Unknotting ©

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Dieser Leitfaden führt Sie in das Thema der Knotentheorie ein. Der erste Abschnitt gibt eine Einführung in wichtige Konzepte und Terminologie der Mathematiktheorie. Wenn Sie nur nach schnellen Tipps suchen, um die Rätsel zum Entknoten zu lösen, springen Sie zum zweiten Abschnitt. Sie können immer den ersten Abschnitt konsultieren, wenn die Bedeutung einiger Wörter unklar ist.

Einleitung mit Definitionen

Einleitung
Das Wichtigste zuerst: Was sind Knoten? Knoten in der Mathematik sind etwas anderes als Knoten in deinem Alltag.

Welche Arten von Knoten verwenden Sie jeden Tag?

Wie unterscheiden sich diese von mathematischen Knoten?

Gibt es mathematische Knoten im Alltag?

Natürlich! Sie wissen nun, dass ein Knoten in der Mathematik ein einzelner, geschlossener, durchgehender Strang ist.

Was ist mit dieser Definition im Hinterkopf der einfachste mathematische Knoten?

Der einfachste mathematische Knoten ist nur eine einzelne Schleife oder ein Kreis, etwa so:

Wir werden später noch mehr über diesen Knoten sprechen, aber es gibt viele Beispiele für einfache Schlaufen wie diese im wirklichen Leben.

Wie kann man aus einem Stück Schnur einen mathematischen Knoten machen?

Der einfachste mathematische Knoten ist ein Kreis. Um es zu machen, klebst du einfach die Enden deiner Schnur zusammen.

Was passiert, wenn Sie Ihren Kreis einmal drehen?

Ist das ein anderer Knoten?

Können alle Knoten zu einem Kreis verformt werden?

Wie anders kann ein Knotendiagramm von der einfachsten Form aussehen?

Wie funktioniert das Entknoten-Spiel?

Definitionen
Von hier an sprechen wir nur noch von mathematischen Knoten. Um Missverständnisse zu vermeiden und entscheiden zu können, ob eine Aussage wahr oder falsch ist, sollten wir damit beginnen, die Bedeutung einiger Wörter für den Rest dieser Seite zu definieren.
Knotenlinie:

eine geschlossene Kurve im 3-dimensionalen Raum, die sich nicht schneidet und eine endliche Dicke hat (um unendlich viele immer kleinere Knoten entlang der Linie zu vermeiden), Beispiel: die Figur 8 Knoten.
Knoten-Diagramm:
Eine Projektion einer Knotenlinie in 2 Dimensionen, in denen sich verschiedene Teile der Knotenlinie kreuzen können (auf dieser Website kreuzen sich Linien in einem Winkel von 90°), aber nicht übereinander liegen.

Losknüpfen



Kleeblatt



Achter



Fünfpass



Drei Drehungen

Der "Unknoten" wird auch als "trivialer Knoten" bezeichnet.
Welchen Knoten stellt jedes dieser 3 Diagramme dar?

Der Knoten. Sehen Sie, wie sie zu einem Rechteck verformt werden können?

Welchen Knoten stellt dieses Diagramm dar?

Das Kleeblatt.

Siehst du, wie man das in das frühere Kleeblattdiagramm verformen kann?

Sie können dieses Diagramm in das andere verformen, indem Sie den oberen Bogen nach unten drehen.

Mathematischer Knoten (oder einfach Knoten):
Das abstrakte Objekt hinter einer Reihe von (unendlich vielen) Knotendiagrammen, die alle verformt, gedehnt und ineinander verschoben werden können, ohne geschnitten zu werden. Beispiel: der Knoten 3₁ , auch "Kleeblatt" genannt, der einfachste nicht-triviale Knoten.

Isotopie in der Umgebung:
Der mathematische Begriff, bei dem eine Knotenlinie kontinuierlich zu einer anderen verzerrt werden kann.

Schritt:
Auf dieser Website werden Knotendiagramme mit nur 6 Kacheln gezeichnet, die wir als Schritte bezeichnen:

Kreuzung:
Die Stelle in einem Diagramm, an der sich zwei Stufen übereinander kreuzen:

bestehen:
Eine Stufe, die Teil einer Kreuzung ist, es gibt Überführungen (vollständig sichtbar) und Unterführungen (teilweise überdacht).

Schalter:
Über- und Unterführung einer Kreuzung, d.h. Umschalten zwischen diesen beiden Kreuzungen:

Wird eine Kreuzung gewechselt, stellen das alte und das neue Diagramm in der Regel unterschiedliche Knoten dar. Das Tauschen aller Kreuzungen ist gleichbedeutend mit dem Ändern eines Knotens in sein Spiegelbild. Einige Knoten sind identisch mit ihrer verspiegelten Version, d.h. zwischen ihnen befindet sich eine Umgebungsisotopie. Diese werden als "achiral" bezeichnet. Zum Beispiel ist der Knoten der Figur 8 achiral. Andere können nicht zu ihrer gespiegelten Version verformt werden, wie z.B. das Kleeblatt. Sie werden "chiral" genannt.
Kann dieser Knoten zu seinem Spiegelbild verformt werden?

Ja! Dieses Diagramm stellt den Achterknoten dar, der achiral ist und wie folgt zu seinem Spiegelbild verformt werden kann:

Ausgangsstellung

Eine 180°-Drehung

Verschieben eines Strangs

Das Spiegelbild

Beachten Sie, dass der einzige Unterschied zwischen dem ersten und dem letzten Diagramm darin besteht, dass alle Kreuzungen vertauscht sind!

Orientierung:
Dies ist weder eine Eigenschaft der Knotenlinie noch des Knotens. Es ist eine Frage, wie man sich entlang der Knotenlinie bewegt. Man kann sich in 2 Richtungen bewegen, auch 2 Orientierungen genannt.

Ein Knoten, der über ein Umgebungsisotop in sich selbst verformt werden kann, aber mit umgekehrter Orientierung, wird als "invertierbar" bezeichnet, ansonsten wird er als nicht invertierbar bezeichnet. Der kleinste nicht invertierbare Knoten ist 8₁₇ , der achiral ist, aber wenn eine Orientierung hinzugefügt wird, wird er chiral (mehr dazu auf die Wikipedia-Seite "Invertibler Knoten"). Das Hinzufügen von mehr Struktur (hier eine Orientierung) führt dazu, dass 8₁₇ die Symmetrie verliert (nicht mehr identisch mit seinem Spiegelbild).

