مربع جادویی(وفقی)

300000

مربع جادویی(وفقی)

تعدادکل باز‌ی‌ها: 84060
تعداد بردها: 61655

اهداف یادگیری

مقدمه

تعریف:

«مربع جادویی» یک مربع 3 در 3 است که در هر خانه آن یک عدد گذاشته می‌شود به طوری که مجموع 3 عددی که در یک سطر، ستون یا قطر مربع قرار دارند، همگی با هم برابر هستند.

یک مثال ساده :
در مربع زیر، به جای علامت سوال چه عددی باید بگذاریم تا اینکه یک مربع جادویی ساخته شود؟
```
     
	15  *  35
	50  *   ?
	25  *   *
			
```
حل این معما ساده است. مجموع هر خط باید برابر 25+50+15=90 باشد. با توجه به قطر فرعی مربع، نتیجه می‌گیریم که عدد مرکزی جدول برابر 35-25-90=30 خواهد بود و با توجه به سطر دوم جدول خواهیم داشت: ؟+30+50=90 و در نتیجه 10= ؟.

یک مربع جادویی با تعداد کمتری عدد معلوم، مانند نمونه زیر، را چگونه می‌توانید حل کنید؟
```
	?   *   *
	*   *  47
	*  63   *
			
```
راه‌حل استاندارد برای حل این مساله چیست؟ برای شروع کار، می‌توان آن را بر حسب متغیرها بیان کرد
```
	P   Q   R
	U   V  47
	X  63   Z
	
```
و تمام شرایط مورد نیاز را به صورت چند معادله مانند
```
	P+Q+R = U+V+47 = X+63+Z = P+U+X = Q+V+63 = R+47+Z = P+V+Z = R+V+X,
	
```
بیان کرد. سپس، باید این دستگاه معادلات را با حذف تمام مجهول‏ها، به غیر از P، حل کنیم تا این که به یک معادله یک مجهولی بر حسب P برسیم که در نهایت، با حل این معادله، مساله حل شده ‌است. در این مساله 7 معادله و 7 مجهول داریم.

در ادامه، می‌خواهیم مساله‏‌های مربع جادویی را بدون نیاز به حل دستگاه معادلات چندمجهولی حل کنیم.

روابط کلی و مثال‌ها

اجازه بدهید به دنبال روابط ساده بین عددهای مربع جادویی بگردیم.

چون یک مربع چند عمل تقارنی دارد (4 دوران به اضافه تقارن محوری و ترکیبات آنها)، چند کمیت‏ را تعریف می‌کنیم که تحت این عمل‌های تقارنی تغییر نمی‌کنند. برای مثال، اگر مربع جادویی
```
	P  Q  R
	U  M  W
	X  Y  Z
	
```
را در نظر بگیریم آن‌گاه این کمیت‏‌ها که تحت دوران و تقارن تغییر نمی‌کنند عبارتند از
```
	C = مجموع مقادیر گوشه‌‏ای		(= P+R+X+Z)
	E = مجموع مقادیر میانی ضلع‏‌ها		(= Q+U+W+Y)
	M = مقدار خانه مرکزی		(= M)
	S = مجموع هر یک از خط‏ها		(= P+Q+R = P+U+X = X+M+P = ...) .
			
```
بین این کمیت‏‌های جدید، چه روابطی می‌توان پیدا کرد؟
- با حذف متغیرهای P، Q، R، U، W، X، Y و Z از معادله‏‌های بالا، به سادگی می‌توان روابط زیر را بین مقادیر C، E، M و S پیدا کرد.
  
  لـم 1 :
```
	2C + E = 4S        (1)
	M + C + E = 3S     (2)
	C + 2M = 2S        (3)
	C − M = S          (4)
	3M = S             (5)
						
```
  اثبات:
  
  معادله‌‏های بالا به صورت زیر به دست می‌آیند:
  
  (1) با محاسبه مجموع عددهای 4 ضلع
  (2) با محاسبه مجموع تمام عددهای
  (3) با محاسبه مجموع عددهای 2 قطر
  (4) با کم کردن معادله (2) از معادله (1)
  (5) با کم کردن معادله (4) از معادله (3)
  
  ▢
  
  برای اطمینان بیشتر، می‌توان با جایگذاری مجموع‏‌های متناظر با مقادیر C، E و S، درستی روابط (1)، (2) و (3) را بررسی کرد.
  
