Hầu hết chúng ta sử dụng nút thắt để buộc dây giày, thắt cà vạt hoặc khăn quàng cổ, buộc quai túi, v.v. Bạn có thể thấy nhiều nút thắt hơn khi bạn đi thuyền buồm, cắm trại, câu cá hoặc khi bạn khâu, đan, hoặc tạo kiểu tóc. Tuy nhiên, những cái này không phải nút thắt toán học!

Hãy xem hai sơ đồ các nút thắt sau. Thật khó hiểu, cả hai này đều được gọi là nút thắt 'số tám', vì hình số 8 trong đó.
Bạn có thể thấy có điều gì khác biệt? Chúng tôi chắc chắn bạn có thể nhận ra nó!

Chắc chắn có! Bây giờ bạn biết rằng trong toán học, một nút thắt là một sợi đơn, khép kín, liên tục.
Với định nghĩa này, nút thắt toán học đơn giản nhất là gì?
Làm thế nào bạn có thể tạo một nút toán học từ một đoạn dây?

Trong trò chơi này, bạn biến dạng các sơ đồ thắt nút toán học để giảm số điểm cắt càng nhiều càng tốt.

Trong khi bạn được phép 'cắt' các sợi bằng cách bấm vào chúng, bạn chỉ đang sửa đổi biểu đồ, chứ không phải nút ở dưới. Đây là lý do tại sao có một hạn chế về cách bạn có thể gắn lại các đầu mà bạn đã 'cắt'. Hạn chế này đảm bảo rằng nút toán học không thay đổi trong bất kỳ lần định tuyến lại nào của các sợi ngay cả khi nút thay đổi biểu đồ của nó. .
Khi nào bạn phải gỡ các nút thắt trong cuộc sống hằng ngày?
Hãy thử một số trò chơi nút thắt toán học khác!

một đường cong khép kín trong không gian 3 chiều không tự giao nhau và có độ dày hữu hạn (để tránh vô số nút thắt nhỏ hơn và nhỏ hơn dọc theo đường nút thắt), Ví dụ: nút thắt số 8.

hình chiếu của đường thắt nút thành 2 chiều trong đó các phần khác nhau của đường thắt nút có thể cắt nhau (trên trang web này các đường giao nhau dưới một góc 90 °), nhưng không nằm chồng lên nhau.

Các ví dụ biểu đồ nút thắt:
'Nút gỡ' còn được gọi là 'nút thắt bình thường'.

vật trừu tượng đằng sau một tập hợp (vô hạn) các biểu đồ nút thắt mà tất cả đều có thể bị biến dạng, kéo dài và dịch chuyển vào nhau mà không bị cắt. Ví dụ: nút 3₁ còn được gọi là 'trefoil', là nút không bình thường đơn giản nhất.

thuật ngữ toán học khi một đường thắt nút có thể liên tục bị bóp méo thành một đường khác.

Trên trang web này, các biểu đồ nút thắt chỉ được vẽ bằng 6 gạch mà chúng tôi gọi là các bước đi:

vị trí hai bước cắt nhau trong một biểu đồ, một bước ở trên bước kia:

một bước đi qua trong chỗ điểm cắt, có đường chuyền phía trên (nhìn thấy hoàn toàn) và đường chuyền nằm dưới (bị che một phần).

hoán đổi đường chuyền phía trên và đường chuyền nằm dưới của chỗ điểm cắt, tức là chuyển đổi giữa hai đường giao nhau này: Nếu một điểm cắt được chuyển đổi, biểu đồ cũ và mới nói chung thể hiện các nút thắt khác nhau. Việc chuyển đổi tất cả các điểm cắt tương đương với việc thay đổi một nút đối với hình ảnh phản chiếu của nó. Một số nút giống hệt với phiên bản được phản chiếu của chúng, điều đó có nghĩa là có một đồng vị xung quanh giữa chúng. Chúng được gọi là 'đối xứng'. Ví dụ, nút thắt hình số 8 là đối xứng. Những người khác không thể bị biến dạng thành phiên bản được phản chiếu của chúng, như cây trefoil. Chúng được gọi là 'bất đối xứng'.
Nút thắt này có thể biến dạng thành hình ảnh phản chiếu của nó không?

