حالت‌های ساده حرکت‌های R1، مانند: وقتی که بتوان یک حلقه را 4 مرتبه چرخاند و بلافاصله گره بدیهی ساخته شود، به سادگی و با دنبال کردن منحنی گره و جستجوی کمانی که دو انتهای آن در یک تقاطع باشند مشخص می‌‌شوند. ترتیب انجام حرکت‌های R1 اهمیتی ندارد.

اما حالت‌های کلی بیشتری برای حرکت‌های اول ریدمیستر وجود دارد. اگر یک بالا-رشته از یک تقاطع شروع شود که یک روگذر است و کاملا بالای تمام قطعات دیگر قرار داشته باشند (به همین دلیل بالا-رشته نامیده شده‌اند) آن‌گاه این حلقه یک برش کوتاه است و می‌توان آن را حذف کرد. برای مثال، در ابتدا حلقه بالایی می‌تواند حذف شود و سپس حلقه‌های دیگر، یکی بعد از دیگری. این حلقه هم می‌تواند حذف شود زیرا کاملا در زیر قرار گرفته‌است: پیدا کردن حرکت‌های R2

مانند حرکت‌های R1، تشخیص حرکت‌های R2 هم ساده است. مانند حالتی که قبل از یک حرکت R1 دو حرکت R2 نیاز داشته باشیم تا اینکه به گره بدیهی برسیم. در مثال زیر، یک حرکت R2 را بر روی یک رشته دو مرتبه تکرار می‌کنیم، یک بار رشته را از زیر و دفعه دوم از بالا می‌کشیم. آخرین مرحله یک حرکت R2 نیست. این حرکت فقط به این دلیل اضافه شده است که نشان دهد این گره، مجموع دو گره سه‌تایی است.

مثال بالا برای توصیف استفاده بهینه از رابط کاربری مناسب است. بعد از بریدن منحنی گره: نمی‌توان یک انتها را به هر اندازه که بخواهیم به عقب بکشیم و سپس انتهای دیگر را به عقب بکشیم. زیرا در هر یک از دو انتها، ما یک زیرگذر را حذف می‌کنیم و به وضعیت روگذر می‌رسیم که در این وضعیت امکان حذف روگذر وجود ندارد. بنابراین یک زیرگذر را حذف می‌کنیم و به سراغ انتهای دیگر رفته و یک زیرگذر دیگر را هم حذف می‌کنیم تا اینکه دو انتها در یک حفره قرار بگیرند و دو انتها به وضعیت خنثی تغییر پیدا کنند. اکنون رابط اجازه می‌دهد که روگذرها را حذف کرده و دو انتها را به هم وصل کنیم. به طور خلاصه، در هر دو انتها تا جایی که ممکن است زیرگذرها را حذف می‌کنیم و سپس تا جایی که ممکن است روگذرها را حذف می‌کنیم و این کار را تکرار می‌کنیم.

این قابلیت رابط در مورد وضعیت دو انتها، ضعف برنامه به حساب نمی‌آید زیرا تضمین می‌کند که شخص کاربر با تغییر نمودار، گره ریاضی را تغییر نمی‌دهد.

حرکت‌های P- یک بالا-رشته را با یک بالا-رشته دیگر که تعداد کمتری روگذر دارد و یا یک پایین-رشته را با یک پایین-رشته دیگر که تعداد کمتری زیرگذر دارد جایگزین می‌کند. در هر دو حالت تعداد تقاطع‌ها کاهش می‌یابد.

برای پیدا کردن چنین حرکت‌هایی بر روی منحنی گره حرکت کرده و روگذرها یا زیرگذرهای متوالی (حداقل 2 زیرگذر یا روگذر) را جستجو می‌کنیم. اگر چنین رشته‌ای پیدا کردیم، برای مثال یک بالا-رشته، آنگاه سعی می‌کنیم مسیری پیدا کنیم که بتوانیم دو انتهای دو زیرگذر را به وسیله یک بالا-رشته با تعداد کمتری روگذر به هم متصل نماییم.