  این روابط جدید چه کمکی به ما می‌کنند؟ برای مثال، رابطه (5) برای حل مثال‏‌های زیر کافی است.
  
  مثال:
```
	3  2  7
	*  ?  *
	*  *  *
						
```
  جواب
  
  چون هر 3 عدد سطر اول داده شده‌‏اند، می‌دانیم که 12=7+2+3=S. بنابر این طبق رابطه (5) خواهیم داشت: 4=3/12= ؟
  
  مثال:
```
	11  *  4
	*  6  *
	*  ?  *
						
```
  جواب
  
  فرض کنید Q عدد میانی سطر اول باشد. پس طبق رابطه (5) داریم: 3=18-4-11=Q → 6×3=4+Q+11
  
  بنابراین: 9=3-6-18= ؟
  
  مثال:
```
	*  *  5
	*  9  *
	?  *  *
						
```
  جواب
  
  بنابر رابطه (5) داریم: 13=5-9-27= ؟ → 27=9×3=5+9+؟
  
  مثال:
```
	*  *  5
	*  ?  *
	9  *  *
						
```
  جواب
  
  بنابر رابطه (5) داریم: 7=2/14= ؟ → ؟×2=14 → ؟×3=9+؟+5
  
  مثال: این مربع جادویی به کمک عددهای 7، 8، . . . و 15 ساخته شده است. مقدار P چقدر است؟
```
	P   *   *
	*   *   *
	*   *  14
						
```
  جواب
  
  معلوم بودن فقط یک عدد 14، بدون دانستن اینکه این مربع جادویی با عددهای طبیعی 7 تا 15 کامل شده‌‏است، برای حل مساله کافی نبود. اما به کمک این اطلاعات داریم:
  
  3S = (7+15) + (8+14) + (9+13) + (10+12) + 11 = 4×2 + 11 = 99 ⇒ S = 33 ⇒ M = 11 ⇒ 14 + 11 + P = 33 ⇒ P = 8.
  
  در مورد مساله زیر چه می‌توان گفت؟
```
	?   *   *
	*   *  47
	*  63   *
						
```
  برای حل این مساله به روابط بیشتری نیاز داریم.

یک نظریه عمومی

ساده‏‌ترین مربع جادویی که به ذهن شما می‌رسد چیست؟
استراتژی ما این است که بحث را با ساده‏ترین مربع جادویی ممکن شروع کنیم
```
	0 0 0
	0 0 0        (6)
	0 0 0
	
```
و سپس تغییر شکل‌های آن را بررسی کنیم، یعنی روش‏هایی که یک مربع جادویی را به یک مربع جادویی دیگر تبدیل می‌کنند. اولین تبدیل، اضافه کردن 1 به تمام عددهای مربع جادویی است:
```
	1 1 1
	1 1 1        (7)
	1 1 1
				
```
که باز هم یک مربع جادویی خواهد بود. چه تبدیل‌های دیگری وجود دارد؟
قبل از جستجو برای پیدا کردن تبدیل‌های بیشتر، ابتدا یک اصطلاح مفید را تعریف می‌کنیم.

تعریف :
یک مجموعه از اشیاء ریاضی را نسبت به یک عمل «بسته» می‌نامند هرگاه نتیجه آن عمل بر روی هر عضو مجموعه ، عضو همان مجموعه باشد. برای مثال :
- مجموعه عددهای صحیح نسبت به عمل جمع بسته است، زیرا مجموع دو عدد صحیح، یک عدد صحیح و متعلق به همان مجموعه است.
- مجموعه عددهای حقیقی نسبت به عمل تقسیم بسته نیست (اما نسبت به عمل تقسیم بر عددهای غیر صفر بسته است، یعنی تقسیم بر عددهایی که 0 نیستند).
قضیه1:
مجموعه مربع‏‌های جادویی نسبت به دو عمل جمع و ضرب عددی بسته هستند.( ضرب عددی یا اسکالر یعنی ضرب تمام عددهای یک مربع جادویی در یک عدد حقیقی داخواه.)