Đây không phải là thuộc tính của đường thắt nút, cũng không phải của nút thắt. Đó là một câu hỏi làm thế nào để di chuyển dọc theo đường thắt nút. Người ta có thể di chuyển theo 2 hướng hay còn gọi là 2 định hướng.
Một nút thắt có thể bị biến dạng từ một đồng vị xung quanh thành chính nó nhưng với hướng bị đảo ngược được gọi là ‘nghịch đảo’, nếu không nó được gọi là không đảo ngược được. Nút không đảo ngược được nhỏ nhất là 8 ₁₇ đối xứng nhưng nếu một hướng được thêm vào thì nút này sẽ trở thành nút bất đối xứng (tìm thêm trên trang Wikipedia Nút Không thể đảo ngược (the Invertible Knot). Việc thêm nhiều cấu trúc hơn (ở đây là một định hướng) khiến nó mất đi tính đối xứng (không còn giống với hình ảnh phản chiếu của nó nữa).

Nút thắt hình số tám ở trên có 4 điểm cắt nhau, nhỏ hơn 8, và vì thế xoay ngược được.
Làm thế nào để biến dạng nút thắt hình số 8 mà giữ nguyên biểu đồ của nó nhưng hướng lại bị xoay ngược?
Trong một ví dụ trước đó, một nút thắt hình số tám đã được biến đổi thông qua một dạng biến dạng đơn giản thành hình ảnh phản chiếu của nó. Sự biến dạng này cũng đã thay đổi hướng – bạn hãy tự mình kiểm chứng! Vì vậy, nếu muốn biến dạng biểu đồ thành hình ảnh phản chiếu của nó mà không xoay ngược hướng, thì chỉ cần kết hợp cả hai trình tự.

--> Một nút thắt bất đối xứng (một nút không thể bị biến dạng so với hình ảnh phản chiếu của nó) vẫn có thể đảo ngược (đối xứng với sự thay đổi hướng). Các nút thắt như vậy được gọi là 'có thể đảo ngược'.

Đối với một biểu đồ nút nhất định, các đường giao nhau là thuận tay phải hoặc trái.
Trong phần tới, chúng ta sẽ khám phá hai kiểu giao nhau và xác định kiểu giao nhau thuận tay phải hay trái.
Có bao nhiêu đường cắt ngang khác nhau nếu chúng ta coi đường chuyền phía trên / nằm dưới và xem xét cả hai hướng?
Nếu một người giữ nguyên biểu đồ và chỉ chuyển đổi một điểm cắt thì độ thuận tay của chỗ băng qua đường đó có thay đổi không?
Bằng cách sử dụng tay, làm thế nào người ta có thể nhớ được liệu đường giao nhau là thuận tay phải hay tay trái?

sự khác biệt giữa số điểm cắt thuận tay trái và tay phải trong một sơ đồ. Số ghi đặc trưng cho một biểu đồ nút thắt, không phải là một nút vì có thể có 2 biểu đồ khác nhau với số ghi khác nhau. Số ghi của biểu đồ nút thắt này là gì?

một số hoặc một đa thức hoặc một kết luận bất biến đặc trưng cho tất cả (vô hạn) biểu đồ của một nút. Các thuộc tính của một nút là bất đối xứng/ đối xứng, nghịch đảo / không đảo ngược được, có thể đảo ngược là những nút bất biến.

số điểm cắt tối thiểu mà bất kỳ biểu đồ nào của nút này có thể có sau khi biến dạng, đây là đặc điểm của mỗi nút và do đó nút bất biến.
Sơ đồ này có bao nhiêu điểm cắt?
Số giao nhau của nút được biểu diễn qua biểu đồ trên là gì?
Hai số điểm cắt thấp nhất mà một nút thắt có thể có là gì?