Der oben erwähnte Achterknoten hat die Kreuzungsnummer 4, also kleiner als 8, und muss daher invertierbar sein.
Wie könnte der Achterknoten so verformt werden, dass sein Diagramm unverändert bleibt, aber die Ausrichtung umgekehrt ist?
Die folgende Sequenz beweist, dass der Knoten invertierbar ist, da ein Diagramm dieses Knotens in das gleiche Diagramm verformt werden kann, jedoch mit umgekehrter Ausrichtung.

Erste Hochrechnung

Umleitung

Danach

Umleitung

Danach

Umleitung

Danach

Umleitung

Danach

Danach

Erweitert, jetzt
mit entgegengesetzter Ausrichtung

In einem früheren Beispiel wurde ein Achterknoten durch eine einfache Verformung in sein Spiegelbild transformiert. Durch diese Verformung veränderte sich auch die Orientierung – bitte überprüfen Sie es selbst! Wenn man also das Diagramm spiegelbildlich verformen wollte, ohne die Ausrichtung rückgängig zu machen, dann konnte man einfach beide Sequenzen kombinieren.

Ein chiraler Knoten (ein Knoten, der nicht spiegelbildlich verformt werden kann) kann immer noch invertierbar sein (symmetrisch gegen Orientierungsänderung). Solche Knoten werden als "reversibel" bezeichnet.

Gekreuzte Händigkeit:
Für ein gegebenes Knotendiagramm sind Kreuzungen entweder rechts- oder linkshändig.
Im Folgenden werden wir zwei Arten von Kreuzungen untersuchen und feststellen, welche rechts- oder linkshändig ist.
Wie viele verschiedene Kreuzungen gibt es, wenn wir uns überlegen, welcher Pass eine Über-/Unterführung ist und beide Ausrichtungen berücksichtigen?
Insgesamt gibt es 8 Fälle:
Wenn es sich bei der horizontalen Bahn um die Überführung handelt, gibt es 4 Optionen:

1

2

3

4

Wenn der vertikale Durchgang die Überführung ist, gibt es 4 weitere Optionen:

5

6

7

8

Prinzip: Die Händigkeit sollte nicht von der Ausrichtung (Schrittrichtung durch die Knotenlinie) abhängen, daher identifizieren wir beim Umkehren beider Pfeile 4 Kreuzungspaare: 1 = 4, 2 = 3, 5 = 8, 6 = 7. Unabhängig davon, welche Gruppen wir am Ende haben, sollten die Kreuzungen 1 und 4 in derselben Gruppe sein und so weiter.
Prinzip: Die Gruppe, zu der eine Kreuzung gehört, sollte sich nicht ändern, wenn wir den ganzen Knoten drehen. Wir identifizieren also die Kreuzungen 1 = 7 = 4 = 6 und 2 = 5 = 3 = 8.
Nach allen Identifikationen haben wir noch 2 Gruppen:
Die Kreuzungen der Gruppe 1, 7, 4, 6 werden als Rechtsübergänge bezeichnet und
Die Kreuzungen der Gruppe 2, 5, 3, 8 werden als Linksübergänge bezeichnet.

Wenn man das Diagramm unverändert lässt und nur eine Kreuzung schaltet, ändert sich dann die Händigkeit dieser Kreuzung?
Ja. Versuchen Sie, eine der acht Kreuzungen zu wechseln, prüfen Sie dann, welche es geworden ist, und prüfen Sie, ob sie sich noch in der gleichen Händigkeitsgruppe befindet. Wenn man z.B. Kreuzung 1 umschaltet, erhält man Kreuzung 5, beide befinden sich in unterschiedlichen Händigkeitsgruppen.

Aussage: Die Frage, ob eine Kreuzung rechts- oder linkshändig ist, hängt nicht nur von der Kreuzung selbst ab, sondern auch von dem Diagramm, das sie umgibt.

Beweis: Ob der horizontale Durchgang oben oder unten ist, entscheidet nicht allein über die Händigkeit. Beide Fälle können Rechts- und Linkshänder sein (siehe die 8 Kreuzungen oben). Dreht man den Knoten so, dass die Überführung waagerecht ist und verlässt man dann die Kreuzung durch den Übergang nach rechts (nach Osten), dann hängt es vom Rest des Knotens ab, ob man von Süden (dann ist die Kreuzung rechtshändig) oder von Norden (dann ist die Kreuzung linkshändig) zur Kreuzung zurückkehrt.

Die Tatsache, dass die beiden Gruppen von Kreuzungen als links- und rechtshändig bezeichnet werden, gibt einen Hinweis darauf, dass man Kreuzungen mit der linken und rechten Hand unterscheiden kann.

Wie kann man sich mit den Händen daran erinnern, ob eine Kreuzung rechts- oder linkshändig ist?
Strecken Sie Ihre Finger so aus, dass sich alle in einer Ebene befinden und Ihr Daumen im rechten Winkel zu allen anderen steht, die parallel zueinander sind. Drehen Sie Ihre Hand so, dass Sie Ihre Handfläche sehen und Ihr Daumen in die nach außen gerichtete Richtung der Überführung zeigt und Ihre Finger in die nach außen gerichtete Richtung der Unterführung zeigen. Die Hand, die das kann, entscheidet über die Händigkeit. Für die Kreuzung unten würdest du zum Beispiel deine Hand wie folgt ausstrecken:

Da du dies nur mit der linken Hand machen kannst, handelt es sich um eine linkshändige Kreuzung.

Rechts- und Linkskurven werden auch als positive oder negative Kreuzungen bezeichnet.

Zahl krümmen:
Die Differenz zwischen der Anzahl der links- und rechtshändigen Kreuzungen in einem Diagramm. Die Krümmungszahl kennzeichnet ein Diagramm, nicht einen Knoten, da es 2 verschiedene Diagramme desselben Knotens mit unterschiedlichen Krümmungszahlen geben kann.

Wie lautet die Windungszahl dieses Diagramms?
Die rechtshändigen Kreuzungen im Diagramm sind rot und die linkshändigen Kreuzungen grün hervorgehoben. Um die gekrümmte Zahl zu erhalten, können wir die Anzahl der Links- und Rechtsüberquerungen zählen und dann die Anzahl der Rechtsüberquerungen von der Anzahl der Linksüberquerungen abziehen.

Dieses Diagramm hat 2 linkshändige Kreuzungen und 4 rechtshändige Kreuzungen, so dass seine Krümmungszahl 2 − 4 = −2 ist.

Knoten invariant:
eine Zahl oder ein Polynom oder eine Machbarkeitsaussage, die für alle (unendlich vielen) Diagramme eines Knotens charakteristisch ist. Die Eigenschaften eines Knotens, chiral/achiral, invertierbar/nicht invertierbar, reversibel zu sein, sind Knoteninvarianten.