چگونه می‌‏توان این قضیه را ثابت کرد؟
اثبات :
1. چون عمل جمع، جابجایی است، اگر دو مربع جادویی
```
	a11 a12 a13
	a21 a22 a23        (8)
	a31 a32 a33
	
```
  و
```
	b11 b12 b13
	b21 b22 b23        (9)
	b31 b32 b33
	
```
  با هم جمع شوند، داریم
```
	a11+b11  a12+b12  a13+b13
	a21+b21  a22+b22  a23+b23        (10)
	a31+b31  a32+b32  a33+b33
	
```
  که یک مربع جادویی است، چون برای مثال، دو ستون اول آن دارای مجموع‌‏های برابر هستند.
```
	a11+b11 + a21+b21 + a31+b31
	= a11+a21+a31 + b11+b21+b31      (خاصیت جابجایی جمع)
	= a12+a22+a32 + b12+b22+b32      (چون(8) و (9) مربع جادویی هستند)
	= a12+b12 + a22+b22 + a32+b32    (می‌خواهیم نشان دهیم که :)
							
```
  به طور مشابه، تساوی حاصل جمع بقیه خط‌های مربع جادویی (10) را هم می‌توان نشان داد.
2. با توجه به قانون پخشی، اگر
```
	a11 a12 a13
	a21 a22 a23
	a31 a32 a33
	
```
  یک مربع جادویی باشد، آنگاه
```
	b×a11  b×a12  b×a13
	b×a21  b×a22  b×a23
	b×a31  b×a32  b×a33
	
```
  نیز یک مربع جادویی است. برای مثال، اگر
```
	a11 +   a12 +   a13  =    a21 +   a22 +   a23  آنگاه 
	b×(a11 +   a12 +   a13) = b×(a21 +   a22 +   a23)  و 
	b×a11 + b×a12 + b×a13  =  b×a21 + b×a22 + b×a23 .
							
```
  ▢
نتیجه 1-1:
به کمک این قضیه می‌توان نتیجه گرفت که اگر عدد مرکزی یک مربع جادویی را از تمام عددهای آن کم کنیم (یعنی مربع جادویی (7) را M مرتبه از (8) کم کنیم)، یک مربع جادویی ساخته می‌شود که عدد مرکزی آن برابر 0 است.

اکنون بیایید به سراغ مساله خودمان، یعنی پیدا کردن تبدیل‏های دیگر برویم. در مربع جادویی بعد، عدد مرکزی را برابر 0 در نظر می‌گیریم که دیگر نیازی به تبدیل (7)×M-(8) نباشد.
علاوه بر این می‌توانیم عدد خانه بالا-چپ را برابر 1 در نظر بگیریم. ( کوچکترین عدد مناسب):
```
	1  *  *
	*  0  *
	*  *  *
			
```
چون 0=M، پس باید داشته باشیم 0=S، یعنی
```
	1  *  *
	*  0  *
	*  * −1
			
```
عدد خانه بالا-راست هم می‌تواند 0 باشد و در این صورت بقیه خانه‏‌ها مشخص خواهند شد:
```
	+1 −1  0
	−1  0 +1        (11)
	0 +1 −1
			
```
این هم یک مربع جادویی است.

به کمک تبدیل تقارن می‌توان یک تغییر شکل دیگر از یک مربع جادویی ایجاد کرد. یعنی اینکه هر دوران و یا تقارن یک مربع جادویی هم یک مربع جادویی خواهد بود. در مربع جادویی (11)، تقارن نسبت به قطر اصلی، مربع جادویی جدیدی ایجاد نمی‌کند. اما دوران آن، یک مربع جادویی جدید می‌سازد:
```
	0 −1 +1
	+1  0 −1        (12)
	−1 +1  0
			
```
اکنون از قضیه 1 سه مرتبه استفاده می‌کنیم.
اگر یک مربع جادویی داشته باشیم که نامگذاری عددهای آن مشابه مربع جادویی (8) باشد. ابتدا مربع جادویی (7)×22a را از آن کم می‌کنیم. یک مربع جادویی ایجاد می‌شود که عدد مرکزی آن برابر 0 است یعنی اگر نامگذاری عددهای مربع جادویی جدید را مشابه (8) انجام دهیم داریم 0=22a. سپس مربع جادویی جدید، (11)×11a را از خودش کم می‌کنیم و در نتیجه عدد بالا-چپ برابر صفر خواهد شد. پس در این مربع جادویی جدید داریم 0=22a=11a . در مرحله سوم، مربع جادویی (12)×13a را از مربع جادویی جدید کم می‌کنیم و با این کار عدد بالا-راست هم به 0 تبدیل می‌شود. در این مرحله عددهای مرکزی و بالا-چپ 0 باقی می‌مانند چون عددهای متناظر آنها در هر دو مربع جادویی برابر 0 هستند. بنابر این می‌بینیم که با کم کردن مضرب مناسبی از مربع‌‏های جادویی (7)، (11) و (12) از یک مربع جادویی، می‌توانیم یک مربع جادویی به شکل
```
	0 * 0
	* 0 *
	* * *
	