Một phần của đường thắt nút trong một biểu đồ từ điểm cắt này đến điểm cắt tiếp theo.
Có bao nhiêu cung trên biểu đồ nút thắt có N điểm cắt?

không gian trống trong một biểu đồ nút thắt được bao quanh bởi các vòng cung. Toàn bộ không gian trống bên ngoài biểu đồ cũng là một lỗ.
Có bao nhiêu lỗ trên biểu đồ dạng nút thắt có N điểm cắt?

Một chuỗi các cung liên tiếp trong một biểu đồ nút thắt (tức là các cung nối tiếp nhau) bắt đầu và kết thúc ở đường chuyền phía trên và liên quan đến 0, 1 hoặc nhiều đường chuyền phía trên hơn.

Một chuỗi các cung liên tiếp trong một biểu đồ nút thắt (tức là các cung nối tiếp nhau) bắt đầu và kết thúc thúc ở đường chuyền nằm dưới và liên quan đến 0, 1 hoặc nhiều đường chuyền phía nằm dưới hơn.

(Trong văn học, 'sợi' thường được sử dụng cho cái mà chúng ta gọi là sợi phía trên. Đối với chúng ta, số đường chuyền phía trên của một sợi cũng quan trọng như số đường chuyền nằm dưới. Chúng tôi do đó hãy xem xét sợi nằm dưới cũng như sợi phía trên.)

Đường ngang được hiển thị bao gồm năm vòng cung là loại sợi nào?
Có bao nhiêu sợi phía trên trong biểu đồ nút thắt có N điểm cắt?

Năm 1927, nhà toán học người Đức Kurt Reidemeister và James Waddell Alexander và Garland Baird Briggs (1926), đã chứng minh rằng bất kỳ hai biểu đồ nào biểu thị cùng một nút đều có thể biến dạng thành một chuỗi chỉ gồm 3 kiểu di chuyển khác nhau. Vấn đề là trong quá trình biến dạng, số lượng điểm cắt có thể tạm thời tăng lên và giới hạn trên rõ ràng cho sự gia tăng này là không xác định cũng như số lượng lượt chuyển cần thiết.

loại bỏ hoặc thêm một lỗ được bao quanh bởi một vòng cung: Biểu đồ nào cho thấy đường giao cắt nào thuận sang trái và đường giao cắt nào thuận sang phải?

loại bỏ hoặc thêm một lỗ được bao quanh bởi 2 vòng cung: Người ta có thể nói gì về sự thuận tay của hai đường giao cắt được thêm vào hoặc loại bỏ trong lượt di chuyển Reidemeister 2?

loại bỏ và thêm một lỗ được bao quanh bởi 3 vòng cung.
Bạn có thể nghĩ ra 2 loại lỗ nào được bao quanh bởi 3 vòng cung?

Điều này không liên quan gì đến 'lượt' được xác định ở trên. Một động tác chuyền thay thế một sợi trên (dưới) bằng một sợi trên (dưới) khác trong đó cả hai sợi đều có cùng đầu. Ví dụ, vui lòng xem các bước di chuyển P-, P0 và P + bên dưới.

một bước di chuyển trong đó sợi mới có ít lần vượt qua hơn sợi cũ.
Tìm một động thái P thay thế sợi màu xanh lá cây trong sơ đồ này:

một động tác vượt qua trong đó sợi mới có cùng số lần đi với sợi cũ.
Tìm một động thái P0 thay thế sợi màu xanh lá cây trong sơ đồ này:

P + di chuyển
Tìm một động tác P + thay thế sợi màu xanh lá cây trong sơ đồ này:
P + di chuyển trở nên cần thiết nếu một người muốn thay đổi số ghi của một sơ đồ. Thông tin thêm về điều đó được mô tả thêm bên dưới trong phần 'Tìm P0 Moves'.