Kreuzungsnummer:
Die minimale Anzahl von Kreuzungen, die ein Diagramm dieses Knotens nach der Verformung aufweisen kann, ist ein Merkmal jedes Knotens und daher eine Knoteninvariante.
Wie viele Kreuzungen hat dieses Diagramm?

Dieses Diagramm hat 5 Kreuzungen.

Wie hoch ist die Kreuzungszahl des Knotens, die durch das obige Diagramm dargestellt wird?
Null! Die Kreuzungszahl ist eine Eigenschaft des abstrakten mathematischen Knotens, sie ist nicht die Eigenschaft eines Diagramms. Das obige Diagramm kann verformt werden, um den Knoten zu lösen die Nulldurchgänge hat.

Siehst du, wie?

Da die Kreuzungszahl die minimale Anzahl von Kreuzungen eines Diagramms eines Knotens ist und man nicht weniger als null Kreuzungen haben kann, ist die Kreuzungsnummer des Knotens, die durch das obige Diagramm dargestellt wird, Null.

Was sind die beiden niedrigsten Kreuzungszahlen, die ein Knoten haben kann?
Die niedrigste Kreuzungsnummer gehört zum Knoten, der 0 ist. Ein Knotendiagramm mit 1 Kreuzung würde wie folgt aussehen:

und könnte bis zum Knoten verformt werden. Ein Knotendiagramm mit 2 Kreuzungen würde wie folgt aussehen

und könnte auch bis zum Unknoten verformt werden.
Das weiter oben gezeigte Kleeblattdiagramm hat 3 Kreuzungen und kann nicht bis zum Unknoten verformt werden, daher sind die niedrigsten Kreuzungsnummern 0 und 3.

Bogen:
Der Teil der Knotenlinie in einem Diagramm von einer Kreuzung zur nächsten.
Wie viele Bögen hat ein Schema mit N Kreuzungen?
Jede Kreuzung hat 4 Enden von Bögen. Jeder Bogen hat 2 Enden, so dass es 4/2 = 2 mal so viele Bögen wie Kreuzungen gibt, also 2N Bögen .

Loch:
Leerraum in einem Diagramm, das von Bögen umgeben ist. Der gesamte leere Raum außerhalb des Diagramms ist ebenfalls ein Loch.
Wie viele Löcher hat ein Diagramm mit N Kreuzungen?
Man könnte mehrere Knoten ziehen und eine Formel erraten, aber man kann sie auch ableiten. Die Formel von Euler besagt, dass für jede Zeichnung in der Ebene, in der m Linien (hier m=2N Bögen ) jeweils 2 von n Punkten verbinden (hier n=N Kreuzungen), dann ist die Anzahl f der Flächen (hier Löcher) f = 2 + m − n. Daraus ergibt sich die Anzahl der Löcher eines Knotens: 2 +2 N − N = N + 2

über Strang:
Eine Abfolge aufeinanderfolgender Bögen in einem Diagramm (d. h. aufeinander folgende Bögen), die an einer Unterführung beginnt und endet und ansonsten 0, 1 oder mehr Überführungen umfasst.

Unterstrang:
Eine Abfolge von aufeinanderfolgenden Bögen in einem Diagramm (d. h. aufeinander folgende Bögen), die an einer Überführung beginnt und endet und ansonsten 0, 1 oder mehr Unterführungen umfasst.

(In der Literatur wird ein "Strang" oft für das verwendet, was wir einen Überstrang nennen. Für uns ist die Anzahl der Überführungen eines Überstrangs ebenso wichtig wie die Anzahl der Unterführungen eines Unterstrangs. Wir betrachten daher sowohl Unterstränge als auch Überstränge.)

Um was für einen Strang handelt es sich bei der dargestellten horizontalen Linie, die aus fünf Bögen besteht?

Es handelt sich um einen Unterstrang mit 4 Unterführungen.

Wie viele Überlitzen hat ein Diagramm mit N Kreuzungen ?
An jeder Kreuzung gibt es 2 Enden von Strängen (entweder ein Ende von 2 verschiedenen Strängen oder beide Enden von einem Strang). Auf der anderen Seite hat jeder Strang 2 Enden, die sich an einer Kreuzung befinden. Daher ist die Anzahl der Kreuzungen gleich der Anzahl der Überlitzen und wegen der Symmetrie auch gleich der Anzahl der Unterstränge, so dass es von jedem N gibt.

Reidemeister zieht um:
Im Jahr 1927 bewiesen der deutsche Mathematiker Kurt Reidemeister und unabhängig voneinander James Waddell Alexander und Garland Baird Briggs (1926), dass zwei beliebige Diagramme, die denselben Knoten darstellen, durch eine Abfolge von nur 3 verschiedenen Arten von Zügen ineinander verformt werden können. Das Problem ist, dass während der Verformung die Anzahl der Kreuzungen vorübergehend ansteigen kann und eine scharfe Obergrenze für diese Zunahme unbekannt ist, ebenso wie die Anzahl der erforderlichen Züge.

Reidemeister 1 Zug:
Entfernt oder fügt eine Bohrung hinzu, die von einem Bogen umgeben ist:





Welches Diagramm zeigt eine linkshändige Kreuzung und welches eine rechtshändige Kreuzung?
Das linke Diagramm zeigt eine rechtshändige Kreuzung und das rechte Diagramm eine linkshändige Kreuzung. Ein Reidemeister 1 Zug ändert also die Anzahl der rechts- oder linkshändigen Kreuzungen um 1 und damit die Windungszahl des Diagramms.

Reidemeister 2 Zug:
Entfernt oder fügt ein Loch hinzu, das von 2 Bögen umgeben ist:





Was kann man über die Händigkeit der beiden Kreuzungen sagen, die in einem Reidemeister 2-Zug hinzugefügt oder entfernt werden?
Eine der beiden Kreuzungen ist rechts- und eine linkshändig. Ein Reidemeister 2-Zug ändert also nicht die Windungszahl eines Diagramms.