```
بسازیم که مقدار S (مجموع جادویی) برابر 0 است (چون عدد مرکزی آن برابر 0 است). اکنون به سادگی می‌توان دید که این مربع جادویی به صورت زیر است:
```
	0 0 0
	0 0 0
	0 0 0
			
```
اما نتیجه مهمی که به دست می‌آید این است که هر مربع جادویی را می‌توان به صورت حاصل جمع مضرب مناسبی از مربع‏‌های جادویی (7)، (11) و (12) نوشت.

قضیه 2:
هر مربع جادویی را می‌توان به شکل
```
	M+A     M−A−B   M  +B
	M−A+B     M     M+A−B        (13)
	M  −B   M+A+B   M−A  .
			
```
اثبات:

اثبات: همان‌طور که در بالا دیدیم، هر مربع جادویی را می‌توان با کم کردن مضارب مناسبی از مربع‌های جادویی (7)، (11) و (12) به یک مربع جادویی تبدیل کرد که تمام عددهای آن 0 هستند.

▢

این نتیجه را می‌توان به زبان ریاضی و به صورت زیر بیان کرد:
مربع‌‏های جادویی (7)، (11) و (12) یک «مجموعه مولد کامل» برای مجموعه تمام مربع‏‌های جادویی هستند.
اکنون که ما با ماهیت تمام مربع‏‌های جادویی آشنا شدیم، آیا این اطلاعات برای حل کردن مسایل مربوط به مربع‏‌های جادویی کافی هستند؟ طبق رابطه (5) داریم S=M3 که یک رابطه ساده و مفید بین یکی از عددهای مربع جادویی و مجموع جادویی است. در اینجا دو رابطه دیگر هم پیدا می‌کنیم:

لـم 2:
هر عدد گوشه‏‌ای برابر است با میانگین دو عددی که همسایه عدد گوشه‌‏ای دیگر روی همان قطر هستند.

اثبات:

اثبات: برای مثال، در مربع جادویی (13) و برای عدد بالا-چپ داریم 2/((B-A+M)+( B+A+M))=A+M و بطور مشابه، برای 3 گوشه دیگر هم می‌توان تساوی را نشان داد.

▢

همین قاعده ساده به تنهایی می‌تواند مساله قبلی ما را حل کند
```
	?  *  *
	*  * 47
	* 63  *
	
```
به کمک لم 2 داریم 55=2/(47+63)= ؟. یک رابطه دیگر:

لم3:
برای هر خط که از خانه مرکزی می‌گذرد، عدد مرکزی M برابر میانگین دو عدد دیگر است.

اثبات:

اثبات: یک نتیجه ساده از مربع جادویی (13) است.

▢

نتیجه 2-1:
اگر فقط یک عدد از یک مربع جادویی داده شده باشد، نمی‌توان عددهای دیگر آن را پیدا کرد.

نتیجه 2-2 :
اگر از یک مربع جادویی، 2 عدد آن داده شده باشد و بتوان از لم‏‌های 2 یا 3 استفاده کرد، آنگاه فقط یک عدد دیگر از مربع جادویی به صورت منحصر به فرد مشخص می‌شود.

نتیجه 2-3 :
اگر 3 عدد از یک مربع جادویی، که عددهای مرتبط با لم‏‌های 2 یا 3 نیستند، داده شده باشد آن‌گاه این 3 عدد، مربع جادویی را کامل می‌کنند.

نتیجه 2-4 :
با محاسبه مقادیر M، A و B به کمک عددهای داده شده و قرار دادن آنها در (13)، تمام مساله‌‏های مربع جادویی به راحتی حل می‌شوند.

آیا مربع‌‏های جادویی سخت‌ترین مرحله، واقعا سخت هستند؟

وقتی که به مربع جادویی (13) نگاه می‌کنیم، در آن سه پارامتر مستقل A، B و M دیده می‌شود. در مساله‏‌هایی که فقط دو عدد از مربع جادویی داده شده باشد (در مرحله سخت ، هرگز عدد مرکزی M داده نمی‌شود)، M را می‌توان هر عدد دلخواهی در نظر گرفت و A و B را به کمک آن دو عدد پیدا کرد.

کدام مقدار عدد مرکزی M، ساده‏‌ترین حالت برای کامل کردن مربع جادویی را ایجاد می‌کند؟
- با انتخاب 0=M به عنوان عدد مرکزی، تمام خط‏هایی که از خانه مرکزی می‌گذرند و یک عدد دیگر آنها معلوم است، به سادگی و با قرار دادن قرینه آن عدد به عنوان عدد سوم، به مجموع 0 برای آن خط می‌رسیم. برای مشخص کردن عددهای باقیمانده، کافی است که جمع یا تفریق دو عددی که بر روی یک خط قرار دارند را انجام بدهیم.
  
  مثال:
```
	*   80    *
	*    *   56
	*    *    *
						
```
  جواب:
  ابتدا برای به دست آوردن عدد پایین-چپ از لم 2 استفاده می‌کنیم: 68=2/136=2/(56+80)
```
	*  80   *
	*   *  56
	68   *   *
	
```
  سپس، بعد از قرار دادن 0 در خانه مرکزی و قرار دادن هر عدد داده شده در خانه قرینه آن نسبت به خانه مرکزی و تغییر علامت آن خواهیم داشت:
```
	*   80  −68
	−56    0   56
	68  −80    *
	
```
  در نهایت، چون مجموع جادویی برابر 0 است، عدد بالا-چپ برابر است با 12-=80-68. بنابر این، ساده‌ترین جواب برای این مثال عبارت است از:
```
	−12   80  −68
	−56    0   56
	68  −80   12
							
```
سرعت عمل – صرفه جویی در زمان
- اگر بر روی یک خط (که از خانه مرکزی نمی‌گذرد) هر 3 عدد معلوم باشند و یک عدد غیرمرکزی دیگر داده شده باشد، آن‌گاه عدد سوم واقع بر خطی که از این عدد و یکی از 3 عدد قبلی بگذرد به سرعت و با محاسبات کم پیدا می‌شود، بخصوص وقتی که عددهای بزرگ باشند.
  
  مثال:
```
	P  *  *
	U  ?  W
	X  *  *
	
```
  در این مساله، P، U، X و W عددهای معلوم هستند و می‌خواهیم ؟ را پیدا کنیم.
  می‌دانیم که W+؟+U=X+U+P یعنی W+؟=X+P. بنابر این داریم: W-X+P= ؟
  اکنون می‌توان بررسی کرد که کدام یک از عددهای X یا P به W نزدیکتر هستند، اگر P نزدیکتر باشد، ؟ را به صورت (W-P)+X= ؟ محاسبه می‌کنیم. این روش بسیار سریع‏تر از محاسبات X+U+P=S و W-U-S= ؟ است، بخصوص اگر W-P عدد کوچکی باشد. شما می‌توانید این حالت را در مرحله ساده muntjac تمرین کنید.

خلاصه

در اینجا در مورد حل یک مساله دشوار ریاضی (حالت کلی مربع جادویی) که دارای تقارن (دوران و تقارن محوری) است و جواب خاص (مربع جادویی(11)) که تمام این تقارن‏ها را ندارد ((11) تقارن دورانی ندارد) به طوری که قرینه آن یک جواب خاص جدید خواهد بود. ( (11) دوران (12))
علاوه بر این، ما دیدیم که در مساله‏‌های مربوط به اشیاء ریاضی که خاصیت خطی دارند چگونه می‌توان جواب عمومی را بر حسب مضرب‏های مناسبی از جواب‏های خاص بیان کرد. (در اینجا، هر مربع جادویی را می‌توان به صورت مجموع مضرب‏های مناسبی از مربع‌‏های جادویی (7)، (11) و (12) نوشت).

اکنون شما می‌توانید به سرعت در بازی مربع جادویی برنده شوید . . . جوانمردانه و منصفانه!