Số không xác định là thuộc tính của một nút, không phải là thuộc tính của một sơ đồ và do đó là một bất biến nút.
Bắt đầu với một sơ đồ nút, đó là số lần tối thiểu mà một hoặc nhiều điểm cắt cần phải được chuyển đổi để có được ẩn số. Trước công tắc đầu tiên và công tắc giữa các công tắc, sơ đồ có thể bị biến dạng tùy ý. Do đó, con số không xác định không phải là một con số dễ xác định vì cho phép bất kỳ biến dạng nào.
Tại sao cây ba lá lại có số 1 không mấy tốt đẹp?

Các trường hợp di chuyển đơn giản của R1, như sau: trong đó người ta có thể lật một vòng 4 lần và ngay lập tức có thể dễ dàng phát hiện ra điều không đẹp bằng cách đi theo đường thắt nút và tìm kiếm một vòng cung có cả hai đầu ở cùng một giao nhau. Thứ tự thực hiện các chuyển động của R1 không quan trọng.

Nhưng có nhiều trường hợp áp dụng chiêu Reidemeister 1 tổng quát hơn. Nếu một đoạn đường chuyền phía trên bắt đầu tại một điểm cắt mà nó là một cầu vượt nhưng ngược lại nằm hoàn toàn trên đầu các cung khác (do đó được gọi là 'over-strand') thì vòng xoắn này chắc chắn có thể là lối tắt và do đó bị loại bỏ. Ví dụ: lúc đầu, vòng xoắn ở trên cùng ở trung tâm có thể được loại bỏ và sau đó các vòng xoắn khác, từng cái một: Vòng xoắn này cũng có thể được gỡ bỏ khi nằm hoàn toàn bên dưới: Tìm Di chuyển R2

Trong ví dụ sau, người ta phải thực hiện chuyển động R2 với cùng một sợi dây hai lần, một lần kéo sợi dây này từ bên dưới và một lần từ phía trên: Bước cuối cùng không phải là bước đi R2. Nó chỉ được thêm vào để chứng tỏ rằng nút thắt là tổng của hai nút hình tam giác. Giới thiệu về Giao diện (1)

Ví dụ trên là phù hợp để chứng minh việc sử dụng giao diện tối ưu. Sau khi chặn đường thắt nút: Người ta KHÔNG thể rút lui một đầu tất cả các cách; và sau đó rút lui đầu kia hết cỡ vì trước tiên người ta sẽ loại bỏ một điểm vượt qua và có cả hai đầu ở trạng thái vượt qua và ở trạng thái này, không thể loại bỏ một điểm vượt qua. Thay vào đó, người ta loại bỏ một đường chuyền dưới, nhảy sang đầu kia, loại bỏ đường chuyền dưới khác đưa cả hai đầu vào cùng một lỗ, điều này sẽ thay đổi các đầu này thành trạng thái trung lập và sau đó cho phép loại bỏ các đường chuyền vượt và sau đó tái đoàn kết các đầu. Nói tóm lại, một bước nhảy giữa các điểm cuối để loại bỏ tất cả các đường chuyền dưới rồi đến tất cả các đường chuyền vượt, v.v.

Việc thực hiện trạng thái kết thúc này không phải là điểm yếu của chương trình nhưng nó đảm bảo rằng việc sửa đổi tương tác của sơ đồ không làm thay đổi nút thắt toán học.

P- di chuyển thay thế một sợi quá với một sợi có ít đường chuyền phía trên hoặc một sợi với một sợi có ít đường chuyền hơn. Trong cả hai trường hợp, số điểm cắt đều giảm.

Để tìm các bước di chuyển như vậy, hãy đi một bước qua đường thắt nút và tìm kiếm càng nhiều đường chuyền phía trên liên tiếp càng tốt hoặc nhiều đường chuyền dưới liên tiếp nhất có thể, ít nhất là hai. Nếu một người tìm thấy một đoạn đường như vậy, ví dụ, một đoạn đường vượt thì người ta cố gắng tìm một tuyến đường thay thế có ít đường vượt hơn liên kết hai đầu đường chuyền phía trên giống nhau.