Reidemeister 3 Zug:
Entfernt ein Loch, das von 3 Bögen umgeben ist, und fügt es hinzu.
Welche 2 Arten von Löchern, die von 3 Bögen umgeben sind, fallen Ihnen ein?
Entweder:

1) Jeder Bogen hat 1 Überführung und 1 Unterführung:

dann kann keiner der 3 Bögen über/unter/durch die andere Kreuzung bewegt werden

Oder:

2) Ein Bogen hat 2 Überführungen, einer hat 1 Über- und 1 Unterführung und einer hat 2 Unterführungen:

Dann gibt es 3 Züge. Man kann den Über-Über-Strang verschieben, der ein Über-Über-Strang bleibt:

oder verschieben Sie den Unter-Über-Strang, der zu einem Über-Unter-Strang wird:

oder verschieben Sie den Unter-Unter-Strang, der ein Unter-Unter-Strang bleibt:

Vergewissern Sie sich, dass das Ergebnis der 3 Züge immer gleich ist.
Wenn man die rechte Seite der obigen Züge vergleicht, ist leicht zu erkennen, dass alle 3 Züge identische Ergebnisse liefern. Wenn es also einen Reidemeister 3 Zug gibt, dann gibt es auch nur einen. Das ändert sich lediglich, dass für alle 3 Bögen die anderen beiden Bögen nun in umgekehrter Reihenfolge gekreuzt werden. Das bedeutet, dass für den mittleren Bogen die Reihenfolge von Über- und Unterführung vertauscht wird.

Ändert sich die Händigkeit der 3 Kreuzungen in einem Reidemeister 3 Zug?
Nein. Um das zu sehen, wähle eine beliebige Ausrichtung für jeden Strang und verwende die obige Handregel.

Was haben wir gelernt?
Wir haben gelernt:
wie man Löcher mit 3 Bögen erkennt, die einen Reidemeister 3-Zug ermöglichen,
dass es für ein solches Loch keine Rolle spielt, welcher Lichtbogen bewegt wird,
dass sich die Händigkeit der 3 Kreuzungen nicht ändert,
dass die Reihenfolge der Über- und Unterführung für den mittleren Bogen vertauscht wird.
All diese Erkenntnisse werden weiter unten nützlich sein, wenn wir lernen, Knoten zu vereinfachen.

Pass-Bewegung:
Dies hat nichts mit einem oben definierten "Pass" zu tun. Bei einem Durchgang wird ein Über-(Unter-)Strang durch einen anderen Über-(Unter-)Strang ersetzt, bei dem beide Litzen die gleichen Enden haben. Beispiele finden Sie unter P-, P0- und P+-Verschiebungen weiter unten.

P- Bewegen:
Ein Durchlaufzug, bei dem der neue Strang weniger Durchgänge hat als der alte Strang.
Suchen Sie in diesem Diagramm nach einer P-Verschiebung, die den grünen Strang ersetzt:

In diesem Diagramm hat der neue rote Strang weniger Durchgänge als der alte grüne Strang. Daher zeigt dieses Diagramm eine P- Bewegung.

P0 Zug:
Ein Durchzug, bei dem der neue Strang die gleiche Anzahl von Durchgängen wie der alte Strang hat.
Suchen Sie in diesem Diagramm einen P0-Zug, der den grünen Strang ersetzt:

In diesem Diagramm hat der neue rote Strang die gleiche Anzahl von Durchgängen wie der alte grüne Strang. Daher zeigt dieses Diagramm einen P0-Zug.

P+ Verschieben:
Eine Passbewegung, bei der der neue Strang mehr Durchgänge hat als der alte Strang.
Suchen Sie in diesem Diagramm nach einer P+-Verschiebung, die den grünen Strang ersetzt:

In diesem Diagramm hat der neue rote Strang einen Durchgang mehr als der alte grüne Strang, daher handelt es sich um einen P+-Zug.

P+ Verschiebungen werden notwendig, wenn man die Windungszahl eines Diagramms ändern möchte. Mehr dazu finden Sie weiter unten unter 'P0 Züge finden'.

Nummer zum Entknoten:
Die Entknüpfungszahl ist die Eigenschaft eines Knotens, nicht die Eigenschaft eines Diagramms und daher eine Knoteninvariante.
Ausgehend von einem Knotendiagramm ist es die minimale Anzahl von Malen, die eine oder mehrere Kreuzungen gewechselt werden müssen, um den Knoten zu erhalten. Vor dem ersten Schalter und Zwischenschaltern kann das Diagramm beliebig verformt werden. Die Entknüpfungszahl ist daher nicht einfach zu bestimmen, da jede Verformung zulässig ist.
Warum hat das Kleeblatt die Entknüpfungsnummer 1?
Das Kleeblatt kann nicht die Entknüpfungszahl 0 haben, da es sich nicht zum Knoten verformen lässt (dies muss und kann bewiesen werden). Der Knoten hat die Entknüpfungsnummer 0. Das Kleeblatt hat also die Entknüpfungsnummer ≥1. Auf der anderen Seite kann man leicht erkennen, dass das Schalten einer beliebigen Kreuzung des weiter oben gezeigten Kleeblattdiagramms den Knoten entknotet, so dass die Entknotenungszahl des Kleeblatts ≤1 ist. Wenn es ≥1 und ≤1 ist, muss es =1 sein.

So vereinfachen Sie Diagramme

Suchen von R1-Zügen
Einfache Fälle von R1-Zügen, wie hier:

wo man eine Schlaufe 4 Mal drehen kann und sofort den Knoten löst sind leicht zu erkennen, indem man der Knotenlinie folgt und nach einem Bogen mit beiden Enden an der gleichen Kreuzung sucht. Die Reihenfolge, in der R1-Züge ausgeführt werden, spielt keine Rolle.

Es gibt aber auch allgemeinere Fälle, in denen Reidemeister 1 Züge angewendet werden. Wenn ein Überstrang an einer Kreuzung beginnt, von der er eine Überführung ist, aber ansonsten vollständig auf anderen Bögen liegt (daher als 'Überstrang' bezeichnet wird), dann kann diese Schleife sicherlich abgekürzt und somit entfernt werden. Zum Beispiel kann zuerst die Schlaufe oben in der Mitte entfernt werden und dann die anderen, nacheinander:

Diese Schlaufe kann auch entfernt werden, wenn sie ganz darunter liegt:

R2-Züge finden
Ähnlich wie bei R1-Zügen ist es einfach, Prototyp-R2-Züge zu erkennen, wie hier, wo zwei R2-Züge ausgeführt werden müssen, bevor ein R1-Zug den Knoten löst:

Im folgenden Beispiel muss man mit dem gleichen Strang zweimal einen R2-Zug ausführen, einmal diesen Strang von unten und einmal von oben ziehen:

Der letzte Schritt ist kein R2-Zug. Es wird nur hinzugefügt, um zu zeigen, dass der Knoten die Summe von zwei Kleeblattknoten ist.

