ≥1 dan ≤1 maka ia mestilah =1.

Cara Memudahkan Gambar Rajah

Mencari Pergerakan R1
Kes mudah pergerakan R1, seperti di sini:

di mana seseorang boleh membalikkan gelung 4 kali dan serta-merta mendapat simpulan mudah dikesan dengan mengikuti garisan simpulan dan mencari arka dengan kedua-dua hujung pada lintasan yang sama. Susunan melakukan gerakan R1 tidak penting.

Tetapi terdapat kes yang lebih umum untuk menggunakan langkah Reidemeister 1. Jika over-strand bermula pada persimpangan yang mana ia adalah jejambat tetapi sebaliknya terletak sepenuhnya di atas arka lain (oleh itu dipanggil 'over-strand') maka gelung ini pasti boleh menjadi jalan pintas dan dengan itu dikeluarkan. Sebagai contoh, pada mulanya gelung di atas di tengah boleh dikeluarkan dan kemudian yang lain, satu demi satu:

Gelung ini juga boleh dikeluarkan apabila berbaring sepenuhnya di bawah:

Mencari Pergerakan R2
Begitu juga dengan gerakan R1, mudah untuk melihat prototaip gerakan R2 seperti di sini di mana dua gerakan R2 perlu dilakukan sebelum gerakan R1 menghasilkan unknot:

Dalam contoh berikut, seseorang perlu melakukan gerakan R2 dengan helai yang sama dua kali, sekali menarik helai ini dari bawah dan sekali dari atas:

Langkah terakhir bukanlah langkah R2. Ia hanya ditambah untuk menunjukkan bahawa simpulan itu adalah jumlah dua simpulan trefoil.

Mengenai Antara Muka (1)
Contoh di atas sesuai untuk menunjukkan penggunaan antara muka yang optimum. Selepas memintas garisan simpulan:

Seseorang TIDAK boleh berundur satu hujung sepanjang jalan; dan kemudian berundur hujung yang lain sepanjang jalan kerana seseorang akan terlebih dahulu mengeluarkan laluan bawah dan mempunyai kedua-dua hujung dalam status laluan bawah dan dalam status ini tidak mungkin untuk mengalih keluar laluan bawah. Sebaliknya, satu mengeluarkan satu laluan bawah, melompat ke hujung yang lain, mengeluarkan laluan bawah yang lain yang membawa kedua-dua hujung ke dalam lubang yang sama, yang menukar hujung kepada status neutral dan kemudian membolehkan untuk mengeluarkan hantaran berlebihan dan kemudian menyatukan semula hujungnya. Pendek kata, seseorang melompat antara hujung untuk mengeluarkan semua laluan bawah kemudian semua laluan berlebihan dan sebagainya.

Pelaksanaan status akhir ini bukanlah kelemahan program, tetapi ia menjamin bahawa pengubahsuaian interaktif rajah tidak mengubah simpulan matematik.

Mencari P- Bergerak
P- bergerak menggantikan helai atas dengan yang mempunyai hantaran berlebihan yang kurang atau untaian bawah dengan yang mempunyai hantaran bawah yang kurang. Dalam kedua-dua kes, bilangan lintasan dikurangkan.

Untuk mencari pergerakan sedemikian, satu langkah melalui garisan simpulan dan mencari sebanyak mungkin lintasan berturut-turut atau sebanyak mungkin laluan bawah berturut-turut, sekurang-kurangnya dua. Jika seseorang menjumpai helai sedemikian, sebagai contoh, over-strand maka seseorang cuba mencari laluan alternatif dengan lebih sedikit over-pass yang menghubungkan dua hujung under-pass yang sama.

Dalam contoh berikut, helai dengan 4 laluan bawah berturut-turut digantikan dengan helai tanpa laluan bawah dan kemudian helai ini dengan 3 laluan berlebihan berturut-turut digantikan dengan helai dengan satu laluan berlebihan. Dua lagi gerakan P- keluarkan setiap 2 lagi lintasan. Gambar rajah yang terhasil boleh dipermudahkan lagi dengan dua lagi langkah R1, seperti yang dilihat di bawah.

Semakin banyak hantaran berturut-turut daripada satu jenis yang ditemui, semakin tinggi peluang untuk mencari laluan berbeza yang memerlukan lebih sedikit hantaran.

Mencari Pergerakan R3
Pergerakan R1, R2 dan P- mengubah bilangan lintasan. Langkah R3 tidak mengubah bilangan lintasan, oleh itu kami meletakkan penerangannya selepas pergerakan P-. Contoh berikut menunjukkan bagaimana pergerakan R3 masih boleh berguna dengan membolehkan pergerakan P. Seperti yang diterangkan dalam bahagian pertama, lubang R3 dikelilingi oleh arka atas dengan 2 hujung hantaran berlebihan (di sini A,B), arka tengah dengan 1 hujung laluan berlebihan (C) dan 1 hujung laluan bawah (B) dan arka bawah dengan 2 hujung laluan bawah (di sini A,C).

(unknot diambil daripada laman Wikipedia Unknot)

Kami mendapati dalam bahagian di atas bahawa pergerakan R3 terbalik untuk helai tengah (di sini melalui B,C) susunan laluan bawah dan lepas. Pergerakan R3 adalah bermanfaat jika langkah R3 membawa kepada kesinambungan arka tengah kepada peningkatan hantaran berlebihan berturut-turut dan/atau laluan bawah berturut-turut dan dengan itu meningkatkan peluang untuk mencari gerakan P. Ini berlaku jika dalam kesinambungan arka tengah selepas laluan bawah B datang laluan berlebihan (D,E ialah laluan lepas) dan/atau selepas laluan berlebihan (C) mengikuti laluan bawah (F,G,H ialah laluan bawah). Gerakan R3 menggelongsor arka tengah BC antara arka atas dan arka bawah pada A:

Sebelum ini, hanya terdapat 2 lintasan berturut-turut di D dan E, kini terdapat 3 di C, D dan E. Over-strand yang lebih panjang ini kini boleh dihalakan semula dalam gerakan P:

mengurangkan bilangan lintasan sebanyak 2 daripada 13 kepada 11.

Selain itu, bahagian lain helai boleh dihalakan semula dalam gerakan P. Sebelum ini, terdapat 3 laluan bawah berturut-turut di F, G dan H, kini terdapat 4 di B, F, G, dan H. Langkah P ini membawa kepada:

dan juga mengurangkan bilangan lintasan sebanyak 2. Kedua-dua gambar rajah boleh dipermudahkan lagi melalui pergerakan P- dan R1 yang akhirnya tidak diikat. Bolehkah anda melihat bagaimana? Ikut sahaja petunjuk tentang cara mengesan gerakan P yang diberikan di atas.

Mari kita amalkannya dengan contoh.

Berapa banyak pergerakan R3 yang mungkin dalam rajah ini:

Tiga langkah R3 boleh dilakukan. Untuk setiap satu kami menunjukkan dalam warna biru muda tiga arka yang terlibat. Apa yang mudah diabaikan ialah yang ketiga di mana lubang itu adalah keseluruhan ruang luar yang 'dikelilingi' oleh hanya 3 arka.

1. R3 bergerak

2. R3 bergerak

3. R3 bergerak

Laksanakan 1. R3 bergerak dan ketahui sama ada ia bermanfaat:
Langkah R3 ini bermanfaat. Ia membolehkan selepas itu pergerakan P seperti yang ditunjukkan dalam urutan pergerakan lebih jauh di bawah. Takrifan kami untuk langkah R3 memberi manfaat ia tidak semestinya membenarkan pergerakan P tetapi untuk meningkatkan bilangan hantaran berlebihan atau bawah berturut-turut dan itu mudah dilihat walaupun tanpa melakukan semua langkah ini. Dalam rajah berikut, lengkungan tengah lubang R3 mempunyai hantaran berlebihan di A, laluan bawah di B diikuti dengan dua laluan berlebihan di C dan D. Dalam pergerakan R3, susunan hantaran atas dan bawah diterbalikkan untuk arka tengah seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 3 dengan kini 3 hantaran berlebihan berturut-turut. Ini cukup untuk mencari gerakan P yang memerlukan kurang daripada 3 hantaran dalam Rajah 5.

Mengenai urutan gambar rajah di bawah: Dalam Dia 1 kita memberi ruang untuk menyediakan gerakan R3 dalam Dia 2 (di sini dengan menggerakkan arka atas) dengan hasil dalam Dia 3. Dalam Dia 4 kami memberi ruang untuk menyediakan gerakan P dalam Dia 5 di mana helai hijau dengan 3 lintasan digantikan dengan helai merah dengan hanya 1 laluan berlebihan dalam Dia 6. Dalam Dia 7 kita mengalihkan helai untuk memberi ruang untuk pergerakan P seterusnya dalam Dia 9 dengan hasil dalam Dia 10 dan Dia 11 selepas mengecut yang mudah dikenal pasti sebagai simpulan 5₁.

1. Pelebaran

2. R3 bergerak

3. Selepas perpindahan R3

4. Pelebaran

5. Langkah P

6. Selepas langkah P

7. Untuk langkah P seterusnya

8. Sebelum langkah P

9. Langkah P ke-2

10. Selepas itu

11. Dikontrak

Lakukan 2. R3 bergerak dan ketahui sama ada ia bermanfaat:
Urutan menunjukkan bahawa langkah R3 bermanfaat.

1. Pelebaran

2. Langkah R3

3. Selepas perpindahan R3

4. Langkah P

5. Selepas langkah P

6. Satu lagi langkah P

7. Selepas langkah P

8. Dikontrak

Lakukan 3. R3 bergerak dan ketahui sama ada ia bermanfaat:
Langkah R3 ke-3 juga bermanfaat. Untuk melaksanakan langkah ini, seseorang mengikut prinsip yang sama: helai tengah memotong dua helai lain, yang kali ini 'mengelilingi' lubang luar, dalam susunan terbalik.

Hasilnya ialah perjalanan ke atas dalam Dia 2 di sepanjang helai biru muda seseorang mula-mula sampai ke jejambat dan kemudian laluan bawah tanah. Jika selepas pergerakan R3 seseorang bergerak di sepanjang helai merah maka seseorang melepasi 2 helai lain dalam susunan terbalik dan oleh itu mula-mula sampai ke laluan bawah tanah dan kemudian jejambat. Seperti yang boleh dilihat dalam Dia 5, urutan kini 3 laluan bawah berturut-turut helai biru muda di sana membolehkan pergerakan P-.

1. Pelebaran

2. An R3 move

3. Selepas perpindahan R3

4. Pelebaran

5. Langkah P

6. Pelebaran

7. Langkah P ke-2

8. Selepas langkah P

9. Memendekkan

10. Selepas Memendekkan

11. Memendekkan

12. Meluruskan

13. ↻putaran 90°

Mengenai Antara Muka (2)
Contoh di atas sesuai untuk menunjukkan cara melakukan pergerakan R3 dengan antara muka kami.

Seperti yang diterangkan dalam 'Pengenalan dengan Definisi' > 'Gerakan Reidemeister 3' terdapat 3 cara untuk melakukan gerakan Reidemeister 3: menggerakkan helai bawah, menggerakkan helai tengah, atau, menggerakkan helai atas. Seperti yang ditunjukkan di sana, kesemua 3 cara mempunyai hasil yang sama, mereka melakukan langkah Reidemeister 3 yang sama.

Antara muka kami hanya membenarkan seseorang melengkapkan pergerakan R3 dengan menggerakkan helai bawah atau helai atas tetapi bukan helai tengah. Sebabnya ialah ciri antara muka kami bahawa KEDUA-DUA hujung hanya boleh menambah/mengalih keluar laluan berlebihan atau KEDUA-DUA hujung hanya boleh menambah/mengalih keluar laluan bawah pada satu masa. Tetapi itu tidak menghalang kami daripada melakukan pergerakan R3, kerana menggerakkan mana-mana satu daripada 3 helai memberikan hasil yang sama.

Mencari Pergerakan P0
Gerakan P0 ialah gerakan hantaran yang tidak mengubah bilangan lintasan, sama seperti gerakan R3 yang merupakan versi khas gerakan P0. Seperti pergerakan R3, langkah P0 mungkin bermanfaat dan membolehkan pergerakan P-. Oleh kerana pergerakan P0 kurang berguna secara purata, ia berlaku lebih kerap tetapi lebih mencabar untuk melihat sama ada ia membolehkan pergerakan P-.

Untuk mencari langkah P0, seseorang mencari helai atas atau untaian bawah sama seperti gerakan P-. Untuk menyemak sama ada langkah P0 mungkin bermanfaat dan membolehkan langkah P- diteruskan seperti dalam kes langkah R3. Seseorang melihat sama ada penyingkiran helai meningkatkan bilangan over- atau under-pass berturut-turut helai yang disilangkan dan satu menyemak sama ada selepas menghalakan semula helai baru meningkatkan bilangan helai over- atau under-pass berturut-turut yang disilangkan sekarang. Dalam salah satu daripada kes ini, seseorang menyemak sama ada helai dengan peningkatan bilangan lintasan atas atau bawah berturut-turut boleh dihalakan semula dengan lebih sedikit lintasan.

Mari kita lihat contoh ini:

Kami melabelkan lintasan:

dan cari P0 yang bermanfaat bergerak langkah demi langkah.

Berapa banyak helai atas dengan sekurang-kurangnya 2 hantaran berlebihan dan berapa banyak helai bawah dengan sekurang-kurangnya 2 laluan bawah yang anda lihat?
Kami mendapat tiga helai atas dengan sekurang-kurangnya 2 hantaran berlebihan: AB, GC, IE dan tiga helai bawah dengan sekurang-kurangnya 2 hantaran bawah: EF, BH, DJ.

Tidak sukar untuk melihat bahawa untaian IE mempunyai pergerakan P0 yang menempatkannya semula untuk menyeberangi helai GC dan BH:

tetapi persoalannya ialah sama ada langkah P0 ini bermanfaat.

Adakah menggerakkan helai IE meningkatkan bilangan lepasan/bawah berturut-turut bagi helai DF atau HJ yang disilangkan sebelum ini?
Ya, helai HJ kini mempunyai 2 hantaran berlebihan tetapi helai ini tidak boleh dihalakan semula untuk menghubungkan dua lubang yang sama dengan hantaran berlebihan yang kurang.

Adakah lebih banyak hantaran atas/bawah berturut-turut dicipta apabila meletakkan helai di atas 2 helai GC dan BH?
Ya, under-strand BH mempunyai 2 under-pass dan kini mempunyai 3 under-pass.

Bolehkah helai BH ini dihalakan semula dalam langkah P untuk mengurangkan bilangan lintasan?

Ya: Laluan baharu helai BH menghubungkan lubang yang sama tetapi dengan hanya 1 laluan bawah dan bukannya 3 laluan bawah.

Hakikat bahawa helai baru lebih panjang (melibatkan lebih banyak langkah) dalam rajah ini daripada helai yang diganti tidak penting. Apa yang penting ialah pengurangan bilangan lintasan daripada 10 kepada 8 yang kini membolehkan untuk mengenal pasti simpulan ini sebagai simpulan 8₁₇.

Dalam rajah asal, langkah P- ini boleh dilakukan terlebih dahulu sebagai langkah P0 dan langkah P0 yang disebutkan di atas selepas itu sebagai langkah P- dengan jumlah penjimatan yang sama iaitu 2 lintasan.

Dalam masalah yang sukar, mungkin perlu melakukan beberapa gerakan P0 sebelum gerakan P- menjadi mungkin.

Gambar rajah dipermudahkan secara maksimum jika bilangan lintasan adalah nombor lintasan (lihat bahagian pertama). Dalam kes itu, pergerakan P0 tidak akan membolehkan gerakan P-.

Mencari Pergerakan P+
Langkah P+ meningkatkan bilangan lintasan dalam rajah. Mengapa langkah sedemikian boleh berguna untuk apa-apa jika matlamatnya biasanya untuk memudahkan gambar rajah? Untuk melihat tujuan mereka, ingatkan diri anda tentang nombor silang, tangan lintasan, nombor menggeliat dan bagaimana pergerakan Reidemeister yang berbeza mempengaruhi kedua-dua nombor. Kemudian lihat cabaran (sukar) berikut.

Untuk masa yang lama sejak akhir abad^ke-19 dua gambar rajah bernama 10₁₆₁ dan 10₁₆₂ dalam Meja Simpulan Dale Rolfsen dianggap tergolong dalam dua simpulan yang berbeza. Pada tahun 1973 Kenneth Perko menyedari bahawa kedua-duanya mewakili simpulan yang sama. Sejak itu pasangan entri dalam jadual simpulan klasik yang sebenarnya mewakili simpulan yang sama dipanggil pasangan Perko.
Kedua-dua rajah ini mewakili simpulan yang sama 10₁₆₁. Bagaimana mereka boleh berubah bentuk antara satu sama lain?

Urutan ubah bentuk berikut menukar gambar rajah simpulan 10₁₆₁ dengan 0 lintasan kiri dan 10 lintasan tangan kanan menjadi rajah dengan 1 lintasan kiri dan 9 tangan kanan. Kedua-dua gambar rajah mempunyai bilangan minimum yang sama iaitu 10 lintasan tetapi nombor menggeliat yang berbeza 0−10 = −10 dan 1−9 = −8. Hanya langkah Reidemeister 1 boleh mengubah nombor yang menggeliat, tetapi langkah Reidemeister 1 juga mengubah bilangan lintasan. Oleh kerana simpulan ini mempunyai nombor lintasan 10, bilangan lintasan tidak boleh dikurangkan. Oleh itu untuk menukar nombor menggeliat, bilangan lintasan perlu ditingkatkan daripada 10 kepada 11 buat sementara waktu melalui pergerakan P+ dan dikurangkan selepas itu dengan gerakan P- untuk mendapatkan semula 10 lintasan tetapi dengan nombor menggeliat yang berbeza.

Permulaan menggeliat #
ialah w = 0−10 = −10

P+ bergerak (meningkatkan # daripada ┼)

Sekarang w = 1−10 = −9

R3 bergerak (memelihara w)

Selepas itu

Memasukkan baris + lajur

P- bergerak (mengurangkan # daripada ┼)

Sekarang w = 1−9 = −8

Baris dikeluarkan

R3 bergerak (memelihara w)

Selepas itu

Dalam rajah akhir
menggeliat # ialah 1−9 = −8.

Bagaimanakah seseorang boleh mencari urutan pergerakan P+ dan P- dan mungkin P0 yang mencapai ubah bentuk sedemikian?

Mudah untuk menentukan lintasan kiri dan kanan kedua-dua gambar rajah. Jika nombor menggeliat hendak ditingkatkan (dikurangkan) untuk mengubah bentuk satu gambar rajah kepada yang lain maka seseorang mencari langkah P+ yang menambah lintasan tangan kiri (kanan) dan selepas itu seseorang memerlukan langkah P- yang mengalih keluar lintasan tangan kanan (kiri). Dalam contoh di atas, nombor menggeliat terpaksa ditingkatkan dan langkah P0 tambahan (gerakan R3 ialah jenis khas gerakan P0) diperlukan.

Jika nombor menggeliat berbeza lebih daripada 2 maka lebih daripada satu pasang pergerakan P+ dan P- mungkin diperlukan.
Inilah satu lagi cabaran. Bagaimanakah kedua-dua gambar rajah ini boleh berubah bentuk antara satu sama lain?

Urutan ubah bentuk berikut mengubah rajah pertama simpulan 11n₁₁₆ dengan 6 lintasan kiri dan 5 tangan kanan kepada rajah kedua dengan 7 lintasan kiri dan 4 tangan kanan. Kedua-dua rajah mempunyai bilangan minimum yang sama iaitu 11 lintasan tetapi nombor menggeliat yang berbeza 6−5 = 1 dan 7−4 = 3. Hanya langkah Reidemeister 1 boleh mengubah nombor yang menggeliat, tetapi langkah Reidemeister 1 juga mengubah bilangan lintasan. Oleh kerana simpulan ini mempunyai nombor lintasan 11, bilangan lintasan semasa tidak boleh dikurangkan. Oleh itu, untuk menukar nombor menggeliat, bilangan lintasan perlu ditingkatkan terlebih dahulu daripada 11 kepada 12 melalui gerakan P+ sebelum ia boleh dikurangkan selepas itu dengan langkah P- untuk mendapatkan semula 11 lintasan tetapi dengan nombor menggeliat yang berbeza.