Trong ví dụ sau, một sợi có 4 đường chui liên tiếp được thay thế bằng một sợi không có đường chui và sau đó, sợi có 3 đường chuyền phía trên liên tiếp này được thay thế bằng một sợi có một đường chuyền phía trên. Hai lần di chuyển P nữa sẽ loại bỏ mỗi lần thêm 2 đường cắt ngang. Sơ đồ kết quả có thể được đơn giản hóa thêm bằng hai lần di chuyển R1, như được thấy bên dưới. Người ta tìm được càng nhiều đường chuyền liên tiếp của một loại thì cơ hội tìm thấy một tuyến đường khác cần ít lượt vượt qua càng cao.

Các chuyển động R1, R2 và P- thay đổi số điểm cắt. Một bước đi R3 không thay đổi số điểm cắt, do đó chúng tôi đặt mô tả của nó sau bước di chuyển P. Ví dụ sau đây cho thấy cách chuyển động của R3 vẫn có thể hữu ích bằng cách thực hiện chuyển động P-. Như được mô tả trong phần đầu tiên, một lỗ R3 được bao quanh bởi một vòng cung trên cùng với 2 đầu vượt (ở đây là A, B), một vòng cung ở giữa với 1 đầu vượt (C) và 1 đầu dưới vượt (B) và một vòng cung dưới cùng với 2 đầu dưới (ở đây là A, C). (không được lấy từ trang Unknot Wikipedia)

Chúng tôi đã tìm thấy trong phần trên rằng một chuyển động R3 đảo ngược đối với sợi ở giữa (từ đây đến B, C) theo thứ tự vượt qua và vượt qua. Nước đi R3 có lợi nếu nước đi R3 dẫn đến sự tiếp tục của cung giữa dẫn đến sự gia tăng các đường chuyền vượt liên tiếp và / hoặc các đường chuyền dưới liên tiếp và do đó làm tăng cơ hội tìm được nước đi P-. Trường hợp này xảy ra nếu trong sự tiếp tục của vòng cung giữa sau khi đường dưới B xuất hiện đường chuyền phía trên (D, E là đường chuyền phía trên) và / hoặc sau đường chuyền phía trên (C) theo sau đường chuyền phía trên (F , G, H là gạch dưới). Chuyển động R3 trượt cung trung tuyến BC giữa cung đỉnh và cung đáy tại A: Trước đây, chỉ có 2 đường chuyền phía trên liên tiếp tại D và E, bây giờ có 3 đường chuyền phía trên tại C, D và E. Hiện tại, đường chuyền phía trên dài hơn này có thể được định tuyến lại trong một động tác P-:
giảm số điểm cắt từ 13 xuống 11.

Ngoài ra, phía bên kia của sợi có thể được định tuyến lại trong một động tác P. Trước đây, có 3 đường chuyền dưới liên tiếp ở F, G và H, bây giờ có 4 đường dưới ở B, F, G và H. Nước đi P này dẫn đến: và cũng đang giảm số lần giao cắt xuống 2. Cả hai sơ đồ có thể được đơn giản hóa hơn nữa thông qua các chuyển động P- và R1 dẫn đến cuối cùng là ẩn số. Bạn có thể thấy như thế nào? Chỉ cần làm theo các gợi ý về cách phát hiện động tác P được đưa ra ở trên.

Hãy thử luyện tập với một ví dụ.


Có thể thực hiện bao nhiêu lần di chuyển R3 trong biểu đồ này:

Ví dụ trên phù hợp để chứng minh cách thực hiện một bước di chuyển R3 với giao diện của chúng tôi.

Như được mô tả trong 'Giới thiệu với các định nghĩa'> 'Di chuyển 3 Reidemeister', có 3 cách để thực hiện chuyển động 3 Reidemeister: di chuyển sợi dưới cùng, di chuyển sợi giữa hoặc, di chuyển sợi trên cùng. Như hình ở đó, cả 3 cách đều có cùng một kết quả, chúng thực hiện cùng một nước đi Reidemeister 3.

