Chomp ©

یک میدان محل برخورد یک سطر و یک ستون است که به صورت (ستون، سطر) نشان داده می‌شود.
یک شکلات عبارت است از تصویر روی یک میدان.
یک وضعیت یعنی همه میدان‌ها همراه با شکلات‌ها.

اجازه دهید کار را با معماهای ساده، یعنی وضعیت‌های کوچک شروع کنیم. برای ایجاد آنها بر روی کلید"رایانه : خاموش" کلیک می‌کنیم. اگر پس از آن بر روی (2،1) کلیک کنیم تنها یک سطر از شکلات‌ها باقی خواهد ماند.

بازیکن بعدی ، یعنی حریف شما ، چه کاری می‌تواند انجام دهد ؟
- با کلیک کردن بر روی (1،2) تنها شکلات (1،1) باقی می‌ماند ، بنابراین شما بازی را باخته‌اید.

اکنون بر روی کلید 'بازی جدید' کلیک می‌کنیم و سپس شکلات‌های (3،1) و (2،2) را بر می‌داریم تا اینکه یک شکلات در سطر 2 و تعدادی شکلات در سطر 1 باقی بماند.

بازیکن بعدی چه کاری می‌تواند انجام دهد ؟
- با کلیک کردن بر روی (1،3) تنها سه شکلات باقی مانده است. آیا مي‌توانيد ببينيد که هيچ شانسي برای برنده شدن نداريد ؟

باز هم بر روی 'بازی جدید' و سپس بر روی (3،1) و (2،3) کلیک می‌کنیم.

بازیکن بعدی چه کاری می‌تواند انجام دهد ؟
- حریف شما می‌تواند بر روی (1،4) کلیک کند. آیا مي‌توانيد ببينيد که هيچ شانسي برای برنده شدن نداريد ؟

آیا می‌توانید بطور خلاصه بگویید که در کدام وضعیت‌های شامل 2 سطر، شما هیچ شانسی برای برنده شدن در بازی ندارید ؟
- اگر سطر1 یک شکلات بیشتر از سطر2 داشته باشد، مهم نیست که شما چه کاری انجام می‌دهید و بازی را خواهید باخت. حریف شما همیشه می‌تواند حرکتی انجام دهد که سطر1 یک شکلات بیشتر از سطر2 داشته باشد. پس مهم نیست که چه کاری انجام می‌دهید، در انتهای بازی، شما باید شکلات (1،1) را انتخاب کنید و بازی را می‌بازید.

اگر روی یک شکلات کلیک شود، تمام شکلات‌های زیر و سمت راست آن نیز حذف می‌شوند. این قانون دارای یک تقارن است. یعنی کل بازی دارای تقارن زیر است : اگر جای سطرها و ستون‌ها را عوض کنیم، قاعده ثابت می‌ماند : همه شکلات‌های سمت راست به شکلات‌های زیر تبدیل می‌شوند و تمام شکلات‌های زیر به شکلات‌های سمت راست شکلات حذف‌شده تبدیل می‌شوند. به عبارت دیگر، اگر وضعیتی را در امتداد خطی که از (1،1) و (2،2) می گذرد منعکس کنیم، وضعیت جدید ممکن است متفاوت به نظر برسد، اما وضعیت یکسانی دارد. حرکت برنده نیز همان حرکت خواهد بود که فقط آینه شده است.

وضعیت با 3 شکلات در سطر 1 و 2 شکلات در سطر 2 یک وضعیت بازنده است، همانطور که می‌دانیم. وضعیت‌های آینه ای چه شکلات‌هایی دارند؟
- پس از آینه کاری، ستون سمت چپ دارای ۳ شکلات است و ستون دوم ۲ شکلات دارد.

ما تمام وضعیت‌های بازنده که فقط دو سطر اول و دوم شکلات دارند را می‌شناسیم. به کمک تقارن، در مورد تمام وضعیت‌های بازنده که فقط دو ستون اول و دوم شکلات دارند چه می‌توان گفت ؟
- وضعیت‌های بازنده شامل فقط دو ستون، وضعیت‌هایی هستند که در آنها ستون اول یک شکلات بیشتر از ستون دوم دارد.

اکنون یک وضعیت بازنده دیگر را می‌بینیم : ابتدا بر روی 'بازی جدید' و سپس بر روی (4،1)، (2،2) و (1،4) کلیک کنید.

اگر حریف شما در این وضعیت، یک حرکت انجام دهد، پاسخ شما چیست ؟
- شما باید مطمئن شوید که همیشه پس از حرکت شما ، سطر بالا و ستون اول، باز هم دارای طول مساوی باشند. با تکرار این الگو، حریف شما در نهایت مجبور خواهد بود که شکلات (۱٬۱) را برداشته و بازی را ببازد.

