Sehirli Kvadrat

300000

84060
61655

Təlim məqsədləri

Giriş

Tərif

"Sehirli kvadat" 3×3 ölçülü elə kvadratdır ki, onun hər bir sütun, sətr və diaqonallarındakı ədədlərin cəmi bərabərdir.

Nümunə sual:
Diaqramı bir sehrli kvadrat kimi tamamlamaq üçün sual işarəsini hansı ədəd əvəz etməlidir?
```
     
	15  *  35
	50  *   ?
	25  *   *
			
```
Bunu həll etmək asandır. Birinci sütundakı cəm 15+50+25=90-dır. Diaqonaldan ortadakı ədəd, 90-25-35=30 və ikinci sıradan 50+30+?=90 → ? = 10.

Aşağıdakı kimi daha az ədədi verilmiş bir sehrli kvadratı necə həll edərdiniz?
```
	?   *   *
	*   *  47
	*  63   *
			
```
Bu problemi həll etməyin standart yolu nədir? Burada dəyişənlərdən istifadə etmək olar
```
	P   Q   R
	U   V  47
	X  63   Z
	
```
şərtə əsasən tənliklər çıxarmaq olar
```
	P+Q+R = U+V+47 = X+63+Z = P+U+X = Q+V+63 = R+47+Z = P+V+Z = R+V+X,
	
```
və P üçün bir tənlik əldə etmək üçün P-dən başqa bütün bilinməyənləri aradan qaldıraraq bu tənliklər sistemini həll edin. Bunlar 7 dəyişən üçün 7 tənlikdir.

Aşağıdakı kimi bu cür tənlik sistemlərini həll etmədən Sehirli kvadrat problemlərini həll etmək istəyirik.

Ümumi münasibətlər və nümunələr

Sehrli Meydandakı rəqəmlər arasındakı sadə münasibətləri axtaraq.

Bir kvadratın çox sayda simmetriya əməliyyatı olduğundan (4 fırlanma + güzgü və onların birləşmələri), belə simmetriya əməliyyatları altında dəyişməyən kəmiyyətləri təyin edək. Məsələn, kvadratımız belədirsə
```
	P  Q  R
	U  M  W
	X  Y  Z
	
```
o zaman fırlanma və simmetriya altında dəyişməyən bu kəmiyyətlərdir
```
	C = küncdəki ədədlərin cəmi		(= P+R+X+Z)
	E = orta kənardakı ədədlərin cəmi		(= Q+U+W+Y)
	M = ortadakı ədəd		(= M)
	S = hər xətdəki cəm		(= P+Q+R = P+U+X = X+M+P = ...) .
			
```
Bu kəmiyyətlər üçün hansı əlaqələr əldə edilə bilər?
- Yuxarıdakı tənliklərdən P, Q, R, U, W, X, Y, Z dəyişənlərini çıxarıb C, E, M, S arasında aşağıdakı əlaqələri tapmaq çətin deyil.
  
  Lemma 1:
```
	2C + E = 4S        (1)
	M + C + E = 3S     (2)
	C + 2M = 2S        (3)
	C − M = S          (4)
	3M = S             (5)
						
```
  İsbat.
  
  Yuxarıdakı münasibətlər aşağıdakı kimi nəticələnir:
  
  (1) 4 kənarı cəmləməkdən
  (2) bütün ədədləri cəmləməkdən
  (3) 2 diaqonalın cəmlənməsindən
  (4) (1) - (2) -dən
  (5) (3) - (4) -dən
  
  ▢
  
  C, E və S-ni cəmləri ilə əvəz edərək (1), (2) və (3) -i doğrulayın.
  
  Necə kömək edə bilərlər? Məsələn, (5) münasibət aşağıdakı nümunələri həll etmək üçün kifayətdir.
  
  Misal:
```
	3  2  7
	*  ?  *
	*  *  *
						
```
  Həll
  
  1-ci sıradakı 3 rəqəmin hamısı verildiyi üçün S = 3 + 2 + 7 = 12 olduğunu bilirik.Buna görə də,(5)- ə görə, ? = 12/3 = 4.
  
  Misal:
```
	11  *  4
	*  6  *
	*  ?  *
						
```
  Həll
  
  Q = 1-ci sətrin ortadakı ədədi olsun. Beləliklə, (5)- ə görə, 11+Q+4 = 3×6 → Q = 18-4-11 = 3.
  