Giao diện của chúng tôi chỉ cho phép một người hoàn thành một lần di chuyển R3 bằng cách di chuyển sợi dưới cùng hoặc sợi trên cùng nhưng không cho phép sợi ở giữa. Lý do là đặc điểm của giao diện của chúng tôi là CẢ HAI kết thúc chỉ có thể thêm / xóa các điểm vượt hoặc cả HAI kết thúc chỉ có thể thêm / xóa các điểm vượt qua tại một thời điểm. Nhưng điều đó không ngăn cản chúng ta thực hiện các chuyển động R3, vì di chuyển bất kỳ một trong 3 sợi đều cho kết quả tương tự.

P0 di chuyển là di chuyển không làm thay đổi số điểm cắt, giống như di chuyển R3 là phiên bản đặc biệt của di chuyển P0. Giống như các động thái R3, một động thái P0 có thể có lợi và cho phép một động thái P-. Bởi vì các nước đi P0 trung bình ít hữu dụng hơn, chúng xảy ra thường xuyên hơn nhưng sẽ khó hơn để xem liệu chúng có kích hoạt một nước cờ P hay không.

Để tìm một nước đi P0, người ta tìm kiếm một sợi trên hoặc một sợi dưới giống như đối với một nước đi P. Để kiểm tra xem một nước đi P0 có thể có lợi hay không và cho phép một nước đi P, người ta tiến hành như trong trường hợp nước đi R3. Người ta xem xét liệu việc loại bỏ sợi có làm tăng số lượng sợi vượt hoặc dưới liên tiếp đã được vượt qua hay không và người ta kiểm tra xem sau khi định tuyến lại sợi mới có làm tăng số lượng sợi vượt hoặc dưới liên tiếp hay không. vượt qua bây giờ. Trong một trong hai trường hợp này, người ta kiểm tra xem các sợi có số lần vượt hoặc vượt liên tiếp tăng lên có thể được định tuyến lại với ít giao cắt hơn hay không.

Chúng ta hãy xem xét ví dụ này: Chúng tôi gắn nhãn các điểm cắt: và tìm một bước di chuyển P0 có lợi từng bước.

Bạn nhìn thấy bao nhiêu sợi phía trên có ít nhất 2 đường chuyền phía trên và bao nhiêu sợi nằm dưới có ít nhất 2 đường chuyền nằm dướit?
Không khó để thấy rằng sợi IE có lượt di chuyển P0 định vị lại nó để đi qua sợi GC và BH: nhưng câu hỏi đặt ra là liệu lượt di chuyển P0 này có lợi hay không.

Việc di chuyển sợi IE có làm tăng số đường chuyền phía trên/ nằm dưới của các sợi DF hoặc HJ đã bị cắt trước đó không?
Có tạo ra nhiều đường chuyền phía trên / nằm dưới liên tiếp hơn khi đặt sợi lên trên 2 sợi GC và BH không?
Có thể định tuyến lại sợi BH này trong một động thái P để giảm số điểm cắt không?
Thực tế là sợi mới dài hơn (liên quan đến nhiều bước hơn) trong sơ đồ này so với sợi được thay thế không quan trọng. Tất cả những gì quan trọng là việc giảm số lượng đường giao nhau từ 10 xuống còn 8, hiện cho phép xác định nút này là nút 8 ₁₇ .

Trong sơ đồ ban đầu, bước di chuyển P này có thể được thực hiện trước như một bước di chuyển P0 và bước di chuyển P0 được đề cập ở trên sau đó là bước di chuyển P với cùng một tổng tiết kiệm của 2 điểm cắt.

Trong các bài toán khó, có thể cần thực hiện một số động tác P0 trước khi có thể thực hiện chuyển động P.

Một sơ đồ được đơn giản hóa tối đa nếu số lượng điểm cắt là số đường giao nhau (xem phần đầu tiên). Trong trường hợp đó, động thái P0 sẽ không bao giờ kích hoạt chuyển động P.

A P+ move increases the number of crossings in a diagram. Why could such a move be useful for anything if the goal is usually to simplify diagrams? To see their purpose remind yourself about crossing numbers, handedness of crossings, writhe numbers and how the different Reidemeister moves affect both numbers. Then have a look at the following (difficult) challenge.