Menggeliat awal # = 6−5 = 1

Pelebaran

P+ bergerak (meningkatkan # daripada ┼)

Selepas pergerakan P+

Pelebaran

P- bergerak (mengurangkan # daripada ┼)

Selepas P- bergerak

Memendekkan

Memendekkan

Dalam rajah akhir
menggeliat # ialah 7−4 = 3.

Mencari Pergerakan U1
Pergerakan U1 menukar persimpangan yang kemudiannya membolehkan untuk memudahkan rajah untuk mengalih keluar semua lintasan dan menunjukkan bahawa suis menghasilkan simpulan.

Secara umum, teka-teki yang bagus harus mempunyai penyelesaian yang unik, jadi teka-teki U1 dan U2 kami menunjukkan gambar rajah di mana suis hanya satu lintasan menghasilkan simpulan. Petunjuk ini membolehkan anda mengurangkan carian

Jika rajah termasuk putaran garis simpulan seperti ini:

Adakah penting mana satu daripada lintasan yang ditukar?
Tidak kira lintasan mana yang ditukar. Kedua-dua keputusan adalah setara:

=

=

Oleh itu, sama ada kedua-dua lintasan ini adalah suis yang tidak mengikat atau tiada satu pun daripadanya. Oleh kerana teka-teki kami hanya mempunyai satu suis yang tidak diikat, kedua-dua lintasan ini boleh diabaikan.

Jika masih terdapat beberapa calon lintasan, seseorang harus cuba membayangkan berapa banyak pergerakan R1, R2 akan tersedia melalui suis dan cuba suis itu terlebih dahulu yang nampaknya membenarkan penyederhanaan yang paling banyak selepas itu.

Satu lagi petunjuk untuk meminimumkan suis percubaan adalah membayangkan sama ada selepas suis pasti akan ada simpulan yang tinggal, seperti trefoil. Jika ya, maka suis itu bukan yang betul dalam teka-teki U1.

Pada lembaran kerja, bilangan suis yang tersedia terhad kepada minimum yang diperlukan untuk mendapatkan simpulan. Jika anda melakukan suis, seseorang tidak boleh menukarnya semula kerana rajah mungkin telah diubah, jadi seseorang perlu menetapkan semula gambar rajah.

Mencari Pergerakan U2
Untuk teka-teki U2, petunjuk yang sama tentang suis setara terpakai seperti untuk teka-teki U1. Juga untuk teka-teki U2 terdapat hanya satu lintasan yang mengurangkan nombor unknotting, iaitu membuat kemajuan ke arah unknot. Sebaik sahaja lintasan pertama yang unik itu ditukar dan gambar rajah yang terhasil dipermudahkan, mungkin terdapat lebih daripada satu suis yang mungkin menghasilkan simpulan.

Mencari Pergerakan P0U
Penyelidikan yang dilakukan oleh Caribou Contests mengenai nombor untied menunjukkan bahawa terdapat gambar rajah simpulan yang dipermudahkan secara maksimum (dengan bilangan lintasan yang minimum), yang tidak mempunyai suis yang memudahkan. Dalam erti kata lain, terdapat gambar rajah di mana menukar mana-mana lintasan tidak akan membuat kemajuan untuk mencapai simpulan. Dalam kes itu, seseorang perlu melakukan satu atau lebih gerakan P0 terlebih dahulu yang menukar teka-teki menjadi teka-teki U2. Berita baiknya ialah gambar rajah yang memerlukan pergerakan P0 terlebih dahulu jarang berlaku dan oleh itu kemungkinan mana-mana langkah P0 akan mengubahnya menjadi teka-teki U2.