بنابراین، وضعیتی که در آن، سطر1 و ستون1 تعداد شکلات‌های یکسان دارند و شکلات‌ دیگری وجود ندارد، یک وضعیت بازنده است. کدام وضعیت‌ها را می‌توان به چنین وضعیتی تغییر داد؟
- اگر یک وضعیت ، دارای تعداد مساوی سطرو ستون باشد، مهم نیست که چه تعداد شکلات در سطرها و ستون‌ها وجود دارد. انتخاب شکلات (2،2) باعث می‌شود که فقط یک سطر و ستون بیش از یک شکلات داشته باشند. حریف شما با وضعیتی روبرو می‌شود که هیچ شانسی برای برنده شدن ندارد. بنابراین اگر در یک وضعیت، تعداد شکلات‌های سطر بالا با تعداد شکلات‌های ستون سمت چپ برابر باشد، شما می‌توانید با برداشتن شکلات (2،2) برنده بازی باشید.

برای انجام خوب بازی چامپ، باید وضعیت‌های برنده و بازنده را بشناسید. یک وضعیت برنده، وضعیتی است که اگر کسی حرکت‌های مناسب را بازی کند حتما برنده خواهد شد و مهم نیست که طرف مقابل چگونه بازی کند. یک وضعیت بازنده وضعیتی است که در آن بازیکنی که حرکت اول را انجام می‌دهد هیچ شانسی برای برد ندارد البته با این شرط که حریف او اشتباه نکند. نکاتی که بیان خواهد شد را در ریاضیات تعریف می‌‌نامند. در بازی چامپ، وضعیت‌های برنده و بازنده با این ۳ حالت تعریف می‌شوند:
1. اگر فقط یک شکلات باقی مانده باشد (در گوشه بالا سمت چپ) ، این وضعیت یک وضعیت بازنده است.
2. یک وضعیت ، وضعیت برنده است اگر حرکتی وجود داشته باشد که قابل تبدیل به یک وضعیت بازنده برای حریف باشد.
3. یک وضعیت ، وضعیت بازنده است اگر هر حرکتی منجر به یک وضعیت برنده برای حریف شود.
در نگاه اول ، نکته‌های گفته شده ، ممکن است بی‌فایده به نظر برسند زیرا وضعیت‌های برنده با وضعیت‌های بازنده توضیح داده می‌شوند و وضعیت‌های بازنده به کمک وضعیت‌های برنده توضیح داده می‌شوند. با این وجود، تعریف بر اساس انجام حرکت‌ها است و هر دنباله‌ای از حرکت‌ها در نهایت منجر به وضعیت شامل یک شکلات می‌شود که با توجه به نکته اول یک وضعیت بازنده است.

آیا ممکن است وضعیت‌هایی وجود داشته باشد که هیچ یک از دو طرف نتوانند برنده شوند ؟ (دشوار)
- ما یک گزاره کوچک را بیان و آن را ثابت خواهیم کرد. این اثبات ، چگونگی رسیدن به یک بازی قوی و کامل را به ما نشان خواهد داد . اثبات به کمک استقرا است که در آن نشان می‌دهیم که گزاره مورد نظر که می‌خواهیم ذرستی آن را ثابت کنیم ، برای یک صفحه شامل یک شکلات درست است و سپس نشان می‌دهیم که اگر این گزاره برای تعداد N شکلات درست باشد پس با اضافه شدن یک شکلات ، یعنی N+1 شکلات. باز هم درست خواهد بود، بعد از اثبات درستی این دو حالت ، می‌توانیم بگوییم که : چون این گزاره برای N=1 شکلات درست است، باید برای N+1=1+1=2 شکلات هم درست باشد. اما درست بودن برای N=2، نتیجه می‌دهد که باید برای N+1=2+1=3 شکلات درست باشد و . . . ؛ بنابر این ، گزاره برای هر تعداد شکلات درست است.
- لـم (قضیه کوچک) : هر وضعیت در بازی چامپ یا یک وضعیت برنده یا یک وضعیت بازنده است.
- اثبات به کمک استقرا :
- پایه استقرا : اگر وضعیت شامل فقظ یک شکلات باشد ، این شکلات در گوشه بالا سمت چپ قرار دارد و با توجه به قوانین بازی چامپ یک وضعیت بازنده است. این نشان می‌دهد که گزاره به ازای N=1 شکلات درست است.
- فرض استقرا : ما فرض می‌کنیم که گزاره لم برای تمام وضعیت‌های با N شکلات (که N یکی از عددهای 1 ، 2 ، 3 و . . . است) درست است. یعنی هر وضعیتی که شامل شکلات باشد یا یک وضعیت برنده است و یا یک وضعیت بازنده است.
- حکم استقرا : ما در حال حاضر می‌خواهیم به کمک فرض استقرا ، نشان دهیم که تمام وضعیت‌های شامل N+1 شکلات هم باید یا یک وضعیت بازنده و یا یک وضعیت برنده باشند.
- در P زیر یک وضعیت دلخواه با شکلات‌های N+1 است. اگر P با یک حرکت کاهش یابد آنگاه وضعیت جدید باید ≤N شکلات داشته باشد، بنابراین یک باخت یا یک وضعیت برنده با توجه به فرض استقرا است. اگر P را می‌توان در یک حرکت به یک وضعیت بازنده کاهش می‌یابد و سپس P یک وضعیت برنده است. اگر نه، آنگاه P را می‌توان در یک حرکت تنها به یک وضعیت برنده کاهش داد. اما اگر یک وضعیت را می‌توان در حرکت تنها به یک وضعیت برنده کاهش می‌یابد و سپس P باید یک وضعیت بازنده باشد. این ثابت می‌کند که P (داشتن شکلات‌های N+1) یا یک برنده یا یک وضعیت بازنده است. این نشان می‌دهد که تمام وضعیت‌ها (با N+2,N+3,... شکلات ) یا برنده و یا وضعیت بازنده .
  
