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事实证明，最有用的是考虑数字的可整除性，尤其是被 2 整除的可整除性。这是数论的一个主题。我们堆叠的东西是几何对象，但这并不意味着需要几何知识来解决难题。从 Geometry 中，我们需要知道正方形或矩形的面积是多少，但仅此而已。

对于一些谜题，考虑对称性也非常有用。

以下是一些提示：

• 将一个难题拆分为更简单的问题，即拆分为子目标。例如，要填充整个容器，需要填充每一层。
• 以对称的方式排列各个部分，特别是如果容器是对称的，例如 3×3×3 立方体或 1×7×7 方形容器。
• 充分利用给定的信息。这些作品的尺寸是多少？他们中有多少是相同的形状？

这个“深思熟虑”的其余部分的目标是在不试错的情况下解决所有谜题，而是提出简单的问题并回答它们。

将组合在一起以形成较大实体的形状之一。

奇数是长度均为奇数的积木块，例如 1×1×1 或 1×3×5。

一个积木块即使至少有两个偶数长度，例如 1×2×4 或 2×2×2。

所有积木块都是偶数还是奇数？

长方体是一个矩形棱柱体。我们使用 “container” 一词来指代 cuboid 的空 shell。我们将 “cuboid” 称为容器的内容。容器将装满碎片，并从碎片创建长方体。

层是沿平行于容器面的方向的厚度为 1 的切片。一个 3×4×5 的容器有 3 层 4×5,4 层 3×5 和 5 层 3×4。

一个 1×5×7 的容器有多少层？

具体来说，是一个 1×1×1 的立方体，而不是一个更大的立方体。一个 1×1×1 的棋子由 1 个立方体组成，而一个 1×1×3 的棋子由 1 × 1 × 3 = 3 个立方体组成。

几个相互连接的块形成一个 Building Block。有趣的构建块将具有对称性。对于更难的谜题，几个相同或镜像相同的构建块加上一个中心块将填满容器。

不。一个 1×2×2 的积木块由偶数个立方体组成。因此，任意数量的 1×2×2 积木块加起来将有偶数的立方体总数。由于 3×3×3 长方体由奇数个立方体组成，因此不能以这种方式形成。

在接下来的几节中，我们将探讨可整除性（尤其是 2）如何决定必须如何放置积木块来解决某些谜题。

答案又是否定的。图层中可以被一个积木块占据的面积是该积木块的一个面的面积，对吧？

1×2×2 的积木有哪些面？

这些面的区域是什么，这些区域有什么共同点？

所有偶数积木块都是如此吗？

我们了解到，奇数边长的长方体不能仅由偶数块形成。具有奇数区域的图层也不能用偶数块填充。因此，题干“3×3×3 2”有几个 1×1×1 的积木块，都是奇数积木块。

以下是另一个需要考虑的有用问题：

两种类型的积木块（1×1×1 和 1×2×2）中的一种是否比另一种更“珍贵”？

是的！三个 1×2×5 可以并排放置，形成 1×6×5 的形状 （3 × 2 = 6）。然后，我们可以创建第二个 1×6×5 形状，并将它们组合成一个 1×6×10 形状。最后，可以将两个 1×6×10 的形状放在一起，形成一个 2×6×10 的长方体。

提示

另一个提示？

答

假设我们只有大小为 x × y × z 的块。如果存在正整数 A、B、C，使得 Ax、By 和 Cz 按某种顺序等于 X、Y 和 Z，则可以构造 X × Y × Z 长方体。

在这种情况下将使用多少块？

为什么 Ax、 By 和 Cz 可以任意顺序等于 X、 Y 和 Z ？

不。如果所有 1×2×3 的棋子都朝向同一方向，则长方体的大小为 A × （B × 2） × （C × 3）。但是块的方向可以不同，并且仍然形成一个长方体。例如，1×2×3 可以形成一个 1×5×6 的长方体，即使 1、5 和 6 不等于 A、 B 和times 2，以及 C × 3 在任何顺序上。再比如拼图“1×7×10 1”，它由 1×2×5 组成。