Über die Schnittstelle (1)
Das obige Beispiel eignet sich, um die optimale Nutzung der Schnittstelle zu demonstrieren. Nach dem Abfangen der Knotenlinie:

Man kann NICHT ein Ende ganz zurückziehen; und dann das andere Ende ganz zurückziehen, weil man zuerst eine Unterführung entfernen würde und beide Enden im Unterführungsstatus hätte und in diesem Zustand ist es nicht möglich, eine Überführung zu entfernen. Stattdessen entfernt man eine Unterführung, springt zum anderen Ende, entfernt die andere Unterführung, die beide Enden in das gleiche Loch bringt, wodurch die Enden in den neutralen Zustand versetzt werden und dann die Überführungen entfernt und dann wieder zusammengeführt werden können. Kurz gesagt, man springt zwischen den Enden, um alle Unterführungen zu entfernen, dann alle Überführungen und so weiter.

Diese Implementierung eines Endstatus ist keine Schwäche des Programms, aber sie garantiert, dass die interaktive Änderung des Diagramms den mathematischen Knoten nicht verändert.

P-Züge finden
P-Züge ersetzen eine Überlitze durch eine mit weniger Überführungen oder eine Unterlitze mit weniger Unterführungen. In beiden Fällen reduziert sich die Anzahl der Überfahrten.

Um solche Züge zu finden, durchbricht man die Knotenlinie und sucht nach möglichst vielen aufeinanderfolgenden Überführungen oder nach möglichst vielen aufeinanderfolgenden Unterführungen, mindestens zwei. Wenn man einen solchen Strang findet, zum Beispiel einen Überstrang, dann versucht man, eine alternative Route mit weniger Überführungen zu finden, die die gleichen beiden Unterführungsenden verbindet.

Im folgenden Beispiel wird eine Litze mit 4 aufeinanderfolgenden Unterführungen durch eine Litze ohne Unterführungen ersetzt, und dann wird diese Litze mit 3 aufeinanderfolgenden Überführungen durch eine Litze mit einer Überführung ersetzt. Zwei weitere P-Züge entfernen je 2 weitere Kreuzungen. Das resultierende Diagramm kann durch zwei weitere R1-Züge weiter vereinfacht werden, wie unten zu sehen ist.

Je mehr aufeinanderfolgende Pässe einer Art man findet, desto höher ist die Chance, eine andere Route zu finden, die weniger Pässe benötigt.

R3-Züge finden
R1, R2 und P- verschieben die Anzahl der Kreuzungen. Ein R3-Zug ändert die Anzahl der Kreuzungen nicht, daher platzieren wir seine Beschreibung nach dem P-Zug. Das folgende Beispiel zeigt, wie R3-Züge immer noch nützlich sein können, indem sie P-Züge ermöglichen. Wie im ersten Abschnitt beschrieben, wird ein R3-Loch von einem oberen Bogen mit 2 Überführungsenden (hier A,B), einem mittleren Bogen mit 1 Überführungsende (C) und 1 Unterführungsende (B) und einem unteren Bogen mit 2 Unterführungsenden (hier A,C) umgeben.

(entknotet von die Unknot Wikipedia-Seite)

Wir haben im obigen Abschnitt festgestellt, dass ein R3-Zug für den mittleren Strang (hier durch B,C) die Reihenfolge von Unter- und Überführung umkehrt. Ein R3-Zug ist vorteilhaft, wenn der R3-Zug für die Fortsetzung des mittleren Bogens zu einer Zunahme von aufeinanderfolgenden Über- und/oder aufeinanderfolgenden Unterführungen führt und somit die Chance erhöht, einen P-Zug zu finden. Dies ist der Fall, wenn in der Fortsetzung des mittleren Bogens nach der Unterführung B eine Überführung kommt (D,E sind Überführungen) und/oder nach der Überführung (C) eine Unterführung folgt (F,G,H sind Unterführungen). Der R3-Zug schiebt den mittleren Bogen BC zwischen den oberen und den unteren Bogen bei A:

Früher gab es nur 2 aufeinanderfolgende Überführungen bei D und E, jetzt sind es 3 bei C, D und E. Dieser längere Überstrang kann nun in einem P-Zug umgeleitet werden:

Reduzierung der Anzahl der Überfahrten um 2 von 13 auf 11.

Auch die andere Seite des Strangs kann in einem P-Zug umgeleitet werden. Früher gab es 3 aufeinanderfolgende Unterführungen bei F, G und H, jetzt sind es 4 bei B, F, G und H. Dieser P-Zug führt zu:

und reduziert auch die Anzahl der Überfahrten um 2. Beide Diagramme können durch P- und R1-Züge weiter vereinfacht werden, so dass schließlich der Knoten gelöst wird. Können Sie sehen, wie? Befolgen Sie einfach die oben gegebenen Hinweise, wie Sie P-Züge erkennen können.

Üben wir das an einem Beispiel.

Wie viele R3-Züge sind in diesem Diagramm möglich:

Drei R3-Züge sind möglich. Für jeden zeigen wir in hellblau die drei Bögen, um die es sich handelt. Was leicht übersehen wird, ist der dritte, bei dem das Loch den gesamten Außenraum darstellt, der nur von 3 Bögen "umgeben" ist.

1. R3 Zug

2. R3 Zug

3. R3 Zug

Führen Sie die 1. Bewegen Sie sich R3 und finden Sie heraus, ob es vorteilhaft ist:
Dieser R3-Zug ist von Vorteil. Es ermöglicht anschließend einen P-Zug, wie er in einer Abfolge von Zügen weiter unten gezeigt wird. Unsere Definition für einen R3-Zug ist nicht notwendigerweise, einen P-Zug zuzulassen, sondern die Anzahl der aufeinanderfolgenden Über- oder Unterpässe zu erhöhen, und das ist auch ohne alle diese Züge leicht zu erkennen. Im folgenden Diagramm hat der mittlere Bogen des R3-Lochs eine Überführung bei A, eine Unterführung bei B, gefolgt von zwei Überführungen bei C und D. Bei einem R3-Zug wird die Reihenfolge der Über- und Unterführung für den mittleren Bogen vertauscht, wie in Diagramm 3 gezeigt, mit nun 3 aufeinanderfolgenden Überführungen. Dies reicht aus, um in Diagramm 5 einen P-Zug zu finden, der weniger als 3 Durchgänge benötigt.

Über die Abfolge der Diagramme unten: In Dia 1 schaffen wir Platz, um den R3-Zug in Dia 2 vorzubereiten (hier durch Verschieben des oberen Bogens) mit dem Ergebnis in Dia 3. In Dia 4 schaffen wir Platz für die Vorbereitung des P-Zuges in Dia 5, wo der grüne Strang mit 3 Überführungen durch den roten Strang mit nur 1 Überführung in Dia 6 ersetzt wird. In Dia 7 verschieben wir einen Strang, um Platz für die nächste P-Bewegung in Dia 9 zu schaffen, was nach dem Schrumpfen zu Dia 10 und Dia 11 führt, was leicht als Knoten 5₁ zu erkennen ist.