  پایان اثبات ∎
- توضیح اضافی: مرحله استقرا روشی را برای تصمیم گیری برای تمام وضعیت‌ها (تا اندازه ای) فراهم می‌کند که آیا در حال برنده شدن یا وضعیت بازنده هستند. با موارد زیر تعریف می‌شود:
  
  یکی با N=1 شروع می‌شود و برچسب‌هایی که وضعیت را به عنوان یک وضعیت بازنده قرار می‌دهند. یکی پس از آن تعیین وضعیت تمام وضعیت با 2 شکلات ، سپس با 3 شکلات و مانند آن، هر بار با استفاده از دانش از وضعیت وضعیت‌های کوچکتر، و اضافه کردن وضعیت بازنده تازه پیدا شده به لیست وضعیت بازنده شناخته شده است.
- این یک راه بسیار کارآمد برای پیدا کردن تمام وضعیت‌های برنده و بازنده تا برخی از اندازه است. با بزرگتر شدن اعداد در اندازه، یک برنامه کامپیوتری مفید خواهد بود. مواد لازم به قرار زیر است:
  - روشی که می‌تواند به طور کارآمد تمام وضعیت‌های N شکلات از دانستن تمام وضعیت‌های کمتر از N شکلات ایجاد
  - رویه ای که می‌تواند به طور کارآمد بررسی کند که آیا یک وضعیت را می‌توان به وضعیت داده شده دیگری کاهش داد یا نه.
  ما آن را به شما بذاریم تا بیشتر به آن فکر کنید و شاید چنین برنامه کامپیوتری بنویسید.

چند وضعیت بازنده یا برنده دقیقا 2 شکلات دارند ؟
- تنها دو وضعیت ممکن است که دقیقا 2 شکلات ، 2 شکلات در سطر بالا، و یا دو شکلات در امتداد ستون سمت چپ وجود دارد. هر دوی این‌ها در حال کسب هستند.

چند وضعیت باخت و برنده دقیقا 3 شکلات دارند؟
- 3 مجموع وضعیت ممکن است که دقیقا 3 شکلات وجود دارد. آن‌ها از ۲ برنده، و ۱ وضعیت باخت تشکیل شده اند. ميتوني بفهمي اونا کدوم وضعیت هستن؟

چند وضعیت باخت و برنده دقیقا 4 شکلات دارند؟
- 5 وضعیت ممکن است که دقیقا 4 شکلات وجود دارد. همه این‌ها برنده‌ها هستند.

چند وضعیت باخت و برنده دقیقا 5 شکلات دارند؟
- 7 کل وضعیت ممکن است که دقیقا 5 شکلات وجود دارد. از این‌ها ۳ در حال وضعیت بازنده و ۴ برنده هستند. مي‌توانيد بفهميد آنها کداميک هستند؟

