Segi Empat Ajaib

300000

Segi Empat Ajaib

Jumlah bilangan permainan: 84060
Jumlah kemenangan: 61655

Objektif Pembelajaran

Pengenalan

Definisi:

'Petak Ajaib' ialah kuasa dua 3×3 nombor di mana jumlah semua nombor berturut-turut, dalam lajur dan dalam kedua-dua pepenjuru semuanya sama.

Soalan biasa:
Apakah nombor yang perlu menggantikan tanda soal untuk melengkapkan rajah sebagai Petak Ajaib?
```
	15  *  35
	50  *   ?
	25  *   *
			
```
Ini mudah diselesaikan. Jumlah dalam setiap baris ialah 15+50+25=90. Daripada pepenjuru, ia mengikuti bahawa nilai tengah ialah 90−25−35=30 dan dari baris^ke-2 : 50+30+?=90 ⇒ ? = 10.

Bagaimanakah anda menyelesaikan Petak Ajaib dengan nombor yang lebih sedikit, seperti di bawah?
```
	?   *   *
	*   *  47
	*  63   *
			
```
Apakah cara standard untuk menyelesaikan masalah ini? Seseorang boleh memperkenalkan pembolehubah
```
	P   Q   R
	U   V  47
	X  63   Z
	
```
dan merumuskan semua syarat sebagai persamaan seperti
```
	P+Q+R = U+V+47 = X+63+Z = P+U+X = Q+V+63 = R+47+Z = P+V+Z = R+V+X,
	
```
dan menyelesaikan sistem persamaan ini dengan menghapuskan semua yang tidak diketahui kecuali P untuk mendapatkan satu persamaan untuk P dan menyelesaikannya. Ini adalah 7 syarat untuk 7 yang tidak diketahui.

Dalam perkara berikut kita ingin menyelesaikan masalah Petak Ajaib tanpa perlu menyelesaikan sistem persamaan sedemikian.

Perhubungan Umum dan Contoh

Mari kita cari hubungan mudah antara nombor dalam Petak Ajaib.

Oleh kerana segi empat sama mempunyai banyak operasi simetri (4 putaran + pencerminan dan gabungannya), mari kita tentukan kuantiti yang tidak berubah di bawah operasi simetri sedemikian. Sebagai contoh, jika segi empat sama kita ialah
```
	P  Q  R
	U  M  W
	X  Y  Z
	
```
maka kuantiti yang tidak berubah di bawah putaran dan pencerminan ialah
```
	C = Jumlah nilai sudut		(= P+R+X+Z)
	E = Jumlah nilai tepi tengah		(= Q+U+W+Y)
	M = nilai pertengahan		(= M)
	S = jumlah dalam setiap baris		(= P+Q+R = P+U+X = X+M+P = ...) .
			
```
Apakah hubungan yang boleh diperolehi untuk kuantiti ini?
- Tidak sukar untuk mencari hubungan berikut antara C, E, M, S dengan menghapuskan pembolehubah P, Q, R, U, W, X, Y, Z daripada persamaan di atas.
  
  Lemma 1:
```
	2C + E = 4S        (1)
	M + C + E = 3S     (2)
	C + 2M = 2S        (3)
	C − M = S          (4)
	3M = S             (5)
						
```
  Bukti.
  
  Hubungan di atas terhasil seperti berikut:
  
  (1) daripada menjumlahkan 4 tepi
  (2) daripada menjumlahkan semua nombor
  (3) daripada menjumlahkan 2 pepenjuru
  (4) daripada (1) − (2)
  (5) daripada (3) − (4)
  
  ▢
  
  Sahkan (1), (2) dan (3) dengan menggantikan C, E dan S dengan jumlahnya.
  
  Bagaimana mereka boleh membantu? Sebagai contoh, hubungan (5) sudah cukup untuk menyelesaikan contoh berikut.
  
  Sebagai contoh:
```
	3  2  7
	*  ?  *
	*  *  *
						
```
  Penyelesaian
  
  Oleh kerana kesemua 3 nombor dalam baris^ke-1 diberikan, kita tahu bahawa S = 3+2+7 = 12. Oleh itu oleh (5), ? = 12/3 = 4.
  
  Sebagai contoh:
```
	11  *  4
	*   6  *
	*   ?  *
						
```
  Penyelesaian
  
  Biarkan Q = nilai tengah baris ke-1. Kemudian dengan (5), 11+Q+4 = 3×6 ⇒ Q = 18−4−11 = 3.
  
  Oleh itu, ? = 18−6−3 = 9.
  
