យើងភាគច្រើនប្រើបាច់ដើម្បីចងខ្សែស្បែកជើងរបស់យើងពាក់ខ្សែកឬក្រម៉ាដើម្បីបិទកាបូប។ ល។ អ្នកប្រហែលជាស្គាល់ច្រើនទៀតប្រសិនបើអ្នកបើកទូកបោះជំរុំនេសាទឬប្រសិនបើអ្នកដេរប៉ាក់ ឬស្ទីលសក់។
ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយមិនមានទាំងនេះគឺជាចំណងគណិតវិទ្យាទេ!

សូមក្រឡេកមើលគំនូរពីរសន្លឹកខាងក្រោម។ ដោយច្រឡំថាទាំងពីរនេះត្រូវបានគេស្គាល់ថាជាលេខ ៨ ខ្ទង់ពីព្រោះតួលេខ ៨ ដែលពួកគេមាន។
តើអ្នកអាចមើលឃើញអ្វីខុសគ្នាធំ? យើងប្រាកដថាអ្នកអាច តួលេខ វាចេញ!

ពិតប្រាកដ​ណាស់! ឥឡូវអ្នកដឹងហើយថានៅក្នុងគណិតវិទ្យាខ្សែរ៉ូតគឺជាខ្សែតែមួយនិងជាប់គ្នា។
ជាមួយនឹងនិយមន័យនេះនៅក្នុងចិត្តតើចំណងគណិតវិទ្យាសាមញ្ញបំផុតគឺជាអ្វី?
តើអ្នកអាចបង្កើតចំណងគណិតវិទ្យាពីបំណែកនៃខ្សែអក្សរយ៉ាងដូចម្តេច?

នៅក្នុងហ្គេមនេះអ្នកធ្វើឱ្យខូចទ្រង់ទ្រាយដ្យាក្រាមនៃគណិតវិទ្យាដើម្បីកាត់បន្ថយចំនួននៃការឆ្លងកាត់តាមដែលអាចធ្វើទៅបាន។

ខណៈពេលដែលអ្នកត្រូវបានអនុញ្ញាតឱ្យកាត់ខ្សែ ដោយចុចលើពួកវាអ្នកគ្រាន់តែធ្វើការកែប្រែដ្យាក្រាមមិនមែនជាការគូសជាមូលដ្ឋានទេ។ នេះជាមូលហេតុដែលមានការរឹតត្បិតលើរបៀបដែលអ្នកអាចភ្ជាប់ចុងដែលអ្នកបានកាត់។.
តើនៅពេលណាដែលអ្នកមិនធ្វើវាវិញនៅក្នុងជីវិតពិត?
សាកល្បងល្បែងល្បិចគណិតវិទ្យាផ្សេងៗទៀត!

a closed curve in 3-dimensional space which does not ខ្សែកោងបិទជិតក្នុងចន្លោះ៣វិមាត្រដែលមិនប្រសព្វគ្នា និងមានទំហំជាក់លាក់​(ដើម្បីជៀសវាងចំណងតូចៗជាច្រើនតាមបណ្តោយខ្សែ) ឧទាហរណ៍ៈរូបចំណងលេខ ៨ ។ ដ្យាក្រាមខ្សែ

កន្ទុយខ្សែដែលលយចេញពីខ្សែចងមានពីរផ្នែកដែលផ្នែកផ្សេងៗរបស់ខ្សែចងអាចចងខ្វែងគ្នាបាន (នៅលើគេហទំព័រនេះខ្សែកាត់គ្នាក្រោមមុំ 90°), ប៉ុន្តែមិនមែនចងនៅលើគ្នានោះទេ។ ឧទាហរណ៏សម្រាប់ដ្យាក្រាមខ្សែ:
‘ស្រាយ’ ក៏ត្រូវបានគេហៅថា ‘ចំណងមិនសំខាន់’

វត្ថុអរូបីដែលនៅពីក្រោយសំណុំនៃដ្យាក្រាមជាផ្នែកតូចៗជាច្រើនអាចត្រូវបានខូចទ្រង់ទ្រាយ និងផ្លាស់ប្តូរទៅដោយមិនត្រូវបានកាត់។ ឧទាហរណ៍ៈចំណង 3_1 ដែលគេហៅថា “trefoil” ដែលជាស្នាមប្រេះនេះមិនមានភាពធម្មតា។

គណិតវិទ្យាពេលដែលចំណងខ្សែមួយអាចបន្តបត់បែនពីខ្សែមួយទៅមួយទៀតបាន។

នៅលើគេហទំព័រនេះ​ ដ្យាក្រាមខ្សែត្រូវបានគូរដោយប្រើតែ ៦ ក្រឡា៖ ដែលយើងហៅថា ជំហាន។

កន្លែងមួយនៅក្នុងដ្យាក្រាមដែលជំហ៊ាននិមួយៗនៅលើគ្នាទៅវិញទៅមក។

ជំហាននៃការឆ្លងកាត់របស់ខ្សែ មានផ្លូវច្រើនឆ្លងកាត់ (អាចឃើញច្បាស់) ហើយនិងឆ្លងកាត់នៃផ្នែកក្រោម (គ្រប់ផ្នែក)។

ប្ដូរពីលើ និង ប្ដូរពីក្រោមនៃខ្សែខ្វែងនៅក្នុងដ្យាក្រាម។ ជាទូទៅ ប្រសិនបើខ្សែខ្វែងត្រូវបានប្ដូរ, ដ្យាក្រាមចាស់ និងថ្មី តំណាងឱ្យចំណងផ្សេងៗគ្នា។ ការប្ដូរខ្សែខ្វែងទាំងអស់ គឺស្មើនឹងការផ្លាស់ប្តូរខ្សែទៅនឹងរូបភាពកញ្ចក់របស់វា។ ខ្សែខ្លះគឺដូចគ្នាបេះបិទទៅនឹងរូបភាពកញ្ចក់របស់វា ដូចរូបខ្សែលេខ៨, ខ្សែផ្សេងៗទៀតគឺជា trefoil។
តើរូបចម្លាក់នេះអាចត្រូវបានខូចទៅជារូបភាពកញ្ចក់របស់វាទេ?