Petua dan Petua mengikut Jenis Teka-teki
Cabaran Unknotting di laman web ini dipilih khas. Mengetahui bagaimana mereka istimewa boleh membantu menyelesaikannya.
Pergerakan R3
Seperti yang dibincangkan sebelum ini, untuk melihat sama ada pergerakan R3 bermanfaat, seseorang perlu menyemak kesinambungan arka tengah dalam lubang R3. Teka-teki dalam kategori R3 membolehkan langkah R3 yang sangat istimewa yang bermanfaat dua kali ganda:
1) Apabila memanjangkan lengkungan tengah lubang R3 di luar laluan bawah tanah, maka laluan seterusnya ialah jejambat.
2) Apabila memanjangkan lengkungan tengah lubang R3 di luar jejambat maka laluan seterusnya ialah laluan bawah tanah.
Oleh itu, pergerakan R3 meningkat untuk helai tengah, bilangan jejambat berturut-turut di satu sisi dan bilangan hantaran berturut-turut di sisi lain. Lubang R3 yang bermanfaat dua kali ganda seperti itu mudah dikesan.

Pergerakan U1 dan U2
Teka-teki dalam kategori U1 dan U2 adalah istimewa kerana hanya satu lintasan mempunyai sifat bahawa menukarnya membuat kemajuan dalam membuka simpulan. Jika dua helai berlingkaran seperti ini:

kemudian menukar salah satu daripada dua lintasan mempunyai kesan yang sama untuk menguraikan kedua-dua helai. Jika menukar satu lintasan akan berfungsi maka menukar yang lain juga akan berfungsi, jadi kedua-duanya tidak boleh menjadi lintasan tunggal yang betul untuk ditukar.

P0 Bergerak
Oleh kerana kategori R3 hanya mempunyai teka-teki yang mempunyai langkah R3 yang bermanfaat dua kali ganda , kategori P0 mengandungi, antara lain, teka-teki di mana langkah pertama terbaik ialah satu langkah R3 yang bermanfaat. Oleh itu, seseorang tidak boleh mengecualikan melihat langkah R3 sebagai langkah pertama dalam kategori ini.

Pergerakan P0U
Dalam penyelidikan kami tentang gerakan membuka simpulan, kami mendapati bahawa sangat jarang sekali unjuran simpulan pada satu pihak dipermudahkan sepenuhnya, iaitu ia mempunyai bilangan lintasan minimum yang mungkin untuk simpulan ini, dan sebaliknya, tiada satu pun lintasannya, apabila ditukar, akan mengurangkan bilangan suis selanjutnya yang diperlukan untuk mencapai simpulan. Bagaimanakah pengetahuan itu membantu? Daripada petunjuk ini kita boleh membuat kesimpulan bahawa selepas pergerakan P0 awal (yang termasuk pergerakan R3 berfaedah tunggal), satu-satunya suis yang perlu dicuba ialah persimpangan baharu yang muncul disebabkan oleh pergerakan P0 awal.

Lebih Banyak Rujukan tentang Knots
Teori Simpulan Matematik ialah subjek penyelidikan lama jadi terdapat sejumlah besar kesusasteraan untuknya. Walau bagaimanapun, ia juga merupakan subjek muda kerana beberapa pencapaian hanya dicapai dalam beberapa dekad kebelakangan ini. Sebagai contoh, terdapat "Jurnal Teori Simpulan dan Kesannya" saintifik yang didedikasikan untuk simpulan yang mempunyai terbitan baharu setiap bulan.

Buku hebat yang kami cadangkan ialah: Adams, Colin (2004), Buku Simpulan: Pengenalan Asas kepada Teori Matematik Simpulan, Persatuan Matematik Amerika, ISBN 978-0-8218-3678-1

Terdapat juga banyak laman web mengenai simpulan. Tempat yang baik untuk bermula ialah halaman Teori Simpulan di Wikipedia.

Untuk video, lihat Senarai Main Video Knot Numberphile di YouTube. Mereka juga mempunyai penjelasan yang hebat tentang Simpulan Mewarna, yang merupakan satu lagi cara untuk membantu mengenal pasti gambar rajah simpulan yang sama.

Caribou menghasilkan dua poster pada Membuka simpulan Dan Mewarna Knot.