  Sebagai contoh:
```
	*  *  5
	*  9  *
	?  *  *
						
```
  Penyelesaian
  
  Dengan (5), ?+9+5 = 3×9 = 27 ⇒ ? = 27−9−5 = 13.
  
  Sebagai contoh:
```
	*  *  5
	*  ?  *
	9  *  *
						
```
  Penyelesaian
  
  Dengan (5), 5+?+9 = 3×? ⇒ 14 = 2×? ⇒? = 14/2 = 7.
  
  Sebagai contoh: Teka-teki berikut mengandungi nombor 7,...,15. Berapakah nilai P?
```
	P   *   *
	*   *   *
	*   *  14
						
```
  Penyelesaian
  
  Tanpa mengetahui bahawa Petak Ajaib ini dipenuhi dengan nombor bulat dari 7 hingga 15 termasuk, satu nombor yang diberikan tidak akan mencukupi. Tetapi dengan maklumat ini dan oleh (5),
  
  3S = (7+15) + (8+14) + (9+13) + (10+12) + 11 = 4×2 + 11 = 99 ⇒ S = 33 ⇒ M = 11 ⇒ 14 + 11 + P = 33 ⇒ P = 8.
  
  Bagaimana dengan masalah di bawah?
```
	?   *   *
	*   *  47
	*  63   *
						
```
  Di sini kita memerlukan lebih banyak hubungan.

Teori Umum

Apakah Petak Ajaib paling mudah yang boleh anda fikirkan?
Strategi kami ialah bermula dengan Petak Ajaib
```
	0 0 0
	0 0 0        (6)
	0 0 0
	
```
yang paling mudah dan mencari 'ubah bentuk', iaitu kaedah untuk menukar Petak Ajaib menjadi Petak Ajaib yang lain. Ubah bentuk pertama sedemikian ialah menambah nilai yang sama 1 pada semua medan:
```
	1 1 1
	1 1 1        (7)
	1 1 1
				
```
Yang juga merupakan Petak Ajaib. Apakah ubah bentuk umum lain yang ada?
Sebelum mencari lebih banyak kemungkinan ubah bentuk, kami mula-mula menggunakan definisi yang berguna.

Definisi:
Satu set objek matematik ditutup di bawah operasi tertentu jika melaksanakan operasi itu pada mana-mana objek dalam set menghasilkan objek lain daripada set. Sebagai contoh:
- Set integer ditutup di bawah penambahan, iaitu menambah mana-mana dua integer bersama-sama menghasilkan integer.
- Set nombor nyata tidak ditutup di bawah pembahagian (tetapi ditutup di bawah pembahagian bukan sifar , iaitu pembahagian dengan nombor yang bukan 0).
Teorem 1:
Set semua Petak Ajaib ditutup di bawah penambahan dan pendaraban skalar (pendaraban skalar ditakrifkan sebagai mendarabkan setiap entri dalam petak ajaib dengan nombor nyata).

Ingin cuba membuktikan teorem ini?
Bukti.
1. Kerana penambahan adalah komutatif: Jika 2 Petak Ajaib
```
	a11 a12 a13
	a21 a22 a23        (8)
	a31 a32 a33
	
```
  dan
```
	b11 b12 b13
	b21 b22 b23        (9)
	b31 b32 b33
	
```
  ditambah bersama:
```
	a11+b11  a12+b12  a13+b13
	a21+b21  a22+b22  a23+b23        (10)
	a31+b31  a32+b32  a33+b33
	
```
  maka ini juga merupakan Petak Ajaib kerana, sebagai contoh, dua baris pertama (10) mempunyai jumlah yang sama.
```
	a11+b11 + a21+b21 + a31+b31
	= a11+a21+a31 + b11+b21+b31      (komutativiti penambahan)
	= a12+a22+a32 + b12+b22+b32      (kerana (8) dan (9) ialah Petak Ajaib)
	= a12+b12 + a22+b22 + a32+b32    (yang kami mahu tunjukkan)
							
```
  Begitu juga, seseorang boleh menunjukkan persamaan jumlah baris lain (10).
2. Kerana undang-undang pengagihan, jika (8):
```
	a11 a12 a13
	a21 a22 a23
	a31 a32 a33
	
```
  ialah Petak Ajaib maka
```
	b×a11  b×a12  b×a13
	b×a21  b×a22  b×a23
	b×a31  b×a32  b×a33
	
```
  ialah Petak Ajaib juga kerana, sebagai contoh, jika
```
	a11 +   a12 +   a13  =    a21 +   a22 +   a23  Kemudian	b×(a11 +   a12 +   a13) = b×(a21 +   a22 +   a23)  Dan	b×a11 + b×a12 + b×a13  =  b×a21 + b×a22 + b×a23 .
							
```
  ▢
Akibat 1.1:
Menggunakan teorem ini bermakna bahawa menolak nilai tengah daripada semua medan Petak Ajaib (iaitu menolak M kali Petak Ajaib (7)) memberikan Petak Ajaib dengan nilai pertengahan 0.