នេះមិនមែនជាបរិវេណរនៃខ្សែភ្ជាប់ ហើយក៏មិនមែនជាចំណងដែរ។ វាគឺជាសំណួរអំពីរបៀបផ្លាស់ទីតាំងតាមបណ្តោយចំណងខ្សែ មួយវិញទៀត មួយអាចផ្លាស់ទីក្នុងទិសដៅ ២ រឺហៅថា២ទិសដៅ។

ចំណងដែលអាចត្រូវបានខូចទ្រង់ទ្រាយតាមរយៈអ៊ីសូតូមព័ទ្ធជុំវិញដោយខ្លួនវាប៉ុន្តែជាមួយនឹងការបញ្ច្រាស់ទិសត្រូវបានគេហៅថា 'បញ្ច្រាស' បើមិនដូច្នេះទេវាត្រូវបានគេហៅថាមិនអាចផ្លាស់ប្តូរបាន។ កំណាត់តូចបំផុតដែលមិនអាចផ្លាស់ប្តូរបានគឺ ៨ <១៥> ១៧ ដែលជាសមិទ្ធិផលប៉ុន្តែប្រសិនបើការតំរង់ទិសត្រូវបានបន្ថែមវាក្លាយជាកំណាត់ (សូមស្វែងរកបន្ថែមនៅលើទំព័រ ទំព័រវីគីភីឌាមិនអាចបកប្រែបាន) ។ បន្ថែមរចនាសម្ព័ន្ថបន្ថែមទៀត (ការតំរង់ទិស) បណ្តាលឱ្យវាបាត់បង់ស៊ីមេទ្រី (មិនដូចរូបភាពកញ្ចក់របស់វាទៀតទេ)

មានរូបចំណងចំនួន 8 បានលើកឡើងខាងលើ បានកាត់ចំនួន4, ដូចនេះតិចជាង 8, និងត្រូវតែបញ្ច្រាស។
តើរូបចំណងចំនួន 8 ត្រូវបានធ្វើឱ្យខូចទ្រង់ទ្រាយដោយរបៀបណា ដើម្បីកុំឱ្យដ្យាក្រាមប្រែទ្រង់ទ្រាយ, ក៏ប៉ុន្តែជាមួយចម្រាសទិសដៅ?
នៅក្នុងឧទាហរណ៍មុននេះ រូបចំណងប្រាំបីត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរតាមរយៈការខូចទ្រង់ទ្រាយសាមញ្ញទៅជារូបភាពឆ្លុះរបស់វា។ ការខូចទ្រង់ទ្រាយនេះក៏បានផ្លាស់ប្តូរទិសដៅផងដែរ- សូមផ្ទៀងផ្ទាត់វាដោយខ្លួនឯង! ដូច្នេះ ប្រសិនបើគេចង់បង្ខូចដ្យាក្រាមទៅជារូបភាពឆ្លុះរបស់វាដោយមិនមានការបង្វិលទិសនោះទេ នោះគេអាចបញ្ចូលគ្នានូវលំដាប់ទាំងពីរបានយ៉ាងសាមញ្ញ។

កំណាត់អង្កាំ (កំណាត់ដែលមិនអាចខូចទ្រង់ទ្រាយកញ្ចក់របស់វា) នៅតែអាចបញ្ចោញបាន (ស៊ីមេទ្រីប្រឆាំងនឹងការផ្លាស់ប្តូរទិស) ។ ស្នាមប្រេះបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា 'បញ្ច្រាស' ។

សម្រាប់ដ្យាក្រាមខ្សែ ខ្សែខ្វែងអាចនៅខាងស្តាំ- ឬខាងឆ្វេងដៃ។
ខាងក្រោមនេះ យើងនឹងចាប់ផ្តើមពីគោលការណ៍ទីមួយ និងទាញឱ្យឃើញថាមានខ្សែខ្វែងពីរប្រភេទ ហើយបន្ទាប់មកយើងនឹងដាក់ឈ្មោះឱ្យវាទាំងខាងស្ដាំដៃនិងខាងឆ្វេងដៃ។
តើមានខ្សែខ្វែងខុសៗគ្នាចំនួនប៉ុន្មាន ប្រសិនបើយើងពិចារណា ថាតើច្រកមួយណានៅខាងលើឬខាងក្រោម និងពិចារណាទៅលើទិសដៅប្រាប់ទិសទាំងពីរ?
ប្រសិនបើនរណាម្នាក់រក្សាដ្យាក្រាមដោយមិនផ្លាស់ប្តូរហើយប្តូរតែខ្សែខ្វែងមួយតើទិសដៅនៃខ្សែខ្វែងនោះផ្លាស់ប្តូរដែរឬទេ?
តាមរយៈការប្រើទិសដៅនៃដៃរបស់មនុស្សម្នាក់ តើធ្វើដូចម្តេចដែលអាចធ្វើឱ្យយើងចងចាំថាតើការឆ្លងកាត់ខាងស្តាំដៃឬខាងឆ្វេងដៃ?

ភាពខុសគ្នារវាងខ្សែខ្វែងខាងឆ្វេងដៃនិងខាងស្តាំដៃនៅក្នុងដ្យាក្រាមមួយ លក្ខណៈជាដ្យាក្រាមនឹងអាចខុសគ្នារវាងដ្យាក្រាមពីរនៃខ្សែខ្វែងដូចគ្នា។ តើលេខដ្យាក្រាមនេះមានចំនួនប៉ុន្មាន?

លេខរឺពហុគុណរឺសេចក្តីថ្លែងដែលអាចធ្វើបានដែលជាលក្ខណៈសំរាប់ដ្យាក្រាមនៃខ្សែទាំងអស់។ លក្ខណៈរបស់កូនកំលោះគឺជាចង្កោម / អាចទទួលយកបាន, ដែលអាចបញ្ចោញបាន / មិនអាចត្រឡប់វិញបានគឺបញ្ច្រាសគ្នា។

ចំនួននៃការឆ្លងតិចបំផុតដែលជាដ្យាក្រាមណាមួយនៃខ្សែខ្វែងនេះមាន, នេះគឺជាលក្ខណៈនៃខ្សែខ្វែងនីមួយៗ ដូច្នេះហើយខ្សែនោះមិនមានការប្រែប្រួល
តើដ្យាក្រាមនេះមានខ្សែខ្វែងចំនួនប៉ុន្មាន?
តើចំនួនខ្វែងរបស់ខ្សែតំណាងដោយអ្វីនៅក្នុងដ្យាក្រាមនោះ?
ចំនួនខ្វែងទាបបំផុតពីរដែលខ្សែអាចមាន ជាអ្វី?

ផ្នែកខ្សែដែលមានគំនូច ក្នុងដ្យាក្រាមចាប់ពីខ្សែរមួយទៅខ្សែរមួយទៀត ។
តើដ្យាក្រាមដែលមាន N ឆ្លងកាត់មានធ្នូចំនួនប៉ុន្មាន?

ផ្នែកទទេនៅក្នុងដ្យាក្រាមដែលព័ទ្ធជុំវិញដោយអង្កត់ធ្នូ។ ផ្នែកទទេទាំងអស់ខាងក្រៅនៃដ្យាក្រាមគឺមានរន្ធមួយផងដែរ។
តើមានរន្ធចំនួនប៉ុន្មាននៃដ្យាក្រាមដែលមាន N ឆ្លងកាត់?

លំដាប់នៃអង្កត់ធ្នូជាប់គ្នានៅក្នុងដ្យាក្រាម (គឺថាអង្កត់ធ្នូបន្តបន្ទាប់គ្នា) ដែលផ្តើម និងបញ្ចប់នៅច្រកខាងក្រោមហើយបើមិនដូច្នោះទេគឺជាលេខ ០,១ឬច្រើនជាងនេះដែលខ្សែឆ្លងកាត់ខាងលើ។

លំដាប់នៃអង្កត់ធ្នូជាប់គ្នានៅក្នុងដ្យាក្រាម (គឺថាអង្កត់ធ្នូបន្តបន្ទាប់គ្នា)ដែលចាប់ផ្តើម និងបញ្ចប់នៅច្រកខាងលើហើយខុសពីលក្ខណៈនេះគឺជាលេខ ០,១ឬច្រើនជាងនេះដែលខ្សែឆ្លងកាត់ខាងក្រោម។

(នៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍, 'strand' ជាញឹកញាប់គេប្រើសម្រាប់អ្វីដែលហៅថា ខ្សែខាងលើ។ សម្រាប់យើងចំនួននៃការឆ្លងកាត់ខាងលើនៃ ខ្សែខាងលើ គឺសំខាន់ក៏ដូចជាចំនួននៃការឆ្លងកាត់នៃខ្សែក្រោម។ ហេតុដូច្នេះយើងពិចារណាលើខ្សែក្រោមក៏ដូចជាខ្សែខាងលើ)

តើខ្សែ បែបណាដែលបន្ទាត់ផ្តេកបង្ហាញថាមានអង្កត់ធ្នូចំនួន៥?
តើដ្យាក្រាមដែលមាន N ឆ្លងកាត់មានខ្សែខាងលើចំនួនប៉ុន្មាន?

ក្នុងឆ្នាំ ១៩២៧ គណិតវិទូជនជាតិអាឡឺម៉ង់ លោក Kurt Reidemeister និងដោយឯករាជ្យ លោក James Waddell Alexander និងលោក Garland Baird Briggs (១៩២៦) បានបង្ហាញថា ដ្យាក្រាមពីរដែលតំណាងឱ្យខ្សែដូចគ្នាអាចដាក់បញ្ជូលគ្នាទៅវិញទៅមកតាមរយៈលំដាប់តែ ៣ ប្រភេទផ្សេងគ្នានៃ ផ្លាស់ទី។ បញ្ហាគឺថាក្នុងអំឡុងពេលខូចទ្រង់ទ្រាយចំនួននៃការឆ្លងកាត់អាចនឹងកើនឡើងជាបណ្តោះអាសន្នហើយមានព្រំប្រទល់ខ្ពស់សម្រាប់ការកើនឡើងនេះក៏មិនដឹងពីចំនួនចលនាដែលត្រូវការ។

យកចេញ ឬបន្ថែមរន្ធដែលព័ទ្ធជុំវិញដោយអង្កត់ធ្នូមួយ៖ តើដ្យាក្រាមមួយណាបង្ហាញពីខ្សែខ្វែងខាងឆ្វេង និងមួយណាបង្ហាញពីខ្សែខ្វែងខាងស្ដាំ?

ដក ឬបន្ថែមរន្ធ ព័ទ្ធជុំវិញដោយអង្កត់ធ្នូចំនួន ២។ តើគេអាចនិយាយអ្វីអំពីទិសដៅរបស់ខ្សែខ្វែងទាំងពីរដែលត្រូវបានបន្ថែមឬដកចេញនៅក្នុងចលនា Reidemeister 2?

លុបចេញ និងបន្ថែមរន្ធព័ទ្ធជុំវិញដោយអង្កត់ធ្នូចំនួន ៣។
តើរន្ធពីរប្រភេទដែលព័ទ្ធជុំវិញដោយអង្កត់ធ្នូទាំង ៣ មានអ្វីខ្លះ?

នេះមិនមានអ្វីដែលត្រូវធ្វើជាមួយនឹងនិយមន័យ 'pass' ខាងលើទេ។ ការផ្លាស់ប្តូរខ្សែឆ្លងកាត់មួយជំនួសខ្សែ strand លើ (ក្រោម) ជាមួយ strand លើ (ក្រោម) មួយទៀតដែលខ្សែទាំងពីរមានចុងដូចគ្នា។ ឧទាហរណ៍៖ (នៅក្នុងដ្យាក្រាមនេះខ្សែចាស់ត្រូវបានបង្ហាញដោយអក្សរខៀវនិងខ្សែថ្មីមួយដោយពណ៌ក្រហម)

គន្លងនៃការផ្លាស់ទីមួយដែលខ្សែថ្មីមានគន្លងតិចជាងខ្សែចាស់។
សែ្វងរកចលនារបស់ P-ជំនួសខ្សែពណ៌ផ្ទៃមេឃ នៅក្នុងដ្យាក្រាមនេះ។

គន្លងនៃការផ្លាស់ទីមួយដែលខ្សែថ្មីមានគន្លងតិចជាងខ្សែចាស់។
រកចលនារបស់ P0 ដោយជំនួសខ្សែពណ៌ផ្ទៃមេឃ នៅក្នុងដ្យាក្រាមនេះ។

ផ្លូវឆ្លងកាត់មួយមានចលនានៅពេលដែលខ្សែថ្មីមានផ្លូវច្រើនជាងច្រកខ្សែចាស់។ ចលនាទាំងនេះរួមបញ្ចូលទាំងផ្លូវឆ្លងកាត់ដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់។ ចលនារបស់ P + មិនគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍នោះទេលុះត្រាតែវាមានលក្ខណៈផ្សេងទៀតៗ ហើយដូច្នេះមិនត្រូវបានពិភាក្សារលើគេហទំព័រនេះទេ។
រកការផ្លាស់ប្តូរ P + ជំនួសខ្សែពណ៌បៃតងនៅក្នុងដ្យាក្រាមនេះ៖
ការផ្លាស់ប្តូរ P + ក្លាយជាចាំបាច់ប្រសិនបើនរណាម្នាក់ចង់ផ្លាស់ប្តូរលេខសរសេរដ្យាក្រាម។ បន្ថែមទៀតអំពីអ្វីដែលត្រូវបានពិពណ៌នាបន្ថែមនៅខាងក្រោមក្រោម“ ការស្វែងរក P0 ផ្លាស់ទី” ។

នេះជាតម្លៃនៃចំណង មិនមែនជាតម្លៃរបស់ដ្យាក្រាមទេ។ ដូច្នេះវាត្រូវបានគេហៅថា“ ដែលមិនប្រែប្រួល” ពោលគឺវាឯករាជ្យលើ“ រូបរាង” នៃដ្យាក្រាម។ ចំនួននេះគឺជាចំនួនតូចបំផុតដែលការឆ្លងកាត់ត្រូវបានប្តូរដើម្បីទទួលបានការស្រាយមុនពេលប្តូរដំបូងនិងនៅចន្លោះនៃការប្ដូរដ្យាក្រាមអាចត្រូវបានខូចទ្រង់ទ្រាយគ្រប់ពេល។ដូច្នេះវាមិនមែនជាលេខងាយទេក្នុងការកំណត់ពីព្រោះការខូចទ្រង់ទ្រាយណាមួយត្រូវបានអនុញ្ញាត។
ចាប់ផ្តើមជាមួយដ្យាក្រាមខ្សែវាជាចំនួនដងតិចបំផុតដែលត្រូវឆ្លងកាត់មួយឬច្រើនដែលត្រូវការដើម្បីទទួលបានអ្វីដែលមិនស្គាល់។ មុនពេលប្តូរដំបូងនិងប្តូនៅក្នុង​ចន្លោះដ្យាក្រាមអាចខូចទ្រង់ទ្រាយតាមអំពើចិត្ត។ ដូច្នេះលេខដែលមិនបានកត់សំគាល់មិនមែនជាលេខងាយស្រួលទេក្នុងការកំណត់ពីព្រោះរាល់ការខូចទ្រង់ទ្រាយត្រូវបានអនុញ្ញាត
Wហេតុអ្វីបានជា trefoil មានខ្សែដែលមិនទាន់ស្រាយជាលេខ ១?

ករណីងាយៗនៃចលនា R1 ដូចជានៅទីនេះ កន្លែងដែលអាចបង្វិលជុំវិញចំនួន ៤ ដងហើយទទួលបានខ្សែស្រាយ។ វាមានភាពងាយស្រួលសម្រាប់សម្គាល់ដោយធ្វើតាមខ្សែចងហើយរកអង្កត់ធ្នូដែលមានចុង ២ ដូចគ្នា។ លំដាប់នៃចលនា R1 មិនមានបញ្ហាទេ។ ប៉ុន្តែមានករណីទូទៅ ជាច្រើនទៀតនៃការអនុវត្ត ចលនារបស់ Reidemeister 1។ប្រសិនបើខ្សែលើសមានចំនុចចាប់ផ្តើមនិងបញ្ចប់ដូចគ្នាប៉ុន្តែបើមិនដូច្នេះទេវាស្ថិតនៅលើកំពូលនៃធ្នូដទៃទៀត (ដូច្នេះត្រូវបានគេហៅថា 'ខ្សែលើស') បន្ទាប់មករង្វិលជុំនេះប្រាកដជាផ្លូវកាត់ហើយដូច្នេះត្រូវដកចេញ។ ឧទាហរណ៍ ដំបូងរង្វិលជុំពណ៌ផ្ទៃមេឃខាងលើអាចត្រូវបានយកចេញហើយបន្ទាប់មកមួយផ្សេងទៀតម្តងមួយៗ។ រង្វិលជុំនេះអាចដកចេញនៅពេលដែល សណ្ដូកទាំងស្រុងនៅខាងក្រោម៖

ស្រដៀងគ្នាទៅនឹងចលនា R1 វាងាយស្រួលក្នុងការមើលគំរូដើមនៃចលនា R2 ដូចនៅទីនេះ កន្លែងដែលចលនា R2 ត្រូវធ្វើមុនពេលចលនារបស់R1 ផ្តល់នូវការស្រាយ ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងក្រោមអ្នកត្រូវអនុវត្តចលនា R2 ជាមួយខ្សែដដែលពីរដងនៅពេលទាញខ្សែនេះពីក្រោមនិងពីខាងលើ៖ លទ្ធផលគឺជាផលបូកនៃ ខ្សែចំណង trefoil ២។ ជំហានចុងក្រោយត្រូវបានបង្ហាញជាឧទាហរណ៍

ឧទាហរណ៍ខាងលើគឺសមហេតុផលដើម្បីបង្ហាញពីការប្រើប្រាស់ល្អបំផុតនៃចំណុចប្រ ទាក់។ បនា្ទប់ពីចាប់បានខ្សែ។ គេមិនអាចដកខ្សែមួយចេញ ហើយបន្ទាប់មកដកចុងខែ្សម្ខាងទៀតបានទេ ពីព្រោះដំបូងគេត្រូវដកខ្សែខាងក្រោមចេញ និងយកចុងខ្សែទាំងពីរទៅខាងក្រោម ហើយក្នុងស្ថានភាពនេះវាមិនអាចទៅរួចនោះទេ ក្នុងការដកផ្លូវខាងលើចេញ។ ជំនួសមកវិញ, គេត្រូវដកខ្សែខាងក្រោមចេញ១ រំលងទៅចុងខ្សែម្ខាងទៀត ដកខ្សែមួយទៀតដែលនៅខាងក្រោមចេញដែលនឹងនាំចុងខ្សែទាំងពីរទៅរន្ធតែមួយ ហើយប្ដូរចុងខ្សែទៅកាន់ស្ថានភាពមួយដែលស៊ីគ្នា បន្ទាប់មកអាចដកខ្សែខាងលើ និងសម្រួលចុងខ្សែបាន។ សរុបមក គេអាចរំលងរវាងចុងខ្សែបានដើម្បីដកខ្សែខាងក្រោមទាំងអស់ បន្ទាប់មកខ្សែខាងលើទាំងអស់ជាដើម។

ការប្រតិបត្តិនៃស្ថានភាពចុងមិនមែនជាភាពទន់ខ្សោយនៃកម្មវិធីទេ ប៉ុន្តែវាធានាថាការផ្លាស់ប្តូរអន្តរកម្មនៃដ្យាក្រាមមិនផ្លាស់ប្តូរចំណងគណិតវិទ្យាទេ។

ចលនារបស់ P-ជំនួសខ្សែមួយដែលនៅខាងលើដោយខ្សែដែលមានផ្លូវឆ្លងកាត់តិចជាងឬខ្សែក្រោមមួយដែលមិនសូវមានខ្សែឆ្លងកាត់។ ក្នុងករណីទាំងពីរចំនួននៃការឆ្លងកាត់ត្រូវបានកាត់បន្ថយ

ដើម្បីរកចលនាបែបនេះ អ្នកត្រូវឈានទៅខ្សែចង និងរកមើលការឆ្លងកាត់ច្រើនជាប់គ្នាតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន ឬឆ្លងកាត់ខ្សែខាងក្រោមដែលអាចធ្វើទៅបានយ៉ាងហោចណាស់ពីរ។ ប្រសិនបើអ្នកណារកឃើញខ្សែនេះឧទាហរណ៍ខ្សែលើមួយ បន្ទាប់មកអ្នកព្យាយាមរកផ្លូវជំនួសដោយរផ្លូវដែលមានការឆ្លងកាត់តិចជាងមុនដែលភ្ជាប់ចុងខ្សែក្រោមទាំង ពីរដូចគ្នា

ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ ខ្សែពណ៌ផ្ទៃមេឃជាមួយ “???” ការឆ្លងកាត់ខាងលើ ត្រូវបានជំនួសដោយការឆ្លងកាត់ពណ៌ក្រហមដែលវែងជាង ប៉ុន្តែមានច្រកឆ្លងកាត់តិចជាងដែលសំខាន់ ទាំងអស់ ការឆ្លងកាត់ជាប់ៗគ្នានៃប្រភេទតែមួយកាន់តែច្រើនគេនឹងឃើញថា ឱកាសកាន់តែខ្ពស់ក្នុងការស្វែងរកផ្លូវផ្សេងដែលត្រូវការច្រកឆ្លងកាត់តិចជាង

ចលនារបស់ R1,R2 និង P- ផ្លាស់ប្តូរចំនួននៃការឆ្លងកាត់។ ចលនា R3 មិនផ្លាស់ប្តូរចំនួននៃការឆ្លងកាត់ទេ ដូច្នេះយើងដាក់ការពិពណ៌នារបស់វាបន្ទាប់ពីចលនារបស់ P-។ ឧទាហរណ៍ខាងក្រោមបង្ហាញពីរបៀបដែលការផ្លាស់ទីរបស់ R3 នៅតែអាចមានប្រយោជន៍ដោយធ្វើឱ្យ ចលនារបស់ P- អាចធ្វើទៅបាន ដូចដែលបានពិពណ៌នានៅក្នុងផ្នែកទីមួយប្រហោង R3 មានធ្នូកំពូលមួយដែលមានចុងខាងលើ ចំនួន ២ (ត្រង់នេះ A, B) ធ្នូកណ្តាលមួយដែលមានចុងនៅខាងលើ (C) និង ១ ក្រោមចុងនៅខាងក្រោម (B) និង ធ្នូខាងក្រោមមួយដែលមាន ចុងខាងក្រោម២ (នៅទីនេះ A, C) ។ (ការស្រាយខ្សែយកចេញពី https://en.wikipedia.org/wiki/Unknot)

យើងបានរកឃើញនៅក្នុងផ្នែកខាងលើ ថាចលនារបស់ R3 បញ្ច្រាសសម្រាប់ខ្សែកណ្តាល (នៅទីនេះតាមរយៈខ, គ) លំដាប់នៃការឆ្លងកាត់ខាងក្រោមនិងខាងលើ។ ចលនារបស់ R3 គឺមានប្រយោជន៍ប្រសិនបើចលនា R3 នាំឱ្យមានការបន្តនៃធ្នូពាក់កណ្តាលទៅនឹងការកើនឡើងនៃការឆ្លងកាត់ ខាងលើ និង / ឬឆ្លងកាត់ជាប់គ្នាជាបន្តបន្ទាប់នៅខាងក្រោម ហើយដូច្នេះបង្កើនឱកាសក្នុងការស្វែងរកចលនា P ។ នេះជាករណីមួយ ប្រសិនបើនៅក្នុងការបន្តនៃធ្នូពាក់កណ្តាលបន្ទាប់ពីការឆ្លងកាត់ខាងក្រោម B បានឆ្លងកាត់ខាងលើ ​(D, E ជាផ្លូវឆ្លងកាត់ខាងលើ) និង / ឬបន្ទាប់ពីការឆ្លងកាត់ខាងលើ (C) ដើរតាមផ្លូវឆ្លងកាត់ខាងក្រោម (F) , G, H គឺស្ថិតនៅផ្លូវឆ្លងកាត់ខាងក្រោម) ។ ចលនា R3 រំកិលធ្នូកណ្តាល BC រវាងធ្នូខាងលើនិងធ្នូខាងក្រោមនៅ A៖ កាលពីមុនមានតែការឆ្លងកាត់ខាងលើពីរជាប់គ្នានៅឯ D និង E ឥឡូវនេះមាន ៣ នៅ C, D និង E។ ខ្សែខាងលើដែលវែងជាងនេះអាចត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរជាថ្មីនៅក្នុង ចលនា P-
កាត់បន្ថយចំនួននៃការឆ្លងកាត់ដោយ 2 ពី 13 ដល់ 11។

ដូចគ្នានេះផងដែរផ្នែកម្ខាងទៀតនៃខ្សែអាចត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរជាថ្មីនៅក្នុងចលនា P ។ កាលពីមុនមានការឆ្លងកាត់ក្រោម ៣ ជាប់គ្នានៅ F, G និង H, ឥឡូវនេះមាន ៤ នៅឯ B, F, G និង H។ ហើយក៏កាត់បន្ថយចំនួនខ្សែខ្វែងដោយ២។ ដ្យាក្រាមទាំងពីរអាចត្រូវបានធ្វើឱ្យកាន់តែសាមញ្ញថែមទៀតតាមរយៈចលនា P- និង R1 ជាចុងក្រោយលទ្ធផលគឺស្រាយខ្សែបាន។ តើអ្នកអាចមើលឃើញពីរបៀបធ្វើឬទេ? គ្រាន់តែធ្វើតាមការណែនាំពីរបៀបសម្គាល់ P- ចលនាដែលបានផ្តល់ឱ្យខាងលើ

ចូរយើងអនុវត្តវាជាមួយឧទាហរណ៍។


តើមានចលនាប៉ុន្មានក្នុង R3 ក្នុងដ្យាក្រាមនេះ៖

ឧទាហរណ៏ខាងលើគឺសមរម្យដើម្បីបង្ហាញពីរបៀបដើម្បីអនុវត្តការផ្លាស់ប្តូរ R3 ជាមួយចំណុចប្រទាក់របស់យើង។

ដូចដែលបានពិពណ៌នានៅក្នុង 'សេចក្តីផ្តើមជាមួយនិយមន័យ'> 'ការផ្លាស់ប្តូរទីតាំង Reidemeister ៣ មាន ៣ វិធីដើម្បីអនុវត្តការផ្លាស់ប្តូរ Reidemeister ៣ ៈការផ្លាស់ទីខ្សែរបាតរំកិលខ្សែកណ្តាលរឺក៏រំកិលខ្សែខាងលើ។ ដូចដែលបានបង្ហាញនៅទីនោះវិធីទាំងបីមានលទ្ធផលដូចគ្នាពួកគេអនុវត្តចលនា Reidemeister 3 ដូចគ្នា។

ចំណុចប្រទាក់របស់យើងអនុញ្ញាតឱ្យមនុស្សម្នាក់អាចបញ្ចប់ការផ្លាស់ប្តូរ R3 ដោយផ្លាស់ទីខ្សែរខាងក្រោមឬខ្សែរខាងលើប៉ុន្តែមិនមែនខ្សែកណ្តាលទេ។ មូលហេតុគឺលក្ខណៈពិសេសនៃចំណុចប្រទាក់របស់យើងដែលចុងបញ្ចប់អាចបន្ថែម / ដកហួសច្រករឺចុង BOTH អាចបន្ថែម / ដកចេញលេខកូដឆ្លងកាត់បានក្នុងពេលតែមួយ។ ប៉ុន្តែវាមិនរារាំងយើងពីការធ្វើចលនា R3 ទេព្រោះការផ្លាស់ប្តូរខ្សែណាមួយក្នុងចំណោមខ្សែទាំងបីផ្តល់នូវលទ្ធផលដូចគ្នា។

ការផ្លាស់ទី P0 គឺជាការផ្លាស់ប្តូរផ្លូវឆ្លងកាត់ដែលមិនផ្លាស់ប្តូរចំនួននៃការឆ្លងកាត់ដូចជាចលនា R3 ដែលជាផ្នែកពិសេសនៃចលនារបស់ P0 ។ ដូចចលនា R3 ដែរ ចលនា P0 អាចមានអត្ថប្រយោជន៍និងបើកដំណើរការ P- ចលនា។ ដោយសារចលនា P0 ជាមធ្យមគឺមិនសូវមានអត្ថប្រយោជន៍ទេវាកើតឡើងញឹកញាប់ប៉ុន្តែវាកាន់តែពិបាកក្នុងការមើល ថាតើពួកគេអាចបើកចលនា P- បានដែរឬទេ។

ដើម្បីរកចលនារបស់ P0 អ្នកត្រូវរកមើលខ្សែខាងលើពួរឬខ្សែខាងក្រោម ដូចជាចលនារបស់ P ដែរ។ ដើម្បីពិនិត្យមើលថាតើចលនា P0 អាចមានអត្ថប្រយោជន៍និងអនុញ្ញាតឱ្យចលនារបស់ P-មួយដំណើរការដូចក្នុងករណីចលនា R3 ដែរឬទេ។ គេអាចមើលថាតើការដកចេញនៃខ្សែនេះបង្កើនចំនួននៃការជាប់គ្នា - ខាងលើឬខាងក្រោមនៃខ្សែដែលត្រូវបានឆ្លងកាត់និងមួយពិនិត្យមើលថាតើបន្ទាប់ពីការបញ្ចេញខ្សែថ្មីបង្កើនចំនួននៃការជាប់គ្នា - ខាងលើឬខាងក្រោមការឆ្លងកាត់នៃខ្សែ ដែលជា ការឆ្លងកាត់ឥឡូវនេះ។ ក្នុងករណីទាំងពីរនេះមួយណាក៏គេអាចពិនិត្យមើលថាតើខ្សែដែលមានចំនួនកើនឡើងនៃការជាប់គ្នា - នៅខាងលើឬឆ្លងកាត់ក្រោមអាចត្រូវបានធ្វើឱ្យប្រសើរឡើងវិញដោយឆ្លងកាត់តិចតួច។

សូមឱ្យយើងមើលឧទាហរណ៍នេះ: យើងដាក់ស្លាកសញ្ញាឆ្លងកាត់និងរកចលនា P0 មានប្រយោជន៍មួយជំហានម្តង ៗ និងស្វែងរកការផ្លាស់ប្តូរ P0 ដែលមានអត្ថប្រយោជន៍មួយជំហានម្តង ៗ

តើមានខ្សែខាងលើចំនួនប៉ុន្មានខ្សែដែលឆ្លងកាត់ផ្លូវខាងលើយ៉ាងតិចណាស់ចំនួន ២ ហើយតើមានខ្សែខាងក្រោមប៉ុន្មានខ្សែដែលស្ថិតនៅផ្លូវខាងក្រោមយ៉ាងតិចចំនួន ២?
វាមិនពិបាកទេក្នុងការឃើញថាខ្សែ IE មានចលនា P0 ដែលកំណត់ទីតាំងរបស់វាឡើងវិញដើម្បីឆ្លងកាត់ខ្សែ GC និង BH ប៉ុន្តែសំណួរគឺថាតើចលនា P0 នេះមានអត្ថប្រយោជន៍ឬអត់

តើការផ្លាស់ប្តូរខ្សែ IE ធ្វើឱ្យកើនចំនួននៃការឆ្លងកាត់ផ្លូវខាងលើ / ខាងក្រោម ការឆ្លងកាត់ខ្សែ DF ឬ HJ ឬទេ?
តើការឆ្លងកាត់ជាប់ៗគ្នាតាមផ្លូវខាងលើ / ខាងក្រោម ត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅពេលដាក់ខ្សែនៅលើកំពូលនៃខ្សែពីរ GC និង BH ដែរឬទេ?
តើខ្សែ BH នេះអាចត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរជាថ្មីក្នុងចលនា P ដើម្បីកាត់បន្ថយចំនួននៃការឆ្លងកាត់បានទេ?
ការពិតដែលថាខ្សែថ្មីវែងជាង (ពាក់ព័ន្ធនឹងជំហានច្រើន) នៅក្នុងដ្យាក្រាមនេះជាងខ្សែដែលបានជំនួសមិនសំខាន់ទេ។ អ្វីដែលសំខាន់នោះគឺការកាត់បន្ថយចំនួននៃការឆ្លងកាត់ពី ១០ ទៅ ៨ ដែលឥឡូវនេះអនុញ្ញាតឱ្យកំណត់ចំណងខ្សែនេះថាជាលេខ 8₁₇។

នៅក្នុងដ្យាក្រាមដើម ចលនារបស់ P- នេះអាចត្រូវបានធ្វើមុនគេជា ចលនារបស់ P0 ហើយចលនារបស់ P0 ដែលបានរៀបរាប់ខាងលើបន្ទាប់មកចលនារបស់ P- ជាមួយនឹងការសន្សំ ការឆ្លងកាត់ចំនួន ២ ។

ក្នុងបញ្ហាពិបាកវាចាំបាច់ត្រូវអនុវត្តចលនា P0 ជាច្រើនមុនពេលចលនា P- អាចធ្វើទៅបាន

ដ្យាក្រាមត្រូវបានធ្វើឱ្យមានលក្ខណៈសាមញ្ញបំផុតប្រសិនបើចំនួននៃការឆ្លងកាត់គឺជាលេខឆ្លងកាត់ (សូមមើលផ្នែកដំបូង) ។ ក្នុងករណីនេះចលនា P0 នឹងមិនអាចបើកចលនា P- បានឡើយ។

ចលនារូបធាតុ P+ បង្កើនចំនួនឆ្លងកាត់ក្នុងដ្យាក្រាម។ ហេតុអ្វីបានជាចលនាបែបនេះអាចមានប្រយោជន៍សម្រាប់អ្វីទាំងអស់ ប្រសិនបើគោលដៅជាធម្មតាគឺដើម្បីសម្រួលដ្យាក្រាម? ដើម្បីដឹងពីគោលបំណងរបស់ដ្យាក្រាម រំលឹកខ្លួនអ្នកអំពីការឆ្លងកាត់លេខ ភាពធន់នៃការឆ្លងកាត់ លេខ writhe និងរបៀបនៃការផ្លាស់ប្តូរ Reidemeister ផ្សេងគ្នាដែលប៉ះពាល់ដល់លេខទាំងពីរ។ បន្ទាប់មកសូមក្រឡេកមើលបញ្ហាប្រឈម(ពិបាក)ខាងក្រោម

អស់រយៈពេលជាយូរមកហើយចាប់តាំងពីចុងសតវត្សទី 19th ដ្យាក្រាមពីរដែលមានឈ្មោះថា 10₁₆₁ និង 10₁₆₂ នៅក្នុងតារាងរបស់ Dale Rolfsen ត្រូវបានគេគិតថាជារបស់ពីរផ្សេងគ្នា។ ឆ្នាំ 1973 Kenneth Perko បានដឹងថាដ្យាក្រាម ទាំងពីរតំណាងឱ្យចំណងដូចគ្នា។ ចាប់តាំងពីពេលនោះមក គូនៃធាតុនៅក្នុងតារាង knot បុរាណដែលពិតជាតំណាងឱ្យចំណងដូចគ្នា knot ដូចគ្នាហើយត្រូវបានគេហៅថាគូ Perko
ដ្យាក្រាមទាំងពីរនេះតំណាងឱ្យចំណងដូចគ្នា 10₁₆₁. តើពួកវាអាចធ្វើឱ្យខូចទ្រង់ទ្រាយគ្នាទៅវិញទៅមកបានដោយរបៀបណា? តើគេអាចរកឃើញលំដាប់បន្តបន្ទាប់នៃ P+ និង P- ហើយអាចមានចលនា P0 ដែលសម្រេចបានការខូចទ្រង់ទ្រាយបែបនេះដោយរបៀបណា?
នេះគឺជាបញ្ហាប្រឈមមួយទៀត។ តើ ដ្យាក្រាមទាំងពីរនេះអាចធ្វើឱ្យខូចទ្រង់ទ្រាយគ្នាដោយរបៀណា?

ចលនារបស់ U1 ប្តូរការឆ្លងកាត់ដែលក្រោយមកអនុញ្ញាត ធ្វើឱ្យដ្យាក្រាមមានភាពងាយស្រួលដើម្បីដកចេញរាល់ ខ្សែខ្វែងនិងបង្ហាញថា​ ការប្ដូរបាននាំឱ្យខ្សែស្រាយបាន។

ជាទូទៅល្បែងផ្គុំរូបដែលល្អ គួរតែមានដំណោះស្រាយប្លែកៗដូច្នេះល្បែងផ្គុំរូប U1 និង U2 បង្ហាញដ្យាក្រាមដែលការផ្លាស់ប្តូរនៃការឆ្លងកាត់តែមួយផ្តល់លទ្ធផលដែលស្រាយបាន។ ព័ត៌មានជំនួយនេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកាត់បន្ថយការស្វែងរក

ប្រសិនបើដ្យាក្រាមរាប់បញ្ចូលទាំង ការបត់បែនមួយរបស់ខ្សែដូច្នេះ៖

តើវាសំខាន់ដែរឬទេ បើខ្សែណាមួយនៃការឆ្លងកាត់ត្រូវបានប្ដូរ​?
ប្រសិនបើនៅតែមាន ខ្សែឆ្លងកាត់ជាច្រើន អ្នកគួរតែព្យាយាមស្រម៉ៃមើលថាតើចំនួនចលនា R1, R2មានប៉ុន្មាន នឹងមានតាមរយៈការប្ដូរ ហើយព្យាយាមប្តូរវាជាមុនសិនដែលហាក់ដូចជាអនុញ្ញាតឱ្យមានភាពងាយស្រួលបំផុតបន្ទាប់ពីនោះ។

ព័ត៌មានជំនួយមួយផ្សេងទៀតដើម្បីកាត់បន្ថយការប្ដូរគឺ ព្យាយាមស្រម៉ៃ ថាតើបន្ទាប់ពី ការប្ដូរនោះប្រាកដជាមានខ្សែរចងដែលនៅសល់។ បើអញ្ចឹង អាចកំណត់បានថាការប្ដូរនោះមិនត្រឹមត្រូវទេក្នុងល្បែងផ្គុំរូប U1 ។

នៅលើសន្លឹកកិច្ចការចំនួននៃការប្ដូរ ដែលអាចរកបាន គឺមានកំណត់ត្រឹមអប្បបរមាដែលត្រូវការដើម្បីទទួលបានការស្រាយ ប្រសិនបើអ្នកបានប្តូរខ្សែ នោះគេមិនអាចប្តូរវាត្រឡប់មកវិញបានទេ ពីព្រោះដ្យាក្រាមអាចត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរដូច្នេះ គេត្រូវកំណត់ដ្យាក្រាមឡើងវិញ។

ចំពោះល្បែងផ្គុំរូបរាងអក្សរ U2 ព័ត៌មានជំនួយដូចគ្នានឹង ការប្តូរ ដែលអនុវត្តសម្រាប់ល្បែងផ្គុំរូប U1 ។ ដូចគ្នានេះផងដែរ សម្រាប់ល្បែងផ្គុំរូប U2 មានតែការឆ្លងកាត់មួយដែលកាត់បន្ថយចំនួនខ្សែដែលស្រាយបាន ពោលគឺធ្វើឱ្យមានការរីកចម្រើនឆ្ពោះទៅរកការស្រាយខ្សែបាន នៅពេលដែលការឆ្លងកាត់ដំបូងតែមួយគត់ត្រូវបានប្តូរហើយដ្យាក្រាមលទ្ធផលត្រូវបានធ្វើឱ្យមានភាពសាមញ្ញវាអាចមានច្រើនជាងមួយខ្សែប្ដូរ ដែលអាចបង្កើត ការស្រាយបាន។

ការស្រាវជ្រាវដែលបានអនុវត្តដោយ Caribou Contests ទៅលើចំនួនខ្សែដែលស្រាយបាន បានបង្ហាញថាមានដ្យាក្រាមខ្សែ សាមញ្ញបំផុត (មានចំនួនឆ្លងកាត់តិចតួចបំផុត) ដែលមិនមានកុងតាក់ការប្ដូរងាយទេ។ និយាយម៉្យាងទៀតថា មានដ្យាក្រាមដែលការផ្លាស់ប្តូរខ្សែខ្វែង ណាមួយនឹងមិនមានដំណើរការ ដើម្បីឈានដល់ការស្រាយបាននោះទេ។ ក្នុងករណីនោះ ដំបូងត្រូវអនុវត្តចលនា P0 មួយឬច្រើនដែលប្តូររូបផ្គុំទៅជារូបផ្គុំ U2 ។ ដំណឹងល្អគឺថា ដ្យាក្រាមដែលតម្រូវឱ្យមានការផ្លាស់ទី P0 ដំបូងគឺកម្រ ហើយដូច្នេះវាទំនងជាថា ចលនា P0 ណាមួយនឹងផ្លាស់ប្តូរវាទៅជារូបផ្គុំ U2 ។

ឧបសគ្គដែលមិនត្រូវបានកត់សម្គាល់នៅលើគេហទំព័រនេះត្រូវបានជ្រើសរើសជាពិសេស។ ការដឹងពីរបៀបដែលពួកគេពិសេសអាចជួយដោះស្រាយបញ្ហាទាំងនោះ។
R3ផ្លាស់ទី
U1 និង U2 ផ្លាស់ទី
P0 ផ្លាស់ទី
P0 ផ្លាស់ទី