در مثال زیر، یک رشته با 4 زیرگذر متوالی، با یک رشته بدون زیرگذر جایگزین می‌شود و سپس این رشته با 3 روگذر متوالی با یک رشته با یک روگذر جایگزین می‌شود. دو حرکت P- دیگر هر 2 تقاطع دیگر را حذف می‌کند. نمودار حاصل با دو حرکت R1 دیگر، می‌تواند ساده‌تر شود، همان‌طور که در زیر می‌‌بینید. اگر بالا-رشته‌ای که پیدا می‌کنیم دارای گذرهای بیشتری باشد، شانس پیدا کردن مسیرهای جایگزین با تعداد گذرهای کمتر را بیشتر می‌کند.

حرکت‌های R1، R2 و P- تعداد تقاطع‌ها را تغییر می‌دهند. اما یک حرکت R3 تعداد تقاطع‌ها را تغییر نمی‌دهد به همین دلیل، آن را بعد از حرکت P- معرفی می‌کنیم. مثال زیر نشان می‌دهد که حرکت‌های R3 به همراه حرکت‌های مناسب P- می‌توانند مفید باشند. همان گونه که در بخش قبل گفته شده بود، یک حفره R3 شامل یک کمان بالایی با دو انتهای روگذر ( در اینجا A و B)، یک کمان میانی با یک انتهای روگذر (C) و یک انتهای زیرگذر (B) و یک کمان پایینی با دو انتهای زیرگذر (A و C) می‌باشد. این گره بدیهی از the Unknot Wikipedia page the Unknot Wikipedia page برداشته شده‌است.

در بخش قبل دیدیم که یک حرکت R3 ترتیب روگذر و زیرگذر را برای رشته میانی (که از B و C) می‌گذرد برعکس می‌کند. یک حرکت R3 وقتی مفید است که امتداد کمان میانی باعث افزایش تعداد روگذرهای متوالی و یا زیرگذرهای متوالی بشود و در نتیجه شانس پیداکردن حرکت P- را افزایش دهد. این حالت وقتی اتفاق می‌افتد که امتداد کمان میانی بعد از زیرگذر (B) تبدیل به روگذر می‌شود (D و E روگذر هستند) و یا روگذر (C) یک زیرگذر می‌شود (F و G و H زیرگذر هستند). حرکت R3 کمان میانی BC را از میان کمان بالایی و کمان پایینی در نقطه A عبور می‌دهد. قبلا فقط دو روگذر متوالی D و E وجود داشت، اما اکنون 3 روگذر C و D و E وجود دارد. این یک بالا-رشته طولانی‌تر است که با یک حرکت P- مسیر آن تغییر می‌کند.
کاهش 2 واحدی تعداد تقاطع‌ها از 13 به 11.

همچنین، طرف دیگر رشته هم با یک حرکت P- تغییر مسیر پیدا می‌کند. قبلا 3 زیرگذر متوالی F و G و H وجود داشت اما الان 4 زیرگذر B، F، G و H وجود دارد. این حرکت P- نتیجه می‌دهد که تعداد تقاطع‌ها نیز 2 واحد کمتر شده‌است. هر یک از نمودارها را می‌توان به کمک حرکت‌های R1 و P- به گره بدیهی تبدیل کرد. آیا می‌توانید بگویید چگونه می‌توان این کار را انجام داد؟ کافی است که به راهنمایی‌های گفته شده در مورد شناسایی حرکت‌های P- توجه کنید.
اجازه دهید با حل یک مساله تمرین کنیم.


چه تعداد حرکت‌های R3 در این نمودار امکان‌پذیر است:

مثال بالا برای نشان دادن نحوه انجام حرکت R3 توسط رابط کاربری ما مناسب است.

همان طور که در بخش «مقدمه و تعاریف» و در قسمت مربوط به حرکت سوم ریدمیستر شرح داده شده است، 3 روش برای انجام یک حرکت R3 وجود دارد: حرکت دادن رشته پایین، حرکت دادن رشته میانی یا حرکت دادن رشته بالا. همان طور که در آنجا نشان داده شده است، نتیجه هر 3 روش مشابه هم است و همگی یک حرکت سوم ریدمیستر را انجام می‌دهند.

رابط کاربری ما به کاربر اجازه می‌دهد که حرکت R3 را فقط با حرکت دادن رشته پایین یا رشته بالا انجام دهد اما، اجازه حرکت دادن رشته میانی را نمی‌دهد. دلیل این ویژگی این است که رابط کاربری ما فقط وقتی می‌تواند دو انتها را اضافه یا حذف کند که هر دو انتها روگذر و یا هر دو انتها زیرگذر باشند. اما این ویژگی مانع انجام حرکت‌های R3 نمی‌شود، زیرا حرکت دادن هر یک از رشته‌ها نتیجه یکسانی را به همراه دارد.

حرکت‌های P0 حرکت‌های گذری هستند که تعداد تقاطع‌ها را تغییر نمی‌دهند، دقیقا مانند حرکت‌های R3 که حالت‌های خاصی از حرکت‌های P0 هستند. مانند حرکت‌های R3، یک حرکت P0 هم ممکن است مفید باشد و یک حرکت P- در اختیار ما بگذارد. به دلیل آنکه حرکت‌های P0 به طور میانگین فایده کمتری دارند، آنها بیشتر به کار می‌روند. اما آن چیزی که مورد توجه است این است که باعث ایجاد حرکت P- می‌شوند یا خیر.

برای پیدا کردن یک حرکت P0 دقیقا مانند حرکت‌های P- باید به دنبال یک بالا-رشته یا یک پایین-رشته بگردیم. برای بررسی این مورد که یک حرکت P0 مفید خواهد بود و باعث ایجاد یک حرکت P- می‌شود باید مشابه حرکت R3 عمل کنیم. باید ببینیم که آیا با حذف رشته، تعداد زیرگذرها و یا روگذرهای رشته‌هایی که متقاطع بودند افزایش پیدا می‌کند و این که آیا بعد از تغییر مسیر، تعداد زیرگذرها و یا روگذرهای رشته‌هایی که اکنون متقاطع هستند افزایش پیدا کرده‌است. در هر یک از این حالت‌ها باید بررسی کنیم که رشته‌هایی که تعداد روگذرها یا زیرگذرهای آنها افزایش پیدا کرده‌است را می‌توان به گونه‌ای تعییر مسیر داد که تعداد تقاطع‌ها کاهش یابد.

این مثال را در نظر می‌گیریم: تمام تقاطع‌ها را نامگذاری می‌کنیم: و مرحله به مرحله، یک حرکت P0 مفید را پیدا می‌کنیم.

چه تعداد بالا-رشته با حداقل 2 روگذر و چه تعداد پایین-رشته با حداقل 2 زیرگذر می‌بینید؟
به سادگی می‌توان دید که رشته IE یک حرکت P0 دارد که آن را طوری تغییر می‌دهد که از روی دو رشته GC و BH عبور می‌کند: اما سوال این است که این حرکت P0 مفید است یا خیر.

آیا با جابجا کردن رشته IE تعداد تقاطع‌های روگذر یا زیرگذر متوالی که قبلا رشته‌های DF یا HJ را قطع می‌کردند افزایش پیدا می‌کند؟
آیا با قرار دادن رشته بر روی دو رشته GC و BH، تعداد روگذرها و یا زیرگذرهای بیشتری ایجاد می‌شود؟
آیا رشته BH می‌تواند طوری تغییر مسیر داده شود که بتوان با یک حرکت P- تعداد تقاطع‌ها را کاهش داد؟
این موضوع که در این نمودار، طول رشته جدید از طول رشته قبلی بزرگتر است (تعداد قطعات بیشتری دارد) اهمیتی ندارد. آنچه که مهم است این است که تعداد تقاطع‌ها از 10 به 8 کاهش یافته‌است که به ما اجازه می‌دهد این گره را با گره 8₁₇ یکسان در نظر بگیریم.

در نمودار اولیه می‌توانستیم این حرکت P- را به عنوان یک حرکت P0 انجام دهیم و حرکت P0 که در بالا به آن اشاره شد را بعد از حرکت P- انجام دهیم که در این صورت هم 2 تقاطع کمتر می‌داشتیم.

در مساله‌های دشوار ممکن است لازم باشد که چند حرکت P0 را انجام دهیم تا اینکه امکان انجام یک حرکت P- به وجود آید.

یک نمودار، وقتی کاملا ساده شده‌است که تعداد تقاطع‌های آن برابر «عدد تقاطع گره» باشد(بخش اول را ببینید). در این حالت، حرکت‌های P0 نمی‌توانند حرکت‌های P- را ایجاد کنند.

یک حرکت P+ تعداد تقاطع‌ها در یک نمودار را افزایش می‌دهد. وقتی که معمولا هدف ما ساده کردن نمودارها است، چرا چنین حرکتی می‌تواند مفید باشد؟ برای درک این موضوع، ، چپ‌دستی یا راست‌دستی بودن تقاطع‌ها و اعداد تقاطع و پیچش را به یاد بیاورید و اینکه چگونه حرکت‌های مختلف ریدمیستر بر هر دو عدد تأثیر می گذارند. سپس به مساله (سخت) زیر نگاهی بیندازید.

برای مدتی طولانی و از اواخر قرن 19، در جدول دیل رولفسن (Dale Rolfsen)، دو نمودار به نام‌های 10161 و 10162 به دو گره متفاوت تعلق داشتند. کنت پرکو در سال 1973 متوجه شد که هر دو نمودار نشان‌دهنده یک گره هستند. از آن زمان به بعد، در جدول‌های گره کلاسیک، این دو نام، یک گره مشابه را نشان می‌دهند و جفت پرکو نامیده می‌شوند.
این دو نمودار نشان دهنده یک گره مشابه 10161 هستند. چگونه می‌توان آنها را به یکدیگر تبدیل کرد؟ چگونه می‌توان دنباله‌ای مناسب از حرکت‌های P+ و P- و احتمالاً P0 را پیدا کرد که چنین تغییر شکلی را انجام دهند؟
در اینجا یک مساله دیگر را بررسی می‌کنیم. این دو نمودار چگونه می‌توانند به یکدیگر تبدیل شوند؟

یک حرکت U1 یک تقاطع را تعویض می‌‌کند که پس از آن اجازه ساده‌سازی نمودار را برای حذف تمام تقاطع‌ها به ما می‌دهد و نشان می‌دهد که این تعویض یک گره بدیهی می‌سازد.

به طور کلی، معماهای زیبا باید یک جواب منحصر بفرد داشته باشند بنابراین مساله‌های ستون‌های U1 و U2 که ارائه کرده‌ایم، نمودارهایی دارند که تعویض دقیقا یکی از تقاطع‌ها یک گره بدیهی خواهد ساخت. این نکته به شما امکان می‌دهد که تعداد جستجوها را کاهش دهید.

اگر نمودار، شامل یک چرخش از منحنی گره باشد مانند نمودار زیر:

آیا این مهم است که کدامیک از تقاطع‌ها تعویض شده‌است؟
اگر هنوز هم چند تقاطع وجود دارد که ممکن است مناسب باشند، باید تلاش کنیم که تصور کنیم که بعد از تعویض، چند حرکت R1 یا R2 ایجاد خواهد شد و ابتدا تعویضی را آزمایش کنیم که به نظر می‌رسد بعد از آن ساده‌سازی بیشتری اتفاق خواهد افتاد.

نکته دیگری که می‌تواند تعداد آزمایش‌ها را کاهش دهد این است که تصور کنید آیا بعد از تعویض، در نمودار، یک گره مانند گره سه‌تایی باقی می‌ماند یا خیر. اگر جواب مثبت است ، این تعویض در معماهای U1 مناسب نیست.

در صفحه نمایش، تعداد تعویض‌های قابل دسترس، به کمترین تعدادی که برای ایجاد یک گره بدیهی لازم داریم محدود شده‌است. اگر شما یک تعویض را انجام دادید دیگر مجاز به تعویض آن نخواهید بود زیرا ممکن است نمودار تغییر کرده باشد. بنابر این، در این حالت باید به شکل اصلی برگردید.

همان نکته‌ای که در مورد تعویض‌های هم‌ارز در مساله های U1 گفته شد در مورد مساله های U2 هم به کار می‌رود. همچنین در مساله های U2 دقیقا یک تعویض وجود دارد که باعث کاهش عدد بدون گره خواهد شد. یعنی ما را به سمت بی گره کردن نمودار هدایت می‌کند. وقتی که این تعویض منحصر بفرد انجام شود و نمودار حاصل ساده‌تر شود ممکن است که بیش از یک تعویض مناسب برای ایجاد گره بدیهی وجود داشته باشد.

تحقیقاتی که توسط مسابقات کاریبو در مورد عدد بدون گره انجام گرفت نشان داد که نمودارهای گره کاملا ساده‌سازی‌شده (با کمترین تعداد تقاطع) وجود دارند که هیچ تعویض مناسبی برای تبدیل به نمودار یک گره بدیهی ندارند. در این حالت باید یک یا چند حرکت P0 انجام شود تا اینکه مساله به یک مساله U2 تبدیل شود. خبر خوب این است که تعداد نمودارهایی که در ابتدا به حرکت P0 نیاز دارند بسیار کم است و بنابراین احتمالا هر حرکت P0 آن را به یک مساله U2 تبدیل می‌کند.

مساله‌های «بدون گره» در این سایت بطور خاص انتخاب شده‌اند. دانستن ویژگی‌های یک مساله می‌ تواند در حل آن به ما کمک کند.
حرکت‌های 3R
حرکت‌های 1U و 2U

معماهای خانواده 1U و 2U از این نظر خاص هستند که شامل تنها یک تقاطه هستند که تعویض آن تقاطع به بدون گره کردن آن کمک می‌‌کند. اگر دو رشته به صورت مارپیچی زیر باشند:

آنگاه تعویض یکی از این دو تقاطع، همان اثر گره خوردن دو رشته را دارد. اگر تعویض یک تقاطع مفیدباشد، تعویض تقاطع دیگر نیز مفید است. بنابراین، هیچ یک از اینها نمی‌توانند یک تقاطع مناسب برای تعویض باشند.

حرکت‌های 0P

از آنجا که خانواده 3R فقط شامل معماهایی است که دارای یک حرکت 3R با فایده مضاعف هستند، خانواده 0P از میان بقیه معماها، شامل معماهایی است که بهترین حرکت اول برای آنها، یک حرکت 3R است با تنها یک فایده است. بنابراین نباید در این گروه، توجه به حرکت‌های 3R را به عنوان اولین حرکت منتفی دانست.

حرکت‌های U0P

در تحقیقات ما درباره حرکات بدون گره کردن، متوجه شدیم که به ندرت انفاق می‌ افتد که یک گره فقط از یک طرف کاملاً ساده شود، یعنی کمترین تعداد نقاطع ممکن از این گره را داشته باشد و از طرف دیگر، هیچ کدام از تقاطع‌های آن، هنگام تعویض ، تعداد تعویض‌های بعدی را که برای رسیدن به بدون گره لازم است را کاهش خواهد داد. این اطلاعات چه کمکی به ما می‌‌کند؟ از این نکته می‌‌توان نتیجه گرفت که بعد از حرکت 0P اولیه (که شامل حرکت‌های تک فایده‌ای 3R است)، تنها تعویض‌هایی که باید امتحان شوند، تقاطع‌های جدیدی هستند که به دلیل حرکت اولیه 0P ظاهر می‌‌شوند.