Mari kita kembali kepada masalah kita mencari ubah bentuk lain. Yang seterusnya hendaklah mengekalkan nilai pusat sebagai 0 agar tidak mengganggu ubah bentuk −M×(7).
Mari kita tukar kiri atas kepada 1 (nilai terkecil yang mungkin):
```
	1  *  *
	*  0  *
	*  *  *
			
```
Kerana M=0, maka S juga mestilah sifar, iaitu
```
	1  *  *
	*  0  *
	*  * −1
			
```
Penjuru kanan sebelah atas boleh kekal 0 tetapi kemudian semua perubahan lain diperbaiki:
```
	+1  −1   0
	−1   0  +1        (11)
	 0  +1  −1
			
```
Ini adalah Petak Ajaib itu sendiri.

Kami mendapat satu lagi ubah bentuk Petak Ajaib melalui transformasi simetri. Ini bermakna bahawa sebarang pencerminan atau putaran Petak Ajaib juga memberikan Petak Ajaib. Mencerminkan pada pepenjuru utama tidak memberikan Petak Ajaib baru, tetapi putaran memberikan Petak Ajaib baru:
```
	 0  −1  +1
	+1   0  −1        (12)
	−1  +1   0
			
```
Kami kini menggunakan teorem 1 tiga kali.
Memandangkan Magic Square, mula-mula kita tolak petak a22×(7) untuk menjadikan nilai tengah sifar. Kami kemudian tolak daripada petak baharu petak a11×(11) supaya sudut kiri atas menjadi sifar. Bahagian tengah kekal sifar kerana a11×(11) mempunyai nilai pertengahan 0. Kemudian segi empat sama a13×(12) ditolak supaya sudut kanan atas menjadi sifar. Dalam melakukan itu, nilai tengah dan sudut kiri atas kekal sifar kerana medan ini adalah sifar dalam a13×(12). Jadi, ini bermakna seseorang boleh menolak daripada mana-mana Petak Ajaib yang sesuai gansaan segi empat sama (7), (11), dan (12) untuk mendapatkan Petak Ajaib dalam bentuk
```
	0 * 0
	* 0 *
	* * *
	
```
dengan nilai S sifar (kerana nilai tengah adalah sifar). Ini dengan mudah menunjukkan bahawa keseluruhan Petak Ajaib adalah
```
	0 0 0
	0 0 0
	0 0 0
			
```
Tetapi, ini bermakna setiap Petak Ajaib boleh ditulis sebagai jumlah gandaan segi empat sama M×(7) + A×(11) + B×(12).

Teorem 2:
Setiap Petak Ajaib boleh ditulis dalam bentuk
```
	M+A     M−A−B   M  +B
	M−A+B     M     M+A−B        (13)
	M  −B   M+A+B   M−A  .
			
```
Bukti

Seperti yang ditunjukkan di atas, setiap Petak Ajaib boleh dikurangkan kepada segi empat sama yang terdiri daripada sifar sahaja dengan menolak gandaan (7), (11) dan (12).

▢

Dalam bahasa yang lebih matematik seseorang akan mengatakan bahawa:
Petak Ajaib (7), (11) dan (12) ialah satu set lengkap penjana untuk semua Petak Ajaib.
Sekarang kita mengetahui intipati semua Petak Ajaib, adakah ini semua berguna dalam menyelesaikan masalah Petak Ajaib? Dengan peraturan (5): 3M = S kami mendapati hubungan yang mudah dan berguna antara satu komponen persegi dan S. Berikut ialah dua lagi.

Lemma 2:
Setiap nilai sudut ialah purata 2 nilai bersebelahan dengan sudut bertentangan menyerong.

Bukti

Sebagai contoh, di sudut kiri atas dalam (13), M+A = ((M+A+B)+(M+A−B))/2, dan begitu juga untuk 3 sudut yang lain.