  Nəticə olaraq, ? = 18-6-3 = 9.
  
  Misal:
```
	*  *  5
	*  9  *
	?  *  *
						
```
  Həll
  
  (5)- ə görə, ?+9+5 = 3×9 = 27 → ? = 27-9-5 = 13.
  
  Misal:
```
	*  *  5
	*  ?  *
	9  *  *
						
```
  Həll
  
  (5)- ə görə, 5+?+9 = 3×? → 14 = 2×? → ? = 14/2 = 7.
  
  Misal: Aşağıdakı kvadratda 7, ..., 15 ədədləri istifadə edilib. P-nin qiyməti nədir?
```
	P   *   *
	*   *   *
	*   *  14
						
```
  Həll
  
  Bu Sihirli Kvadratda 7 ilə 15 daxil olan bütün ədədlərlə doldurulduğunu bilmədən, verilən bir ədəd kifayət etməzdi. Ancaq bu məlumatlarla və (5) -dən istifadə edərək,
  
  3S = (7+15) + (8+14) + (9+13) + (10+12) + 11 = 4×2 + 11 = 99 ⇒ S = 33 ⇒ M = 11 ⇒ 14 + 11 + P = 33 ⇒ P = 8.
  
  Aşağıdakı problem necə həll olunar?
```
	?   *   *
	*   *  47
	*  63   *
						
```
  Burada daha çox əlaqəyə ehtiyacımız var.

Ümumi bir nəzəriyyə

Düşünə biləcəyiniz ən sadə sehrli kvadratlar hansılardır?
Strategiyamız mümkün olan ən sadə Sehirli kvadrat ilə başlamaq olacaq
```
	0 0 0
	0 0 0        (6)
	0 0 0
	
```
və 'deformasiyaları' tapın, yəni Sehirli kvadratı başqa Sehirli kvadratla dəyişdirmək üsulları. İlk belə deformasiya bütün sahələrə eyni dəyər 1 əlavə etməkdir:
```
	1 1 1
	1 1 1        (7)
	1 1 1
				
```
Hansı ki, bu da Sehirlı kvadratdır. Başqa hansı ümumiləşdirici deformasiyalar var?
Əvvəlcə 'xətti' bir riyazi obyektin tərifini veririk.

Tərif:
Riyazi bir obyektə xətti deyilir əgər
- bu cür iki cismin cəmi başqa birinə bərabər olur və
- belə bir obyektlərin hasili başqa bir belə obyekt verir.
Teorem 1:
Sehrli kvadratlar xətti riyazi obyektlərdir.

Bu teoremi sübut etməyə çalışmaq istəyirsiniz?
İsbat
1. Toplamada yerdəyişmə olduğu üçün: 2 Sehirli kvadrat varsas
```
	a11 a12 a13
	a21 a22 a23        (8)
	a31 a32 a33
	
```
  və
```
	b11 b12 b13
	b21 b22 b23        (9)
	b31 b32 b33
	
```
  toplansa
```
	a11+b11  a12+b12  a13+b13
	a21+b21  a22+b22  a23+b23        (10)
	a31+b31  a32+b32  a33+b33
	
```
  aıınan kvadrat da sehirli kvadrat olacaq, çünki, (10)-un ilk iki sırasındakı cəm bərabərdir.
```
	a11+b11 + a21+b21 + a31+b31
	= a11+a21+a31 + b11+b21+b31      (yerdəyişmə)
	= a12+a22+a32 + b12+b22+b32      ((8) və (9)-dakı sehirli kvadratlara görə)
	= a12+b12 + a22+b22 + a32+b32    (göstərmək istədiyimiz)
							
```
  Bənzər şəkildə, (10)-dakı digər cəmlərin də bərabər olduğunu göstərmək olar.
2. Dağıtım qanununa görə, əgər (8):
```
	a11 a12 a13
	a21 a22 a23
	a31 a32 a33
	
```
  Sehirli kvadrat isə
```
	b×a11  b×a12  b×a13
	b×a21  b×a22  b×a23
	b×a31  b×a32  b×a33
	
```
  bu da sehirli kvadratdır, çünki,
```
	a11 +   a12 +   a13  =    a21 +   a22 +   a23  then 
	b×(a11 +   a12 +   a13) = b×(a21 +   a22 +   a23)  and 
	b×a11 + b×a12 + b×a13  =  b×a21 + b×a22 + b×a23 .
							
```
  ▢
CNəticə 1.1:
Bu teoremi tətbiq etmək o deməkdir ki, Sehirli kvadrat-in bütün sahələrindən orta dəyəri çıxartmaq (yəni M times Sehirli kvadrat (7) çıxmaq) orta dəyəri 0 olan Sehirli kvadrat verir.