آیا وضعیت‌های مستطیل شکل برنده هستند یا وضعیت‌ها را از دست می‌دهند؟
- لم زیر به این سوال پاسخ می‌دهد. اثبات آن یک اثبات وجودی است. تنها وجود یک حرکت برنده را ثابت خواهد کرد بدون اینکه نشان دهد این حرکت چه چیزی است. با این وجود، دانستن لما برای بازی شما مفید است همانطور که در زیر توضیح داده شده است.
- لم : تمام وضعیت‌های مستطیلی به جز وضعیت ۱ شکلات ، وضعیت‌های برنده هستند.
- اثبات: برای نشان دادن این درست است ما باید دو مورد ممکن را در نظر بفهمیم:
  1. از بین بردن شکلات در گوشه پایین سمت راست هیئت مدیره یک حرکت برنده است.
  2. از بین بردن شکلات در گوشه پایین سمت راست یک حرکت برنده نیست.
- اگر مورد ۱ درست باشد، پس این بدان معناست که مستطیل یک وضعیت برنده است، و این از لم حمایتمی‌کند.
- اگر مورد 1 درست نباشد، پس باید مورد 2 را در نظر ب گرفت. با توجه به اثبات ما قبلا انجام داد، وضعیت ناشی از از بین بردن شکلات در گوشه سمت راست پایین تر پس از آن باید یک وضعیت برنده، که بدان معنی است که آن را باید یک حرکت برنده است که وجود دارد داشته باشد. اما چون هر حرکت در مستطیل، شکلات را در گوشه پایین سمت راست حذف می‌کند، وضعیت بازنده ناشی از حرکت دوم (حرکت برنده) همان است که آیا حرکت برنده پس از حرکت گوشه انجام می‌شود یا به جای حرکت گوشه. این بدان معنی است که حرکت برنده می‌توانست فوراً انجام شود و به این ترتیب ثابت کند که یک حرکت برنده برای وضعیت مستطیل شکل وجود دارد.
- پایان اثبات ∎
- نظرات اضافی: اگر چه lemma به ما نمی گوید چه حرکت برنده است، آن را در حال حاضر مفید است بدانید که وضعیت‌های مستطیل شکل در حال برنده شدن وضعیت. بنابراین یکی نباید حرکت کند که یک وضعیت مستطیل شکل ایجاد کند (به جز وضعیت ۱x۱).

آیا می‌توانید برای هر هیئت مدیره مربع تعیین چه حرکت برنده است؟
- برای تمام مربع‌های اندازه >1 تنها حرکت برنده در (2،2) است.

برای کدام وضعیت‌ها شبیه به یک مربع همان حرکت یک حرکت برنده است؟
- حرکت (۲٬۲) نیز یک حرکت برنده برای هر وضعیتی است که سطر1 و ستون اول طول یکسانی داشته باشد.

آیا یک وضعیت می‌تواند بیش از یک حرکت برنده داشته باشد؟
- بله یک وضعیت می‌تواند بیشتر پس از آن یک حرکت برنده داشته باشد. وضعیت زیر را در نظر بگیرید:
  
  ###
  ##
  #
  
  این وضعیت هیئت مدیره دارای ۳ حرکت برد مختلف است که می‌توان آن‌ها را انجام داد. ميتوني مشخص کني اونا چي هستن؟

استراتژی کلی برای برنده شدن در چامپ این است که ایجاد وضعیت بازنده برای حریف خود را به طوری که آنها هیچ شانسی. ما همچنین می‌خواهیم برای جلوگیری از ایجاد وضعیت‌های برنده است که حریف می‌تواند به وضعیت بازنده برای ما تبدیل.

کلید برنده شدن این است که بدانید به عنوان بسیاری از وضعیت‌های بازنده که ممکن است، و برای تشخیص چگونگی ایجاد یکی قبل از حریف خود را انجام می‌دهد. بیایید هیئت مدیره ممکن زیر را در نظر بیم که یک وضعیت بازنده شناخته شده است:

#######
###
###
#
#
شکل ۱

همه وضعیت‌هایی که می‌توان در یک حرکت به این وضعیت بازنده تبدیل کرد چه هستند؟

وضعیت بازنده بالا می‌تواند از هر حرکت مشخص شده با + زیر نتیجه:

#######+
###
###
#
#

#######
###+
###
#
#

#######
###
###
#+
#

#######
###
###
#
#
+

شکل ۲

این حرکت‌ها همگی در گوشه‌های بریده شده قرار دارند. هر گونه حرکت + نیز قطع شکلات است که ممکن است در تصاویر زیر ظاهر می‌شود با ?:

#######+?
###
###
#
#

#######
###+???
###????
#
#

#######
###
###
#+?
#??

#######
###
###
#
#
+
?

شکل 3

شکلات + لازم است ، و ? شکلات اختیاری هستند. در وضعیت برنده چپ، سطربالا را می‌توان خودسرانه به سمت راست با '?'بیشتر گسترش داد، و در وضعیت برنده راست، ستون اول را می‌توان خودسرانه به پایین با '؟'. همه این‌ها نیز برنده هستند. اگر قرار باشد در چنین وضعیتی حرکتی انجام بدهیم، یک + شکلات می‌گیریم، و بنابراین همه ? شکلات متصل نیز حذف خواهد شد، و در نتیجه وضعیت بازنده ما با آغاز شده است.

آیا وضعیت‌های برنده تر یا بازنده دیگری هم وجود دارد؟
- برای هر وضعیت بازنده بی نهایت بسیاری از وضعیت است که می‌تواند به این وضعیت بازنده توسط یک حرکت تبدیل وجود دارد. بنابراین همه آن‌های بی نهایت بسیاری در حال کسب هستند.
- بنابراین وضعیت‌های برنده بسیار بیشتری نسبت به وضعیت بازنده وجود دارد. بنابراین ، آن را موثر ترین به یاد داشته باشید به عنوان بسیاری از وضعیت‌های بازنده که ممکن است ، تمام وضعیت‌های دیگر برنده وضعیت.

یک لیست از وضعیت بازنده است که شما می‌دانید، و برای هر وضعیت نوشتن تمام وضعیت‌های برنده مربوطه و چگونه آنها را تشخیص

مثال زیر نشان می‌دهد که منظور ما چیست:

همانطور که قبلا نشان داده شده است، هنگامی که وضعیت تنها 2 سطر، و سطر بالا دارای یک شکلات بیش از سطر2، از این وضعیت بازنده است، همانطور که در زیر نشان داده شده است:

#####
####
با در نظر گرفتن این وضعیت بازنده شناخته شده، ما می‌توانیم تعیین کنیم که وضعیت‌های برنده مربوطه هستند:

#####+?
####

#####
####+

#####
####
+???
????

در وضعیت سمت چپ، می‌تواند هر تعداد وجود داشته باشد؟ به سمت راست سطر بالا، و در وضعیت مناسب، می‌تواند هر تعداد از سطر وجود داشته باشد؟ زیر. ما می‌توانیم در کلمات خلاصه چگونه برای تشخیص این وضعیت‌های برنده (که شما باید برای بازی خود را به یاد داشته باشید):

- وضعیت یک وضعیت برنده است که کاهش می‌دهد به
  #####
  ####
- - اگر یا وضعیت فقط دو سطر داشته باشد، و سطر اول دقیقاً یک شکلات طولانی تر نیست آنگاه سطر2، یا
- - اگر وضعیت بیش از دو سطرداشته باشد، و سطر1 دقیقاً یک شکلات طولانی تر باشد آنگاه سطر2.
اما بیشتر برای فکر کردن به آن نیز وجود دارد. ما نه تنها می‌خواهیم در چنین وضعیت‌های برنده ای درست بازی کنیم، بلکه می‌خواهیم از انجام حرکتی که چنین وضعیت‌های برنده ای را ایجاد می‌کند، اجتناب کنیم. این بدان معنی است که ما نباید یک حرکت که در آن تنها دو سطرباقی می‌ماند، و یا جایی که سطر2 دقیقا یک شکلات کمتر پس از آن سطر1 است.

برای خلاصه کردن، ما می‌خواهیم وضعیت‌های بازنده ایجاد کنیم، اما همچنین می‌خواهیم از ایجاد وضعیت‌هایی که یک حرکت به دور از یک وضعیت بازنده است، اجتناب کنیم.

چیز دیگری که باید به آن توجه داشت: با توجه به آینه ای که قبلاً گفته شد، می‌توان تمام نظرات فوق را به سادگی با جایگزین کردن کلمه «سطر» با کلمه «ستون» تکرار کرد.

این است که به شما برای جمع‌آوری وضعیت‌های بازنده بیشتر و وضعیت‌های برنده مربوطه خود را که یک حرکت دور سمت چپ.

ايلي مجبور باشي توي يه وضعیت بازنده بازي کني چي؟
- اگر شما متوجه شوید که شما باید یک حرکت در یک وضعیت How to learn losing positions on your own?، پس در تئوری شما هیچ شانسی ندارد. همه شما می‌توانید انجام دهید این است که امیدواریم که حریف خود را نمی داند تمام حرکت برنده برای وضعیت است که شما می‌توانید با حرکت بعدی خود را ایجاد کنید. کاری که می‌توانستید بکنید این است که فقط یک شکلات واحد را از گوشه ای حذف کنید. این می‌دهد حریف خود را یک وضعیت حاصل از اندازه حداکثر, و آن را باعث می‌شود آن را دشوار تر برای حریف خود را به دانستن حرکت برنده مربوطه.

وضعیت‌های بازنده را چطور به تنهایی یاد بگیریم ؟
- یکی باید برای انجام آنچه به عنوان یک جستجوی درخت کامل شناخته می‌شود. بازیکن اول با حدس زدن یک حرکت شروع می‌شود، سپس بازیکن دوم یک حرکت را حدس می‌بزند و همین طور تا زمانی که یک بازیکن، بگوید بازیکن A، برنده می‌شود. سپس بازیکن B مجاز به تغییر آخرین حرکت آنها ساخته شده است و آن را به نوبه خود بازیکن A بعدی است. اگر در یک وضعیت بازیکن بازی بعدی، می‌گویند B، اجرا می‌شود از حرکت به دلیل تمام حرکت منجر به باخت، پس از آن این یک وضعیت بازنده است، و بازیکن B می‌تواند آخرین حرکت انجام شده قبل از رسیدن به این وضعیت بازنده را تغییر دهید.
- این 'جستجوی درخت' ادامه می‌یابد تا زمانی که مشخص شود که آیا وضعیت شروع یک وضعیت بازنده است یا کدام حرکت بازیکن ۱ آن را به یک وضعیت بازنده تبدیل می‌کند.
- این می‌تواند یک فرایند بسیار طولانی اگر کسی تلاش می‌کند تا آن را در هیئت مدیره اولیه با شکلات‌های بسیاری انجام دهد. با این حال، هر چه وضعیت‌های بازنده بیشتری بدانیم توالی های حرکت‌ها قبل از رسیدن به چنین وضعیتی کوتاه تر هستند و به این ترتیب کل جستجو بسیار سریع تر است. اگر ما می‌دانستیم که همه حاوی وضعیت‌های بازنده ، پس یا وضعیت شروع به عنوان یک وضعیت بازنده به رسمیت شناخته می‌شود، و یا تنها یک حرکت لازم خواهد بود برای کاهش آن را به یک وضعیت بازنده .

چگونه برای یادگیری وضعیت بازنده با کامپیوتر؟
- در سطح دشواری 'بسیار سخت' و وضعیت‌های بزرگتر از 8 x 15 کامپیوتر بازی کاملا به طوری که هر وضعیت است که نتایج حاصل از حرکت کامپیوتر بازنده پستی است! یکی باید با صفحه‌های بسیار کوچک شروع و بازی در برابر کامپیوتر در سطح 'بسیار سخت' و یادگیری تمام وضعیت‌هایی که کامپیوتر تولید می‌کند. برای هر وضعیت از جمله فکر می‌کنم که چگونه هر یک از حرکت‌های خود را توسط کامپیوتر تبدیل آن را دوباره به یک وضعیت بازنده کوچکتر پاسخ داده می‌شود. برای هر وضعیت بازنده نیز وضعیت آینه ای (سطر <--> ستون) یک وضعیت بازنده است.
- بهترین حرکت اول کدام است؟
  - در مسابقه وضعیت شروع مستطیلی از شکلات‌ها خواهد بود. همان طور که پیش از این ثابت شد، مستطیل یک وضعیت برنده است، اما اولین حرکت تغییر آن به یک وضعیت بازنده برای حریف چه چیزی است؟ ما زودتر یاد گرفتیم که حرکت بهینه برای یک مربع شکلات (۲٬۲) است اما اگر مستطیل مربع نباشد چه؟
  - به سادگی به سطح دشواری 'بسیار سخت' تغییر و اجازه دهید کامپیوتر را به حرکت اول. تا زمانی که مستطیل بزرگتر از 8x15 نیست، کامپیوتر به صورت بهینه بازی می‌کند و اولین حرکت کامل را نشان خواهد داد. سعی کنید اندازه مستطیل‌های مختلف و به یاد داشته باشید حرکت اول مطلوب به دلیل بازی کامپیوتر در روزهای مسابقه در دسترس نخواهد بود :).
- به زودی شما در سطح دشواری آسان و متوسط شکست ناپذیر خواهید بود.

آیا خانواده‌های بی نهایت وضعیت بازنده وجود دارد؟
- ما از قبل با این دو خانواده وضعیت بازنده آشنا شدیم. N هر یک از اینت مثبت است.
- در اینجا بیشتر:

پخش کننده کامپیوتر ساخته شده در بازی از تکنیک‌های مختلف برای سطوح مختلف بازی استفاده می‌کند.