▢

Peraturan mudah ini serta-merta menyelesaikan masalah terdahulu
```
	?  *  *
	*  * 47
	* 63  *
	
```
dengan mengurangkannya kepada ? = (63+47)/2 = 55. Berikut adalah hubungan lain:

Lemma 3:
Bagi setiap garisan melalui bahagian tengah petak, nilai tengah M ialah purata dua nilai lain dalam garisan.

Bukti

Melalui pemeriksaan (13).

▢

Akibat 2.1:
Jika tiada apa-apa selain satu nombor diberikan, maka tiada nombor lain boleh ditentukan.

Akibat 2.2:
Jika 2 nombor diberikan dan lemma 2 atau 3 terpakai, maka nombor^ke-3 ditetapkan.

Akibat 2.3:
Jika 3 nombor diberikan yang tidak berkaitan melalui lema 2 atau 3 maka 3 nombor ini menentukan keseluruhan Petak Ajaib.

Akibat 2.4:
Semua soalan Petak Ajaib mudah diselesaikan dengan mengira M, A, dan B daripada nombor yang diberikan, dan memasangkan nilai untuk M, A, dan B ke dalam (13) untuk mencari semua nombor lain.

Adakah tahap kesukaran yang paling sukar benar-benar sukar?

Apabila kita melihat Petak Ajaib (13) kita melihat bahawa terdapat 3 parameter bebas A, B, dan M. Jika hanya 2 diberikan (dan untuk tahap yang paling sukar nilai pusat = M tidak pernah diberikan) maka M boleh dipilih secara bebas dan 2 nilai lain yang diberikan akan menentukan A dan B.

Nilai M manakah yang menjadikan melengkapkan Petak Ajaib paling mudah?
- Dengan memilih M=0 sebagai nilai pusat, semua garisan melalui pusat boleh diselesaikan hanya dengan menukar tanda nombor bertentangan untuk mendapatkan jumlah 0. Untuk nombor yang tinggal, seseorang hanya perlu melakukan dua perbezaan/jumlah dua nombor.
  
  Sebagai contoh:
```
	*   80    *
	*    *   56
	*    *    *
						
```
  Penyelesaian
  Mula-mula kita boleh menggunakan lemma 2 untuk mendapatkan nilai di sudut kiri bawah purata (80+56)/2 = 136/2 = 68:
```
	 *   80    *
	 *    *   56
	68    *    *
	
```
  Kemudian, selepas menambah 0 di tengah dan mencerminkan nombor di tengah dengan menukar tanda:
```
	  *    80   −68
	−56     0    56
	 68   −80     *
	
```
  Akhirnya kerana semua jumlah adalah 0, sudut kiri atas mestilah 68−80 = −12. Oleh itu, penyelesaian paling mudah bagi contoh ini ialah:
```
	−12    80   −68
	−56     0    56
	 68   −80    12
							
```
Menjimatkan masa
- Jika kita mengetahui semua nombor dalam satu baris dan 2 nombor dalam baris yang melintasinya, maka kita boleh mempercepatkan pengiraan sedikit, terutamanya apabila nombor lebih besar.
  
  Contoh:
```
	P  *  *
	U  ?  W
	X  *  *
	
```
  di mana P, U, X, W diketahui dan kita mahu mencari ?.
  Kita tahu bahawa P+U+X = U+?+W dan dengan itu P+X = ?+W. Oleh itu, ? = P+X−W.
  Apa yang boleh dilakukan ialah menyemak yang mana antara P, X yang paling hampir dengan W, katakan, P dan kemudian mengira? = X+(P−W). Ini jauh lebih cepat untuk dikira daripada S = P+U+X, ? = S−U−W, terutamanya jika P−W kecil. Anda boleh mengamalkan ini di peringkat Muntjac.

Ringkasan

Kami mempelajari pendekatan umum untuk menyelesaikan masalah matematik yang sukar (di sini mencari Petak Ajaib yang paling umum) yang mempunyai simetri (di sini putaran dan simetri cermin) dan penyelesaian khas (di sini Petak Ajaib (11)) yang tidak mempunyai semua simetri ini ((11) tidak simetri putaran) supaya apabila seseorang menggunakan operasi simetri, penyelesaian khas baru dijana (di sini (11) → putaran → (12)).
Tambahan pula, kita melihat bagaimana dalam masalah untuk objek linear penyelesaian umum boleh diperolehi dengan menambah gandaan set lengkap penyelesaian khas (di sini setiap Petak Ajaib boleh ditulis sebagai jumlah gandaan (7), (11) dan (12)).

Kini anda boleh memenangi permainan Petak Ajaib dengan cepat... adil dan adil!

Ikuti atau langgan untuk kemas kini: