Packing^©

Apa yang ternyata paling berguna ialah memikirkan pembahagian nombor, terutamanya boleh dibahagikan dengan 2. Ini adalah subjek Teori Nombor. Perkara yang kita susun adalah objek geometri, tetapi itu tidak bermakna pengetahuan geometri diperlukan untuk menyelesaikan teka-teki. Daripada Geometri kita perlu tahu apakah luas segi empat sama atau segi empat tepat, tetapi tidak lebih.

Untuk sesetengah teka-teki, memikirkan simetri juga sangat berguna.

Berikut ialah beberapa petunjuk:

• Bahagikan masalah yang sukar kepada yang lebih mudah, iaitu kepada sub-matlamat. Sebagai contoh, untuk mengisi keseluruhan bekas, seseorang perlu mengisi setiap lapisan.
• Susun kepingan dengan cara simetri, terutamanya jika bekas simetri seperti kiub 3×3×3 atau bekas berbentuk persegi 1×7×7.
• Manfaatkan sepenuhnya maklumat yang diberikan. Apakah saiz kepingan? Berapa ramai daripada mereka mempunyai bentuk yang sama?

Baki "Makanan untuk Difikirkan" ini mempunyai matlamat untuk menyelesaikan semua teka-teki tanpa percubaan dan kesilapan, sebaliknya mengemukakan soalan mudah dan menjawabnya.

Salah satu bentuk yang akan disatukan untuk membentuk pepejal yang lebih besar.

Sekeping ganjil ialah kepingan yang panjangnya semuanya ganjil, seperti kepingan 1×1×1 atau kepingan 1×3×5.

Sekeping adalah walaupun ia mempunyai sekurang-kurangnya dua panjang genap, seperti 1×2×4 atau 2×2×2.

Adakah semua kepingan sama ada genap atau ganjil?

Kubus ialah prisma segi empat tepat. Kami menggunakan perkataan "bekas" untuk merujuk kepada cangkerang kosong kuboid. Kami merujuk kepada "kuboid" sebagai kandungan bekas. Bekas hendaklah diisi dengan kepingan dan kuboid dicipta daripada kepingan.

Lapisan ialah kepingan ketebalan 1 ke arah selari dengan muka bekas. Bekas 3×4×5 mempunyai 3 lapisan saiz 4×5, 4 lapisan saiz 3×5, dan 5 lapisan saiz 3×4.

Berapakah bilangan lapisan bekas 1×5×7?

Khususnya, kiub 1×1×1, bukan kiub yang lebih besar. Sekeping 1×1×1 terdiri daripada 1 kiub, manakala kepingan 1×1×3 terdiri daripada 1 × 1 × 3 = 3 kiub.

Beberapa kepingan yang melekat antara satu sama lain membentuk Blok Bangunan. Blok binaan yang menarik akan mempunyai simetri. Untuk teka-teki yang lebih sukar, beberapa blok binaan yang serupa atau serupa cermin serta bahagian tengah akan mengisi bekas.

TIDAK. Sekeping 1×2×2 terdiri daripada bilangan kiub genap. Oleh itu, sebarang bilangan kepingan 1×2×2 bersama-sama akan mempunyai jumlah kiub yang genap. Oleh kerana kuboid 3×3×3 terdiri daripada bilangan kiub ganjil, ia tidak boleh dibentuk dengan cara ini.

Dalam beberapa bahagian seterusnya, kita akan meneroka bagaimana kebolehbahagian, terutamanya oleh 2, menentukan cara kepingan mesti diletakkan untuk menyelesaikan teka-teki tertentu.

Jawapannya sekali lagi TIDAK. Kawasan dalam lapisan yang boleh diduduki oleh sekeping ialah luas salah satu muka kepingan itu, bukan?

Apakah wajah sekeping 1×2×2?

Apakah kawasan muka ini, dan apakah persamaan kawasan tersebut?

Adakah ini benar untuk semua kepingan genap?

Kami mengetahui bahawa kuboid dengan panjang sisi ganjil tidak boleh dibentuk daripada kepingan genap sahaja. Lapisan dengan kawasan ganjil juga tidak boleh diisi dengan kepingan genap. Oleh itu, teka-teki "3×3×3 2" mempunyai beberapa kepingan 1×1×1, yang merupakan kepingan ganjil.