- آسان- هر نوبت حرکت‌های تصادفی انجام می‌دهد. اگر یک وضعیت برنده ساده تشخیص داده شود، به آنجا حرکت خواهد کرد.
- متوسط- هنوز هم به طور تصادفی حرکت می‌کند، اما دانش بیشتری از برنده شدن و وضعیت بازنده دارد. از حرکت‌هایی که به حریف دسترسی به یک حرکت برنده ساده می‌دهد اجتناب خواهد کرد.
- سخت- دانش حتی بزرگتری از وضعیت‌های برنده دارد. فعالانه هیئت مدیره را برای حرکت‌هایی جستجو می‌کند که می‌تواند حریف را مجبور به انجام یک حرکت بازنده خود کند.
- خيلي سخته - همیشه حرکت بهینه برای هر وضعیتی که متناسب با مستطیل اندازه 8x15 را.
هر چه سطح دشواری بالاتر باشد، مجبور کردن کامپیوتر به یک وضعیت بازنده سخت تر خواهد بود. هر سطح می‌داند بسیاری از وضعیت‌های برنده تر و بازنده نسبت به سطح قبلی، و سخت تر دشواری، برنده تر و وضعیت بازنده شما نیاز به دانستن سعی کنید و مجبور کامپیوتر را به یک وضعیت بازنده .

نظرات زیر کمکی به قوی تر شدن در چامپ نخواهد کرد، اما آنها برخی از حقایق جالب را فراهم خواهد کرد و به ما فرصت دیگری برای تمرین اثبات به کمک استقرا.