在这两个例子中，棋子的长度和长方体的长度之间有什么关系？

可以按任何顺序重复这些操作，首先从一个块生成一个长方体，然后将该长方体用作“块”来生成更大的长方体。我们之前讨论了如何从 1×2×5 形成 2×6×10 的长方体。在这种情况下，只需要一个运算，分别乘以 2、3 和 2：（1， 2， 5） → （2 × 1， 3 × 2， 2 × 5） = （2， 5， 10）。

因此，大小为 x × y × z 的块不仅可以构造大小为 Ax × By × Cz 的长方体，而且，例如，还可以构造大小为 x × （y + z） × LCM（y，z） 的长方体，其中 LCM（y，z） 是 y 和 z 的最小公倍数。将其中几个构建块放在一起，得到大小为 Ax &x 乘以 B（y + z） + C（LCM（y，z）） 的长方体。

否，因为 3 不能被 2 整除。

我们已经观察到，任何块都可以形成一个长方体，其长度是块长度的倍数。事实证明，由相同谐波块形成的任何长方体的长度 必须是 块长度的倍数。也就是说，如果一个谐波块的长度为 x、 y 和 z，则由该块的副本形成的任何长方体都必须具有一个长度可被 x 整除，另一个长度可被 y 整除，第三个长度可被 z 整除。虽然这是一个简单的陈述，但证明需要的概念超出了本网站的范围。证明的链接可以在 “致谢” 部分找到。

这个事实与我们上面讨论的四个操作如何一致？

因此，由谐波块形成的任何长方体都可以具有相同方向的所有块。因此，如果我们试图用相同的谐波块形成一个长方体，那么尝试将它们都面向同一方向就足够了。如果这是不可能的，那么根本无法形成长方体。

由于一个 1×2×2 的块是谐波的，所以由这个块的副本形成的任何长方体都必须具有长度 A、B 和时间 2，对于一些整数 A、B 和 C，长度必须为 C 和时间 2。下图显示了一个 5×4×4 长方体，由 1×2×2 块组成，它们都具有相同的方向。

A、B 和 C 的值是什么？

当用谐波片包装时，这些片必须朝向同一方向吗？

当使用非谐波棋子 x × y × z 时，对于任何整数 A、B、C，可以形成一些大小不是 Ax × By × Cz 的长方体。例如，可以从 1×2×3 块创建 1×5×6 长方体。如前所述，这是第三个操作的结果。

需要注意的是，长方体中的立方体数量必须始终能被该块中的立方体数量整除。当立方体的长度不是棋子不同长度的倍数时，由于第三种和第四种方法，长方体的一个长度将是至少 2 个长度的公倍数。这一事实可用于确定某些长方体是否可以由非谐波块形成。

2&乘以4&乘以12块可以形成大小为4&乘以8&乘以36的长方体吗？大小为 10×10×12 的长方体呢？

大小为 1×3×5 的块可以形成大小为 2×15×8 的长方体吗？3×9×14 长方体呢？

以下是我们所学到的知识概述：

• 如果长方体的长度是一块长度的倍数，那么它可以由该块的副本形成，而不管该块是否是泛音。这种长方体可以由所有块以相同的方向形成，但也可能存在块具有不同方向的排列。
• 如果一个 piece 是 harmonic，那么任何形成的 cuboid 的长度都必须是 piece 长度的倍数。因此，由谐波块形成的任何长方体都可以使所有块具有相同的方向，尽管这并不总是必要的。
• 如果一个乐曲不是和声的，则可以形成一些长方体，它们的长度不是乐曲长度的倍数（参见第三和第四个操作）。在这种情况下，棋子 不能 都具有相同的方向。使用非谐波块，可以使用前面描述的 4 种方法创建不同形状的长方体。

不。在这种情况下，3 维并没有什么特别之处。事实上，将其中一个长度设置为等于 1 等效于将问题减少到 2 维。结果在超过 3 个维度中也有效。例如，1×3×12×24 是谐波。因此，对于某些正整数 A、B、C 和 D，由这些 4 维块形成的任何 4 维长方体都必须具有维度 A、B 和乘以 3、C 和乘以 12 以及 D 和乘以 24。