Packing^©

Điều hữu ích nhất là suy nghĩ về khả năng chia các số, đặc biệt là chia hết cho 2. Đây là một chủ đề của Lý thuyết số. Những thứ chúng ta xếp chồng lên nhau là các đối tượng hình học, nhưng điều đó không có nghĩa là kiến thức hình học là cần thiết để giải các câu đố. Từ Hình học, chúng ta cần biết diện tích của một hình vuông hoặc hình chữ nhật là bao nhiêu, nhưng không có gì hơn.

Đối với một số câu đố, suy nghĩ về tính đối xứng cũng rất hữu ích.

Dưới đây là một số gợi ý:

• Chia một vấn đề khó thành những vấn đề dễ dàng hơn, tức là thành các mục tiêu phụ. Ví dụ, để lấp đầy toàn bộ thùng chứa, người ta cần lấp đầy từng lớp.
• Sắp xếp các mảnh theo cách đối xứng, đặc biệt nếu thùng chứa đối xứng như hình khối 3×3×3 hoặc thùng hình vuông 1×7×7.
• Tận dụng tối đa thông tin đã cho. Kích thước của các mảnh là gì? Có bao nhiêu người trong số họ có cùng hình dạng?

Phần còn lại của "Thức ăn cho suy nghĩ" này có mục tiêu giải tất cả các câu đố mà không cần thử và sai, thay vào đó là đưa ra những câu hỏi đơn giản và trả lời chúng.

Một trong những hình dạng sẽ được ghép lại với nhau để tạo thành chất rắn lớn hơn.

Một quân cờ lẻ là một quân cờ có độ dài đều là số lẻ, chẳng hạn như quân cờ 1×1×1 hoặc quân cờ 1×3×5.

Một quân cờ là ngay cả khi nó có ít nhất hai độ dài chẵn, chẳng hạn như 1×2×4 hoặc 2×2×2.

Tất cả các quân cờ đều chẵn hay lẻ?

Hình khối là một lăng trụ hình chữ nhật. Chúng tôi sử dụng từ "thùng chứa" để chỉ lớp vỏ trống của hình khối. Chúng tôi gọi "hình khối" là nội dung của thùng chứa. Một thùng chứa phải được lấp đầy bằng các mảnh và một hình khối được tạo ra từ các mảnh.

Một lớp là một lát có độ dày 1 theo hướng song song với mặt của thùng chứa. Một thùng chứa 3×4×5 có 3 lớp cỡ 4×5, 4 lớp size 3×5 và 5 lớp size 3×4.

Thùng chứa 1×5×7 có bao nhiêu lớp?

Cụ thể, một khối lập phương 1×1×1, không phải một khối lập phương lớn hơn. Một mảnh 1 & times1 & times1 bao gồm 1 khối lập phương, trong khi một mảnh 1 & times1 & times3 bao gồm 1 & lần 1 & lần 3 = 3 hình khối.

Một vài mảnh gắn liền với nhau tạo thành một Khối xây dựng. Các khối xây dựng thú vị sẽ có sự đối xứng. Đối với các câu đố khó hơn, một số khối xây dựng giống hệt nhau hoặc giống hệt gương cộng với một mảnh trung tâm sẽ lấp đầy thùng chứa.

KHÔNG. Một mảnh 1 & times2 & times2 bao gồm một số khối chẵn. Do đó, bất kỳ số lượng 1×2×2 nào với nhau sẽ có tổng số khối chẵn. Vì hình lập phương 3×3×3 bao gồm một số khối lẻ, nó không thể được hình thành theo cách này.

Trong vài phần tiếp theo, chúng ta sẽ khám phá cách phân chia, đặc biệt là 2, xác định cách các mảnh phải được đặt để giải một số câu đố nhất định.

Câu trả lời một lần nữa là KHÔNG. Diện tích trong một lớp có thể bị chiếm bởi một quân cờ là diện tích của một trong các mặt của quân cờ phải không?

Mặt của một mảnh 1 & times2 & times2 là gì?

Các khu vực của những khuôn mặt này là gì, và các khu vực này có điểm chung gì?

Điều này có đúng với tất cả các mảnh chẵn không?