Berikut ialah satu lagi soalan berguna untuk dipertimbangkan:

Adakah salah satu daripada dua jenis kepingan (1×1×1 dan 1×2×2) lebih 'berharga' daripada yang lain?

YA! Tiga kepingan 1×2×5 boleh diletakkan bersebelahan untuk membentuk bentuk 1×6×5 (3 × 2 = 6). Kita kemudian boleh mencipta bentuk 1×6×5 kedua dan menggabungkannya menjadi bentuk 1×6×10. Akhir sekali, dua bentuk 1×6×10 boleh diletakkan bersama untuk membentuk kuboid 2×6×10.

Pembayang

Petunjuk lain?

Jawapan

Katakan kita hanya mempunyai kepingan saiz x × y × z. Kemudian membina kuboid X & kali Y & kali Z adalah mungkin jika terdapat integer positif A, B, C supaya Ax, By dan Cz sama dengan X, Y dan Z dalam beberapa susunan.

Berapa banyak kepingan yang akan digunakan dalam kes ini?

Mengapa Ax, By dan Cz boleh sama dengan X, Y dan Z dalam sebarang susunan?

TIDAK. Jika semua kepingan 1×2×3 berorientasikan ke arah yang sama, kuboid akan mempunyai saiz A × (B × 2) × (C × 3). Tetapi kepingan boleh berorientasikan secara berbeza dan masih membentuk kuboid. Sebagai contoh, kepingan 1×2×3 boleh membentuk kuboid 1×5×6, walaupun 1, 5 dan 6 tidak sama dengan A, B × 2, dan C × 3 dalam sebarang susunan. Contoh lain ialah teka-teki "1×7×10 1", yang terdiri daripada kepingan 1×2×5.

Apakah hubungan antara panjang kepingan dan panjang kuboid dalam kedua-dua contoh ini?

Seseorang boleh mengulangi operasi ini dalam sebarang susunan, mula-mula menjana kuboid daripada sekeping, dan kemudian menggunakan kuboid sebagai "sekeping" untuk menjana kuboid yang lebih besar. Kami telah membincangkan sebelum ini bagaimana kuboid 2×6×10 boleh dibentuk daripada kepingan 1×2×5. Dalam kes ini hanya satu operasi diperlukan, darabkan dengan 2, 3 dan 2, masing-masing: (1, 2, 5) → (2 & kali 1, 3 & kali 2, 2 × 5) = (2, 5, 10).

Oleh itu, kepingan saiz x × y × z bukan sahaja boleh membina kuboid saiz Ax × By × Cz tetapi, sebagai contoh, juga dengan saiz x × (y + z) × LCM(y,z), di mana LCM(y,z) ialah Gandaan Sesama Terendah bagi y dan z. Meletakkan beberapa blok binaan ini bersama-sama memberikan kuboid bersaiz Axe × B(y + z) + C(LCM(y,z)).

TIDAK, kerana 3 tidak boleh dibahagikan dengan 2.

Kami telah memerhatikan bahawa mana-mana kepingan boleh membentuk kuboid yang panjangnya adalah gandaan daripada panjang kepingan itu. Ternyata panjang mana-mana kuboid yang dibentuk oleh kepingan harmonik yang sama mestilah gandaan panjang kepingan. Iaitu, jika kepingan harmonik mempunyai panjang x, y dan z, mana-mana kuboid yang terbentuk daripada salinan kepingan ini mesti mempunyai satu panjang boleh dibahagikan dengan x, satu lagi boleh dibahagikan dengan y, dan yang ketiga boleh dibahagikan dengan z. Walaupun ini adalah kenyataan yang mudah, bukti memerlukan konsep di luar skop laman web ini. Pautan ke bukti boleh didapati di bahagian "Pengakuan".

Bagaimanakah fakta ini konsisten dengan empat operasi yang kita bincangkan di atas?

Akibatnya, mana-mana kuboid yang terbentuk daripada kepingan harmonik boleh mempunyai semua kepingan dalam orientasi yang sama. Oleh itu, jika kita cuba membentuk kuboid daripada kepingan harmonik yang sama, sudah cukup untuk cuba menyusun semuanya menghadap ke arah yang sama. Jika ini tidak mungkin, maka kuboid tidak boleh dibentuk sama sekali.

Oleh kerana kepingan 1×2×2 adalah harmonik, mana-mana kuboid yang terbentuk daripada salinan kepingan ini mesti mempunyai panjang A, B × 2, dan C × 2 untuk beberapa integer A, B, dan C. Imej di bawah menunjukkan kuboid 5×4×4 yang dibentuk oleh kepingan 1×2×2, yang semuanya mempunyai orientasi yang sama.

Apakah nilai A, B dan C ?

Apabila membungkus dengan kepingan harmonik, adakah kepingan itu perlu menghadap ke arah yang sama?

Apabila bekerja dengan sekeping bukan harmonik x × y × z, terdapat beberapa kuboid yang boleh dibentuk yang saiznya bukan Ax × By × Cz untuk mana-mana integer A, B, C. Sebagai contoh, kuboid 1×5×6 boleh dicipta daripada kepingan 1×2×3. Ini adalah hasil daripada operasi ketiga, seperti yang dibincangkan sebelum ini.

Adalah penting untuk ambil perhatian bahawa bilangan kiub dalam kuboid mesti sentiasa boleh dibahagikan dengan bilangan kiub dalam bahagian itu. Apabila panjang kiub bukan setiap gandaan panjang kepingan yang berbeza, salah satu panjang kuboid akan menjadi gandaan biasa sekurang-kurangnya 2 panjang kepingan, disebabkan oleh kaedah ketiga dan keempat. Fakta ini boleh digunakan untuk menentukan sama ada kuboid tertentu boleh dibentuk daripada kepingan bukan harmonik.

Bolehkah 2×4×12 kepingan membentuk kuboid bersaiz 4×8×36? Bagaimana pula dengan kuboid bersaiz 10×10×12 ?

Bolehkah kepingan saiz 1×3×5 membentuk kuboid saiz 2×15×8 ? Bagaimana pula dengan kuboid 3×9×14?

Berikut ialah gambaran keseluruhan perkara yang telah kami pelajari:

• Jika panjang kuboid adalah gandaan panjang sekeping, maka ia boleh dibentuk daripada salinan kepingan itu, tidak kira sama ada kepingan itu harmonik. Kubus sedemikian boleh dibentuk dengan semua kepingan dalam orientasi yang sama, tetapi mungkin juga terdapat susunan di mana kepingan mempunyai orientasi yang berbeza.
• Jika sekeping adalah harmonik, maka mana-mana kuboid yang terbentuk mesti mempunyai panjang yang merupakan gandaan daripada panjang kepingan itu. Akibatnya, mana-mana kuboid yang terbentuk daripada kepingan harmonik mungkin mempunyai semua kepingan dalam orientasi yang sama, walaupun ini tidak selalu diperlukan.
• Jika sekeping tidak harmonik, terdapat beberapa kuboid yang boleh dibentuk yang panjangnya bukan gandaan panjang kepingan (lihat operasi ketiga dan keempat). Dalam kes ini, kepingan tidak boleh mempunyai orientasi yang sama. Menggunakan kepingan bukan harmonik, seseorang boleh mencipta kuboid dengan bentuk yang berbeza dengan menggunakan 4 kaedah yang diterangkan sebelum ini.

TIDAK. Dalam konteks ini, tidak ada yang istimewa tentang 3 dimensi. Malah, menetapkan salah satu panjang sama dengan 1 adalah bersamaan dengan mengurangkan masalah kepada 2 dimensi. Hasilnya juga sah dalam lebih daripada 3 dimensi. Sebagai contoh, sekeping 1×3×12×24 adalah harmonik. Oleh itu, mana-mana kuboid 4 dimensi yang terbentuk daripada kepingan 4 dimensi ini mesti mempunyai dimensi A, B × 3, C × 12 dan D × 24 untuk beberapa integer positif A, B, C, dan D.