Digər deformasiyalar tapmaq problemimizə qayıdaq. Növbəti, deformasiyaya müdaxilə etməmək üçün mərkəz dəyərini 0 olaraq saxlamalıdır -M × (7).
Sol üstü 1-ə dəyişdirək (mümkün olan ən kiçik dəyər):
```
	1  *  *
	*  0  *
	*  *  *
			
```
M=0 olduğundan, S-də sıfır olmalıdır.
```
	1  *  *
	*  0  *
	*  * −1
			
```
Sağ üst künc 0 qala bilər, lakin bütün digər dəyişikliklər düzəldilir:
```
	+1 −1  0
	−1  0 +1        (11)
	0 +1 −1
			
```
Bu da sehirli kvadratdır.

Simmetriya çevrilməsindən sonra Sehirli Kvadratın başqa bir deformasiyasını əldə edirik. Bu o deməkdir ki, Magic Square-in hər hansı bir yansıtması və ya fırlanması da Sehirli kvadrat verir. Əsas diaqonalda yansıtma yeni bir Sehir kvadratı vermir, lakin fırlanma yeni bir Sehir Kvadratı verir:
```
	0 −1 +1
	+1  0 −1        (12)
	−1 +1  0
			
```
İndi 1 teoremini üç dəfə tətbiq edirik.
Sehirli Kvadrat verildiyi üçün əvvəlcə orta dəyəri tapmaq üçün a22 × (7) kvadratını çıxardırıq
```
	0 * 0
	* 0 *
	* * *
	
```
sıfır S dəyəri ilə (orta dəyər sıfır olduğu üçün). Bu, bütün Sehir kvadrtatın aşağıdakı kimi olduğunu asanlıqla göstərir
```
	0 0 0
	0 0 0
	0 0 0
			
```
Ancaq bu, hər bir Sehir kvadratın M × (7) + A × (11) + B × (12) kvadratlarının cəmləri kimi yazıla biləcəyi deməkdir.

Teorem 2:
Hər bir sehirli kvadrat aşağıdakı formada yazıla bilər
```
	M+A     M−A−B   M  +B
	M−A+B     M     M+A−B        (13)
	M  −B   M+A+B   M−A  .
			
```
İsbat.

Yuxarıda göstərildiyi kimi, hər bir Sehir kvadratı (7), (11) və (12) qatlarının çıxarılaraq yalnız sıfırdan ibarət olan kvadrata endirilə bilər.

▢

Daha riyazi dildə demək olar ki:
Sehrli kvadratlar (7), (11) və (12) bütün Sehirli kvadrtatlar üçün tam bir generator çoxluğudur.
Bütün Sehirli kvadrat-lərin mahiyyətini bildiyimiz üçün, Sehirli kvadrat problemlərinin həllində bu qədər faydalıdırmı? Qayda ilə (5): 3M = S kvadratın tək komponenti ilə S arasında sadə və faydalı bir əlaqə tapdıq. Burada daha ikisi var.

Lemma 2:
Hər bir künc dəyəri çarpaz əks küncə bitişik 2 dəyərin ortalamasıdır.

Sübut.

Məsələn, (13) -də sol üst künc üçün M + A = ((M + A + B) + (M + A-B)) / 2 və digər 4 künc üçün də.

▢

Bu sadə qayda əvvəlki problemi dərhal həll edir
```
	?  *  *
	*  * 47
	* 63  *
	
```
sadələşdirərək ? = (63+47)/2 = 55. Buradan da növbəti əlaqə:

Lemma 3:
Kvadratın ortasından keçən hər bir sətir üçün orta dəyər M sətirdəki digər iki dəyərin ortalamasıdır.

İsbat.

Yoxlama ilə (13).

▢

Nəticə 2.1:
Tək bir rəqəmdən başqa bir şey verilmirsə, başqa bir rəqəm müəyyən edilə bilməz.