Chúng tôi đã học được rằng các hình lập phương có chiều dài cạnh lẻ không thể được hình thành chỉ từ các mảnh chẵn. Một lớp có diện tích lẻ cũng không thể được lấp đầy bằng các mảnh chẵn. Do đó, câu đố "3×3×3 2" có một vài mảnh 1×1×1, là những mảnh lẻ.

Đây là một câu hỏi hữu ích khác để xem xét:

Một trong hai loại tác phẩm (1×1×1 và 1×2×2) có 'quý giá' hơn loại kia không?

CÓ! Ba mảnh 1 & times2 & times5 có thể được đặt cạnh nhau để tạo thành hình dạng 1 & times6 & times5 (3 & times 2 = 6). Sau đó, chúng ta có thể tạo một hình dạng 1×6×5 thứ hai và kết hợp chúng thành một hình 1×6×10. Cuối cùng, hai hình dạng 1×6×10 có thể được đặt cùng nhau để tạo thành hình khối 2×6×10.

Kháy

Một gợi ý khác?

Trả lời

Giả sử chúng ta chỉ có các mảnh có kích thước x & lần y & lần z. Sau đó, có thể xây dựng một hình khối X & lần Y & lần Z nếu tồn tại các số nguyên dương A, B, C sao cho Ax, By và Cz bằng X, Y và Z theo một thứ tự nào đó.

Bao nhiêu mảnh sẽ được sử dụng trong trường hợp này?

Tại sao Ax, By và Cz có thể bằng X, Y và Z theo bất kỳ thứ tự nào?

KHÔNG. Nếu tất cả các mảnh 1 & times2 & times3 được định hướng theo cùng một hướng, hình lập phương sẽ có kích thước A × (B × 2) × (C × 3). Nhưng các mảnh có thể được định hướng khác nhau và vẫn tạo thành hình khối. Ví dụ, các mảnh 1×2×3 có thể tạo thành hình khối 1×5×6, mặc dù 1, 5 và 6 không bằng A, B × 2 và C × 3 theo bất kỳ thứ tự nào. Một ví dụ khác là câu đố "1×7×10 1", bao gồm 1×2×5 mảnh.

Mối quan hệ giữa chiều dài của tác phẩm và chiều dài của hình lập phương trong hai ví dụ này là gì?

Người ta có thể lặp lại các thao tác này theo bất kỳ thứ tự nào, đầu tiên tạo ra một hình lập phương từ một mảnh, và sau đó sử dụng hình lập phương như một "mảnh" để tạo ra một hình khối thậm chí còn lớn hơn. Chúng ta đã thảo luận trước đó về cách hình khối 2×6×10 có thể được hình thành từ các mảnh 1×2×5. Trong trường hợp này, chỉ cần một phép toán, nhân với 2, 3 và 2, tương ứng: (1, 2, 5) → (2 & lần 1, 3 & lần 2, 2 & lần 5) = (2, 5, 10).

Do đó, các mảnh có kích thước x & lần y & lần z không chỉ có thể xây dựng các hình lập phương có kích thước Ax & times By × Cz mà còn có kích thước x & times (y + z) × LCM (y, z), trong đó LCM (y, z) là bội số chung thấp nhất của y và z. Đặt một số khối xây dựng này lại với nhau cho các hình khối có kích thước Ax × B(y + z) + C(LCM(y,z)).

KHÔNG, vì 3 không chia hết cho 2.

Chúng ta đã quan sát thấy rằng bất kỳ mảnh nào cũng có thể tạo thành một hình khối có chiều dài bằng bội số chiều dài của mảnh. Nó chỉ ra rằng chiều dài của bất kỳ hình khối nào được tạo thành bởi các mảnh hài giống hệt nhau phải là bội số chiều dài của các mảnh. Nghĩa là, nếu một đoạn hài có độ dài x, y và z, bất kỳ hình khối nào được hình thành từ các bản sao của mảnh này phải có một chiều dài chia hết cho x, một đoạn khác chia hết cho y và thứ ba chia hết cho z. Mặc dù đây là một tuyên bố đơn giản, nhưng việc chứng minh đòi hỏi các khái niệm nằm ngoài phạm vi của trang web này. Một liên kết đến bằng chứng có thể được tìm thấy trong phần "Xác nhận".

Thực tế này phù hợp với bốn hoạt động mà chúng ta đã thảo luận ở trên như thế nào?