1. Aufweitung

2. R3 Zug

3. Nach dem R3-Umzug

4. Aufweitung

5. Ein P-Zug

6. Nach dem P-Zug

7. Für den nächsten P-Zug

8. Vor dem P-Zug

9. Der 2. P-Zug

10. Danach

11. Zusammengezogen

Führen Sie die 2. Bewegen Sie sich R3 und finden Sie heraus, ob es vorteilhaft ist:
Die Sequenz zeigt, dass der R3-Zug von Vorteil ist.

1. Aufweitung

2. Der R3-Umzug

3. Nach dem R3-Umzug

4. Ein P-Zug

5. Nach dem P-Zug

6. Ein weiterer P-Zug

7. Nach dem P-Zug

8. Zusammengezogen

Führen Sie die 3. Bewegen Sie sich R3 und finden Sie heraus, ob es vorteilhaft ist:
Der 3. R3-Zug ist ebenfalls von Vorteil. Um diesen Handgriff auszuführen, folgt man dem gleichen Prinzip: Der mittlere Strang schneidet die beiden anderen Stränge, die diesmal das äußere Loch "umgeben", in umgekehrter Reihenfolge.

Das Ergebnis ist, dass man, wenn man im Dia 2 entlang des hellblauen Strangs nach oben fährt, zuerst zu einer Überführung und dann zu einer Unterführung gelangt. Wenn man nach dem R3-Zug entlang des roten Strangs fährt, dann passiert man die anderen 2 Stränge in umgekehrter Reihenfolge und gelangt so zuerst zu einer Unterführung und dann zu einer Überführung. Wie man in Dia 5 sehen kann, ermöglicht die Abfolge von nun 3 aufeinanderfolgenden Unterführungen des hellblauen Strangs dort eine P-Bewegung.

1. Aufweitung

2. An R3 move

3. Nach dem R3-Umzug

4. Aufweitung

5. Ein P-Zug

6. Aufweitung

7. Ein 2. P-Zug

8. Nach dem P-Zug

9. Verkürzung

10. Nach dem Kürzen

11. Verkürzung

12. Begradigung

13. ↻90° Drehung

Über die Schnittstelle (2)
Das obige Beispiel eignet sich, um zu demonstrieren, wie Sie einen R3-Zug mit unserer Schnittstelle ausführen.

Wie in der 'Einführung mit Definitionen' > 'Reidemeister 3 Zug' beschrieben, gibt es 3 Möglichkeiten, einen Reidemeister 3 Zug auszuführen: den unteren Faden bewegen, den mittleren Faden verschieben oder den oberen Faden verschieben. Wie dort gezeigt, haben alle 3 Wege das gleiche Ergebnis, sie führen den gleichen Reidemeister 3 Zug aus.

Unser Interface erlaubt es nur, einen R3-Zug zu vervollständigen, indem man den unteren oder oberen Strang bewegt, aber nicht den mittleren Strang. Der Grund dafür ist die Funktion unserer Schnittstelle, dass BEIDE Enden nur Überführungen hinzufügen/entfernen können oder BEIDE Enden gleichzeitig nur Unterführungen hinzufügen/entfernen können. Das hindert uns jedoch nicht daran, R3-Züge auszuführen, da das Verschieben eines der 3 Stränge das gleiche Ergebnis liefert.

P0-Züge finden
P0-Züge sind Pass-Züge, die die Anzahl der Kreuzungen nicht ändern, genau wie R3-Züge, die spezielle Versionen von P0-Zügen sind. Wie R3-Züge kann auch ein P0-Zug von Vorteil sein und einen P-Zug ermöglichen. Da P0-Züge im Durchschnitt weniger nützlich sind, treten sie häufiger auf, aber es ist schwieriger zu erkennen, ob sie eine P-Bewegung ermöglichen.

Um einen P0-Zug zu finden, sucht man nach einem Überstrang oder einem Unterstrang, genau wie bei einem P-Zug. Um zu prüfen, ob ein P0-Zug vorteilhaft sein kann und einen P-Zug ermöglicht, geht man wie beim R3-Zug vor. Es wird geprüft, ob sich durch das Entfernen des Stranges die Anzahl der aufeinanderfolgenden Über- oder Unterführungen von Litzen, die gekreuzt wurden, erhöht, und es wird geprüft, ob sich nach dem erneuten Verlegen des neuen Strangs die Anzahl der aufeinanderfolgenden Über- oder Unterführungen von Litzen erhöht, die jetzt gekreuzt werden. In jedem dieser Fälle wird geprüft, ob die Stränge mit einer erhöhten Anzahl von aufeinanderfolgenden Über- oder Unterführungen mit weniger Überquerungen umgeleitet werden können.

Schauen wir uns dieses Beispiel an:

Wir beschriften die Überfahrten:

und finden Sie Schritt für Schritt einen vorteilhaften P0-Zug.

Wie viele Überlitzen mit mindestens 2 Überführungen und wie viele Unterlitzen mit mindestens 2 Unterführungen sehen Sie?
Wir erhalten drei Überstränge mit mindestens 2 Überführungen: AB, GC, IE und drei Unterstränge mit mindestens 2 Unterführungen: EF, BH, DJ.

Es ist nicht schwer zu erkennen, dass der IE-Strang einen P0-Zug hat, der ihn so verlagert, dass er den GC- und den BH-Strang kreuzt:

aber die Frage ist, ob dieser P0-Zug vorteilhaft ist.

Hat sich durch das Verschieben des IE-Strangs die Anzahl der aufeinanderfolgenden Über-/Unterläufe der zuvor gekreuzten DF- oder HJ-Stränge erhöht?
Ja, der HJ-Strang hat jetzt 2 Überführungen, aber dieser Strang kann nicht umverlegt werden, um die gleichen beiden Löcher mit weniger Überführungen zu verbinden.

Sind mehr aufeinanderfolgende Über-/Unterpässe entstanden, wenn der Strang auf die 2 Litzen GC und BH gelegt wurde?
Ja, der BH-Unterstrang hatte 2 Unterführungen und hat jetzt 3 Unterführungen.

Kann dieser BH-Strang in einer P-Bewegung umgeleitet werden, um die Anzahl der Kreuzungen zu reduzieren?

Ja: Die neue Trasse des Strangs BH verbindet die gleichen Löcher, aber mit nur 1 Unterführung statt 3 Unterführungen.

Die Tatsache, dass der neue Strang in diesem Diagramm länger ist (mehr Schritte umfasst) als der ersetzte Strang, spielt keine Rolle. Alles, was zählt, ist die Reduzierung der Anzahl der Kreuzungen von 10 auf 8, was es nun ermöglicht, diesen Knoten als Knoten 8₁₇ zu identifizieren.

Im ursprünglichen Diagramm hätte dieser P-Zug zuerst als P0-Zug und der oben erwähnte P0-Zug später als P-Zug ausgeführt werden können, mit der gleichen Gesamtersparnis von 2 Kreuzungen.

Bei schwierigen Problemen kann es notwendig sein, mehrere P0-Züge auszuführen, bevor ein P-Zug möglich wird.

Ein Diagramm ist maximal vereinfacht, wenn die Anzahl der Kreuzungen der Kreuzungszahl entspricht (siehe erster Abschnitt). In diesem Fall werden P0-Züge niemals einen P-Zug ermöglichen.

Suchen von P+-Zügen
Eine P+-Verschiebung erhöht die Anzahl der Kreuzungen in einem Schema. Warum könnte ein solcher Schritt für irgendetwas nützlich sein, wenn das Ziel normalerweise darin besteht, Diagramme zu vereinfachen? Um ihren Zweck zu sehen, erinnern Sie sich an das Kreuzen von Zahlen, die Händigkeit von Kreuzungen, das Krümmen von Zahlen und daran, wie die verschiedenen Reidemeister-Züge beide Zahlen beeinflussen. Dann schau dir die folgende (schwierige) Challenge an.

Lange Zeit seit dem späten 19^. Jahrhundert ging man davon aus, dass zwei Diagramme mit den Namen 10₁₆₁ und 10₁₆₂ in der Dale Rolfsen Knotentabelle zu zwei verschiedenen Knoten gehören. 1973 erkannte Kenneth Perko, dass beide den gleichen Knoten darstellen. Seitdem wird das Paar von Einträgen in klassischen Knotentabellen, die tatsächlich denselben Knoten repräsentieren, als Perko-Paar bezeichnet.
Diese beiden Diagramme stellen den gleichen Knoten 10₁₆₁ dar. Wie lassen sie sich ineinander verformen?

Die folgende Abfolge von Verformungen verwandelt ein Diagramm des Knotens 10₁₆₁ mit 0 links- und 10 rechtshändigen Kreuzungen in ein Diagramm mit 1 links- und 9 rechtshändigen Kreuzungen. Beide Diagramme haben die gleiche minimale Anzahl von 10 Kreuzungen, aber unterschiedliche Krümmungszahlen: 0−10 = −10 und 1−9 = −8. Nur Reidemeister 1 Züge können die Windungszahl ändern, Reidemeister 1 Züge ändern aber auch die Anzahl der Kreuzungen. Da dieser Knoten die Kreuzungsnummer 10 hat, kann die Anzahl der Kreuzungen nicht verringert werden. Um die Windungszahl zu ändern, muss daher die Anzahl der Kreuzungen durch einen P+-Zug vorübergehend von 10 auf 11 erhöht und anschließend mit einem P-Zug verringert werden, um wieder 10 Kreuzungen mit unterschiedlicher Windungszahl zu erhalten.

Die anfängliche Krümmung #
ist w = 0−10 = −10

P+ Verschieben (aufsteigend # von ┼)

Jetzt ist w = 1−10 = −9

R3 Zug (unter Beibehaltung von w)

Danach

Einfügen von Zeile + Spalte

P- verschieben (Verkleinerung # von ┼)

Jetzt ist w = 1−9 = −8

Zeile entfernt

R3 Zug (unter Beibehaltung von w)

Danach

Im abschließenden Diagramm wird die
Die Drehung # ist 1−9 = −8.

Wie kann man eine solche Abfolge von P+ und P- und evtl. P0 Zügen finden, die eine solche Verformung bewirken?

Es ist einfach, die links- und rechtshändige Kreuzung beider Diagramme zu bestimmen. Wenn die Windungszahl vergrößert (verringert) werden soll, um ein Diagramm in das andere zu verformen, dann sucht man nach einem P+-Zug, der eine linkshändige Kreuzung hinzufügt, und danach braucht man einen P-Zug, der eine rechtshändige Kreuzung entfernt. Im obigen Beispiel musste die Windungszahl erhöht werden und es waren zusätzliche P0-Züge (R3-Züge sind spezielle Arten von P0-Zügen) notwendig.

Wenn sich die Windungszahlen um mehr als 2 unterscheiden, kann mehr als ein Paar P+ und P- Züge erforderlich sein.
Hier ist eine weitere Herausforderung. Wie lassen sich diese beiden Diagramme ineinander verformen?

Die folgende Abfolge von Verformungen ändert das erste Diagramm des Knotens 11n₁₁₆ mit 6 links- und 5 rechtshändigen Kreuzungen in das zweite Diagramm mit 7 links- und 4 rechtshändigen Kreuzungen. Beide Diagramme haben die gleiche minimale Anzahl von 11 Kreuzungen, aber unterschiedliche Kurvenzahlen: 6−5 = 1 und 7−4 = 3. Nur Reidemeister 1 Züge können die Windungszahl ändern, Reidemeister 1 Züge ändern aber auch die Anzahl der Kreuzungen. Da dieser Knoten die Kreuzungsnummer 11 hat, kann die aktuelle Anzahl der Kreuzungen nicht verringert werden. Um die Windungszahl zu ändern, muss die Anzahl der Kreuzungen daher zuerst durch einen P+-Zug von 11 auf 12 erhöht werden, bevor sie anschließend mit einem P-Zug verringert werden kann, um wieder 11 Kreuzungen zu erhalten, aber mit unterschiedlicher Windungszahl.

Anfangskrümmung # = 6−5 = 1

Aufweitung

P+ Verschieben (aufsteigend # von ┼)

Nach der P+-Verschiebung

Aufweitung

P- verschieben (Verkleinerung # von ┼)

Nach P-Verschiebung

Verkürzung

Verkürzung

Im abschließenden Diagramm
Die Drehung # ist 7−4 = 3.

U1-Züge finden
Ein U1-Zug schaltet eine Kreuzung, was es anschließend ermöglicht, das Diagramm zu vereinfachen, um alle Kreuzungen zu entfernen und zu zeigen, dass die Weiche den Knoten erzeugt hat.

Im Allgemeinen sollten schöne Rätsel einzigartige Lösungen haben, daher zeigen unsere U1- und U2-Rätsel Diagramme, bei denen der Wechsel von nur einer Kreuzung zum Entknoten führt. Dieser Hinweis ermöglicht es Ihnen, die Suche zu reduzieren

Wenn das Diagramm eine Drehung der Knotenlinie wie folgt enthält:

Spielt es eine Rolle, welcher der Übergänge geschaltet wird?
Dabei spielt es keine Rolle, welche Kreuzung geschaltet wird. Beide Ergebnisse sind gleichwertig:

=

=

Daher handelt es sich entweder bei diesen beiden Kreuzungen um Entknotungsweichen oder um keine. Da unsere Puzzles nur einen Knotenschalter haben, können diese beiden Kreuzungen ignoriert werden.

Wenn es immer noch mehrere Kreuzungskandidaten gibt, sollte man versuchen, sich vorzustellen, wie viele R1-, R2-Züge durch den Schalter verfügbar werden und zuerst diesen Schalter ausprobieren, der danach die meisten Vereinfachungen zu ermöglichen scheint.

Ein weiterer Tipp, um das Ausprobieren von Schaltern zu minimieren, besteht darin, sich vorzustellen, ob nach dem Wechsel definitiv ein Knoten übrig bleibt, wie z. B. ein Kleeblatt. Wenn ja, dann ist dieser Schalter nicht der richtige in U1-Rätseln.

Auf dem Arbeitsblatt ist die Anzahl der verfügbaren Schalter auf das Minimum beschränkt, das zum Entknoten erforderlich ist. Wenn man einen Schalter gemacht hat, kann man ihn nicht zurückschalten, da das Diagramm möglicherweise geändert wurde, so dass man das Diagramm zurücksetzen müsste.

U2-Züge finden
Für U2-Rätsel gilt der gleiche Hinweis auf äquivalente Schalter wie für U1-Rätsel. Auch bei U2-Rätseln gibt es nur eine Kreuzung, die die Entknüpfungszahl reduziert, also zum Entknoten hin voranschreitet. Sobald diese eindeutige erste Kreuzung umgeschaltet und das resultierende Diagramm vereinfacht ist, gibt es möglicherweise mehr als einen Schalter, der den Knoten erstellt.

P0U-Züge finden
Untersuchungen von Caribou Contests zum Entknoten von Zahlen haben gezeigt, dass es maximal vereinfachte Knotendiagramme (mit einer minimalen Anzahl von Kreuzungen) gibt, die keinen vereinfachenden Schalter haben. Mit anderen Worten, es gibt Diagramme, in denen das Wechseln von Kreuzungen keinen Fortschritt bringt, um den Knoten zu erreichen. In diesem Fall muss man zuerst einen oder mehrere P0-Züge ausführen, die das Rätsel in ein U2-Rätsel verwandeln. Die gute Nachricht ist, dass Diagramme, die zuerst P0-Züge erfordern, selten sind und es daher wahrscheinlich ist, dass P0-Züge es in ein U2-Rätsel verwandeln.

Tipps und Tricks nach Rätseltyp
Die Entknüpfungs-Challenges auf dieser Seite sind speziell ausgewählt. Zu wissen, wie besonders sie sind, kann helfen, sie zu lösen.
R3-Züge
Wie bereits erwähnt, muss man, um zu sehen, ob ein R3-Zug vorteilhaft ist, die Fortsetzung des mittleren Bogens im R3-Loch überprüfen. Die Rätsel in der Kategorie R3 ermöglichen einen ganz besonderen R3-Zug, der doppelt vorteilhaft ist:
1) Wenn der mittlere Bogen des R3-Lochs über die Unterführung hinaus verlängert wird, dann ist der nächste Durchgang eine Überführung.
2) Wenn der mittlere Bogen des R3-Lochs über die Überführung hinaus verlängert wird, dann ist der nächste Durchgang eine Unterführung.
Daher erhöht die R3-Bewegung für den mittleren Strang die Anzahl der aufeinanderfolgenden Überzüge auf der einen Seite und die Anzahl der aufeinanderfolgenden Überzüge auf der anderen Seite. Solche doppelt vorteilhaften R3-Löcher sind leicht zu erkennen.

U1 und U2 bewegen sich
Das Besondere an Rätseln der Kategorie U1 und U2 ist, dass nur eine Kreuzung die Eigenschaft hat, dass das Schalten beim Entknoten Fortschritte macht. Wenn sich zwei Stränge so spiralen:

Dann hat das Vertauschen einer der beiden Kreuzungen den gleichen Effekt, dass die beiden Stränge entwirrt werden. Wenn das Umschalten einer Kreuzung funktionieren würde, würde das Umschalten der anderen auch funktionieren, so dass keine von beiden die richtige einzelne Kreuzung sein kann, die gewechselt werden muss.

P0 bewegt sich
Da es in der Kategorie R3 nur Rätsel gibt, die einen doppelt vorteilhaften R3-Zug haben, gibt es in der Kategorie P0 unter anderem Rätsel, bei denen der beste erste Zug ein einzelner vorteilhafter R3-Zug ist. Man sollte also nicht ausschließen, dass man R3-Züge als ersten Zug in dieser Kategorie betrachtet.

P0U-Züge
Bei unserer Untersuchung von Entknüpfungsbewegungen haben wir festgestellt, dass es sehr selten ist, dass ein Knotenvorsprung einerseits vollständig vereinfacht ist, d.h. er hat die geringste Anzahl von Kreuzungen, die für diesen Knoten möglich sind, und andererseits reduziert keine seiner Kreuzungen, wenn sie geschaltet wird, die Anzahl der weiteren Weichen, die benötigt werden, um den Knoten zu erreichen. Wie hilft dieses Wissen? Aus diesem Hinweis können wir den Schluss ziehen, dass nach einem anfänglichen P0-Zug (der einzelne vorteilhafte R3-Züge umfasst) die einzigen Schalter, die man ausprobieren muss, die neuen Kreuzungen sind, die aufgrund des ersten P0-Zuges erscheinen.

Weitere Referenzen zum Thema Knoten
Die mathematische Knotentheorie ist ein altes Forschungsthema, daher gibt es eine große Menge an Literatur dazu. Es ist jedoch auch ein junges Thema, da einige Meilensteine erst in den letzten Jahrzehnten erreicht wurden. Zum Beispiel gibt es ein wissenschaftliches "Journal of Knot Theory and Its Ramifications", das sich den Knoten widmet und jeden Monat eine neue Ausgabe hat.

Ein großartiges Buch, das wir empfehlen, ist: Adams, Colin (2004), The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3678-1

Es gibt auch viele Webseiten zum Thema Knoten. Ein guter Ausgangspunkt ist die Knotentheorie-Seite auf Wikipedia.

Videos finden Sie unter Numberphile's Playlist mit Knotenvideos auf YouTube. Sie haben auch eine großartige Erklärung für Färbe-Knoten, was eine weitere Möglichkeit ist, Diagramme desselben Knotens zu identifizieren.

Caribou produzierte zwei Poster zum Thema Entknoten und Färbung Knoten.