Nəticə 2.2:
2 nömrə verilibsə və 2 və ya 3 lemmalar tətbiq olunursa, onda 3-cü bir nömrə düzəldilir.

Nəticə 2.3:
Əgər lemmalar 2 və ya 3 ilə əlaqəli olmayan 3 rəqəm verilirsə, bu 3 rəqəm bütün Sehrli kvadratı təyin edir.

Nəticə 2.4:
Bütün Sehirli kvadrat problemləri verilən rəqəmlərdən M, A və B hesablamaqla, M, A və B üçün dəyərləri (13) -ə qoşmaqla asanlıqla həll olunur.

Ən çətin çətinlik səviyyəsi həqiqətən o qədər çətindir?

Sehirli kvadrata (13) baxdığımızda 3 müstəqil A, B və M parametrlərinin olduğunu görürük. Yalnız 2-si verilmişdirsə (və ən sərt səviyyə üçün heç vaxt mərkəz dəyəri = M verilməzsə) M sərbəst seçilə bilər. və verilmiş digər 2 dəyər A və B-ni təyin edəcəkdir.

M-nin hansı dəyəri bir Sehir kvadratı tamamlamağı ən asan edir?
- Mərkəz dəyəri olaraq M = 0 seçərək, mərkəzdən keçən bütün xətlər əks rəqəmin işarəsini 0-a cəmləmək üçün dəyişdirərək tamamlana bilər. Qalan ədədlər üçün yalnız iki fərq / cəmin iki əmsalı olmalıdır.
  
  Misal:
```
	*   80    *
	*    *   56
	*    *    *
						
```
  Həll
  Əvvəlcə orta sol alt küncdə dəyər almaq üçün lemma 2 tətbiq edə bilərik və (80+56)/2 = 136/2 = 68:
```
	*  80   *
	*   *  56
	68   *   *
	
```
  Sonra ortada 0 əlavə etdikdən və işarələri dəyişdirərək ortada rəqəmləri əks etdirdikdən sonra:
```
	*   80  −68
	−56    0   56
	68  −80    *
	
```
  Nəhayət, bütün cəmlər 0 olduğu üçün yuxarı sol künc 68-80 = -12 olmalıdır. Buna görə bu nümunənin ən sadə həlli:
```
	−12   80  −68
	−56    0   56
	68  −80   12
							
```
Daha sürətli olmaq üçün
- Bütün rəqəmləri bir sətirdə və onu keçən bir sətirdə 2 ədədi bilsək, hesablamaları bir az sürətləndirə bilərik, xüsusən rəqəmlər daha böyük olduqda.
  
  Misal:
```
	P  *  *
	U  ?  W
	X  *  *
	
```
  harada P, U, X, W məlumdur və tapmaq istəyirik?
  P + U + X = U +? + W və beləliklə P + X =? + W olduğunu bilirik. Buna görə,? = P + X-W.
  Nə edə bilər, P, X-dən hansının W-yə ən yaxın olduğunu yoxlamaq, P demək və sonra hesablamaq? = X + (P-W). Bunu hesablamaq S = P + U + X-dən daha tezdir,? = S-U-W, xüsusən P-W kiçikdirsə. Bunu Muntjac səviyyəsində tətbiq edə bilərsiniz.

Xülasə

Simmetriyaları olan (burada fırlanma və güzgü simmetrləri) çətin bir riyazi məsələnin həlli üçün ümumi bir yanaşma öyrəndik (burada fırlanma və güzgü simmetrləri) və bütün bu simmetriyə malik olmayan xüsusi bir həll (burada Sihir kvadratı (11)). ((11) fırlanma baxımından simmetrik deyil) ki, simmetriya əməliyyatını tətbiq etdikdə yeni bir xüsusi həll yaranacaq (burada (11) ? Fırlanma ? (12)).
Bundan əlavə, xətti cisimlər üçün problemlərdə xüsusi bir həll dəstinin çoxlarının əlavə edilərək ümumi həll yolunun necə əldə ediləcəyini gördük (burada hər bir Sehir kvadratı (7), (11) və (12-in çoxlarının cəmi kimi yazıla bilər) )).

İndi Sehirli kvadrat oyununu tez bir zamanda qazana bilərsiniz ... ədalətli və kvadrat!