For a long time since the late 19^th century two diagrams named 10₁₆₁ and 10₁₆₂ in a table of Dale Rolfsen were thought to belong to two different knots. 1973 Kenneth Perko realized that both represent the same knot. Since then the pair of entries in classical knot tables that actually represent the same knot is called Perko pair.
These two diagrams represent the same knot 10₁₆₁. How can they be deformed into each other Làm thế nào người ta có thể tìm thấy một chuỗi các động tác P + và P- và có thể là P0 như vậy để thực hiện một biến dạng như vậy?
Đây là một thách thức khác. Làm thế nào hai sơ đồ này có thể bị biến dạng vào nhau?

Một bước di chuyển U1 chuyển một điểm cắt mà sau đó cho phép đơn giản hóa sơ đồ để loại bỏ tất cả các đường giao nhau và cho thấy rằng lượt chuyển tạo ra nút được gỡ.

Nói chung, các câu đố đẹp phải có các giải pháp duy nhất, vì vậy các câu đố U1 và U2 của chúng tôi hiển thị các sơ đồ trong đó chuyển đổi của chỉ một giao nhau dẫn đến kết quả không xác định. Gợi ý này cho phép bạn cắt giảm tìm kiếm.

Nếu biểu đồ bao gồm một đoạn xoắn của đường thắt nút như thế này:

Liệu một trong những điểm cắt được chuyển đổi có quan trọng?
Nếu vẫn còn điểm cắt thì nên thử tưởng tượng có bao nhiêu chuyển động R1, R2 scó sẵn qua lượt chuyển đổi và thử lượt đó trước, điều này dường như tạo ra sự đơn giản hóa nhất sau đó.

Một gợi ý khác để giảm thiểu việc thử nhiều lượt chuyển là hãy tưởng tượng xem liệu sau khi chuyển có chắc chắn sẽ còn lại một nút thắt, giống như trefoil không. Nếu vậy thì lượt chuyển đó không phải là lượt chuyển chính xác trong các câu đố U1.

Trên trang tính, số lượng các lượt chuyển có sẵn có sẵn được giới hạn ở mức tối thiểu cần để tạo ra nút thắt được gỡ. Nếu bạn đã chuyển đổi, người ta không thể chuyển đổi nó trở lại vì biểu đồ nút thắt có thể đã bị thay đổi, vì vậy người ta sẽ phải đặt lại.

Đối với các câu đố U2, gợi ý tương tự về các lượt hoán đổi tương đương cũng được áp dụng như đối với các câu đố U1. Ngoài ra, đối với các câu đố U2, chỉ có một điểm cắt làm giảm số nút thắt được gỡ, tức là tiến tới nút thắt được gỡ. Khi điểm cắt đầu tiên duy nhất đó được chuyển và biểu đồ cuối cùng được đơn giản hóa, có thể có nhiều hơn một lần chuyển để tạo ra nút thắt được gỡ.

Nghiên cứu được thực hiện bởi Caribou Contests về số nút thắt được gỡ cho thấy rằng có tồn tại các hình nút thắt được đơn giản hóa tối đa (với số điểm cắt tối thiểu), mà không cần chuyển đổi để đơn giản hóa. Nói cách khác, có những hình mà việc chuyển đổi bất kỳ giao cắt nào sẽ không đạt được tiến bộ để đạt được điều không thể. Trong trường hợp đó, trước tiên người ta phải thực hiện một hoặc nhiều động tác P0 để thay đổi khối hình thành khối hình U2. Tin vui là các hình yêu cầu di chuyển P0 trước là rất hiếm và do đó có khả năng là bất kỳ di chuyển P0 nào sẽ thay đổi nó thành một câu đố U2.

Thử thách Unknotting trên hệ thống đã được lựa chọn một cách kỹ lưỡng. Để biết được chúng đặc biệt thế nào có thể giúp giải quyết các thử thách.
Các bước di chuyển R3
Các bước di chuyển U1 và U2
Các bước di chuyển P0
Bước di chuyển P0U