Kết quả là, bất kỳ hình khối nào được hình thành từ các mảnh hài hòa đều có thể có tất cả các mảnh theo cùng một hướng. Do đó, nếu chúng ta đang cố gắng tạo thành một hình khối từ các mảnh hài hòa giống hệt nhau, chỉ cần thử sắp xếp tất cả chúng hướng về cùng một hướng là đủ. Nếu điều này là không thể, thì hình khối hoàn toàn không thể được hình thành.

Vì một mảnh 1 & times2 & times2 là hài hòa, bất kỳ hình khối nào được hình thành từ các bản sao của mảnh này phải có độ dài A, B & lần 2 và C & lần 2 đối với một số số nguyên A, B và C. Hình ảnh dưới đây cho thấy một hình khối 5×4×4 được tạo thành bởi các mảnh 1×2×2, tất cả đều có cùng hướng.

Các giá trị của A, B và C là gì?

Khi đóng gói với các mảnh hài hòa, các mảnh có phải hướng về cùng một hướng không?

Khi làm việc với một mảnh không hài x & times y & times z, có một số hình khối có thể được hình thành có kích thước không phải là Ax × By × Cz cho bất kỳ số nguyên nào A, B, C. Ví dụ, một hình lập phương 1×5×6 có thể được tạo ra từ các mảnh 1×2×3. Đây là kết quả của phép toán thứ ba, như đã thảo luận trước đó.

Điều quan trọng cần lưu ý là số lượng hình lập phương trong hình khối phải luôn chia hết cho số lượng hình lập phương trong mảnh. Khi chiều dài của khối lập phương không phải là bội số của một chiều dài khác nhau của mảnh, một trong các chiều dài của hình lập phương sẽ là bội số chung của ít nhất 2 chiều dài của mảnh, do phương pháp thứ ba và thứ tư. Thực tế này có thể được sử dụng để xác định xem liệu một số hình khối nhất định có thể được hình thành từ các mảnh không hài hay không.

2 & times4 & times12 có thể tạo thành một hình lập phương có kích thước 4 & times8 & times36 không? Còn một hình khối có kích thước 10 & lần 10 & lần 12 thì sao?

Các mảnh có kích thước 1 & times3 & times5 có thể tạo thành một hình lập phương có kích thước 2 & times15 & times8 không? Còn hình khối 3×9×14 thì sao?

Dưới đây là tổng quan về những gì chúng tôi đã học được:

• Nếu chiều dài của một hình khối là bội số chiều dài của một bản nhạc, thì nó có thể được hình thành từ các bản sao của tác phẩm đó, bất kể bản nhạc đó có hài hòa hay không. Các hình khối như vậy có thể được hình thành với tất cả các mảnh theo cùng một hướng, nhưng cũng có thể tồn tại sự sắp xếp trong đó các mảnh có các hướng khác nhau.
• Nếu một mảnh hài hòa, thì bất kỳ hình khối nào được hình thành đều phải có chiều dài bằng bội số chiều dài của mảnh. Kết quả là, bất kỳ hình khối nào được hình thành từ các mảnh hài có thể có tất cả các mảnh theo cùng một hướng, mặc dù điều này không phải lúc nào cũng cần thiết.
• Nếu một bản nhạc không hài hòa, có một số hình khối có thể được hình thành có chiều dài không bằng bội số chiều dài của mảnh (xem phép toán thứ ba và thứ tư). Trong trường hợp này, các mảnh không thể có cùng hướng. Sử dụng các mảnh không hài hòa, người ta có thể tạo ra các hình khối có hình dạng khác nhau bằng cách sử dụng 4 phương pháp được mô tả trước đó.

KHÔNG. Trong bối cảnh này, không có gì đặc biệt về 3 chiều. Trên thực tế, đặt một trong các độ dài bằng 1 tương đương với việc giảm vấn đề xuống 2 chiều. Kết quả cũng có giá trị trong hơn 3 chiều. Ví dụ, một bản nhạc 1×3×12×24 là hài hòa. Do đó, bất kỳ hình khối 4 chiều nào được hình thành từ các mảnh 4 chiều này phải có các kích thước A, B & lần 3, C & lần 12 và D & lần 24 đối với một số nguyên dương A, B, C và D.