چند وضعیت مختلف، از جمله صفحه خالی، به یک مستطیل با سطرهای P و ستون‌های Q جا می‌گیرند؟
- اگر مستطیل خالی را شامل شود، می‌توانیم تعداد کل وضعیت‌های ممکن را با استفاده از فرمول زیر محاسبه کنیم: \[\frac{(P+Q)!}{P!Q!}\]آیا می‌توانید آن عدد را برای P و Q کوچک محاسبه کنید، و تأیید کنید که درست است؟
- مشتق اول یک فرمول بازگشتی
  - اجازه دهید f(P,Q) تعداد وضعیت‌ها در مستطیل اندازه PxQ باشد. یک مشاهده مهم این است که تمام وضعیت‌ها شکل یک راه پله را دارند، جایی که هر سطر در بیشتر شکلات‌ها به اندازه سطر بالا دارد، اما نه بیشتر.
  - اجازه می‌دهد تا برای اولین بار با راه ما می‌توانیم تمام این راه پله‌ها را نشان می‌دهد شروع می‌شود. یکی از راه‌های ایجاد راه پله به راحتی این است که در گوشه پایین سمت چپ صفحه شروع کنید، و یا به سمت راست یا بالا حرکت کنید. می‌توان به انجام این حرکت‌های درست و بالا تا زمانی که آنها را به گوشه سمت راست بالا از هیئت مدیره ادامه دهد. ما از این به عنوان مسیری که برای رسیدن از (P,0) به (0,Q) در پیش گرفتیم، نام خواهیم برد.
  - تعداد وضعیت‌ها همان تعداد مسیرها از (P,0) به (0,Q) است، تا زمانی که یکی تنها اجازه حرکت به بالا یا سمت راست را داشته باشد. عدد f(P,Q+1) مسیرهایی که از (P,0) به (0,Q+1) می‌روند، عدد f(P,Q) مسیرهایی است که از (P,0) به (P,0) می‌روند 0,Q), and then to (0,Q+1) + the number f(P-1,Q) of paths to get from (P,0) to (1,Q), and then to (1, Q+1) و (0,Q+1), و مانند آن. فرمول متناظر به این قرار است:\[f(P,Q+1) = f(P,Q) + f(P-1,Q) + f(P-2,Q) + \ldots + f(1,Q) + f(0,Q)\]
  - اکنون این فرمول را می‌گیریم و P را با P + 1 جایگزین می‌کنیم. اگر P + 1 را به جای P به فرمول وصل کنیم، موارد زیر را بدست می‌آوریم: \[f(P+1,Q+1) = f(P+1,Q) + f(P,Q) + f(P-1,Q) + \ldots + f(0,Q)\] \[f(P+1,Q+1) = f(P+1,Q) + f(P,Q+1)\]از این مشتق جدید می‌توانیم فرمول را تعیین کنیم \(f(P,Q) = f(P,Q-1) + f(P-1,Q)\) آن \(f(P,0) = 1\) و \(f(0,Q) = 1\).
- یک مشتق جایگزین از یک فرمول بازگشتی
  - اغلب راه‌های متعددی برای شمارش در مشکلات ترکیب وجود دارد. مشتق زیر راهی متفاوت و ظریف تر برای مشتق گیری فرمول فراهم خواهد کرد.
  - ما از همان بازنمایی که قبلاً استفاده کرده بودیم استفاده خواهیم کرد، جایی که می‌خواهیم تعداد کل مسیرهایی را که ما را از (P,0) به (0,Q) می‌گیرند، پیدا کنیم. ما می‌توانیم این مسیرها را به دو گروه سازماندهی کنیم.
  - مسیرهایی که با اولین حرکت رفتن به سمت راست از (P,0) به (P,1) شروع می‌شوند. می‌دانیم که در این گروه مجموعاً مسیرهای f(P,Q-1) از (P,1) تا (0,Q) خواهیم داشت. ما این را می‌دانیم زیرا مستطیل باقی مانده پس از حرکت یکی به سمت راست از اندازه P x (Q-1) است.
  - گروه دیگر مسیرهایی هستند که با اولین حرکت بالا رفتن یک حرکت از (P,0) به (P-1,0) شروع می‌شوند. در این گروه می‌دانیم که مسیرهای کل f(P-1,Q) وجود دارد، چرا که مستطیل حاصل از اندازه (P-1) x Q خواهد بود.
  - بنابراین از آنجا که هر مسیر ممکن در یکی از این دو گروه قرار خواهد گرفت، تعداد کل مسیرها مجموع این گروه‌ها است. این به ما همان فرمول را می‌دهد \(f(P,Q) = f(P,Q-1) + f(P-1,Q)\).
- مشتق یک فرمول صریح
  - به جای شروع مسیرها از گوشه پایین سمت راست، بیایید مستطیل را بچررخیم تا نقطه (P,0) در بالا قرار گیرد. هم اکنون می‌توانیم مسیرها را با نمودار زیر تجسم کنیم:
  - این نوع نمودار به عنوان یک درخت شناخته می‌شودشود. این الگو در تکرار نگه دارید تا زمانی که ما از (P،0) به (0،Q) سفر کرده اند. هنگامی که این اتفاق می‌افتد، درخت شامل هر مسیر ممکن است یکی می‌تواند در سراسر هیئت مدیره را.
  - تعداد راه‌های رسیدن از بالا (P,1) به یک گره (I,J) در این درخت تعداد راه‌های رسیدن به (I-1,J) است، و سپس پایین رفتن درست به (I,J)، به علاوه تعداد راه‌های رسیدن به (I,J-1)، و سپس پایین رفتن به سمت چپ به (I,J). به عبارت دیگر این عدد در مثلث پاسکال است.
  - هر عدد در مثلث پاسکال مجموع دو عدد بالا است. اعداد در ستون سمت چپ در حال شمارش سطرهای هیئت مدیره هستند که از ۰ با یک صفحه خالی شروع می‌شود. اعداد زیر مثلث نشان دهنده وضعیت از سمت چپ است، همچنین از ۰ شروع می‌شود. عدد در سطر N'th در وضعیت K برابر است با \({N \choose K} = \frac{N!}{(N-K)!K!}\).
  - ما می‌خواهیم عدد f(p,q) را پیدا کنیم که تعداد راه‌های دریافت از (P,0) به (0,Q) است. برای انجام این کار یکی باید از بالا P بار پایین سمت راست و Q بار پایین سمت چپ بروید. با استفاده از ساختار درختی که قبلاً تعریف کرده بودیم، این همان رفتن از (۰٬۰) به (P,Q) رفتن تنها چپ و راست در درخت است.
  - با این حال، این باعث می‌شود که ما گام‌های P+Q را بسازیم، بنابراین در سطر P+Q در درخت هستیم. از آنجا که ما می‌دانیم که ما نقل مکان کرد Q بار به سمت راست، شماره در مثلث پاسکال در این وضعیت است \({P+Q \choose Q} = \frac{(P+Q)!}{P!Q!}\).
- اثبات فرمول صریح به کمک استقرا
  - قرار است نشان دهیم که فرمول‌های زیر معادل هستند. \[f(P,Q) = \begin{cases}1 & for & P=0 \\1 & for & Q=0 \\f(P,Q-1) + f(P-1,Q) & for & \text{P>0 and Q>0}\end{cases} = \Bigg\{{P+Q \choose Q} = \frac{(P+Q)!}{P!Q!}\]
  - پایه استقرا : ما در حال حاضرمی‌دانیم که f(0,0) = 1 طبق تعریف فرمول. اگر P=0 و Q=0 را به فرمول وصل کنیم، بدست می‌آوریم \(\frac{(0+0)!}{0!0!} = \frac{0!}{1} = 1\). این نشان می‌دهد که فرمول‌های پایه معادل هستند، که پایه استقرا را به پایان می‌رسد.
  - فرضیه فرض استقرا : فرض کنیم که فرمول‌ها برای تمام مقادیر P,Q با P+Q = N معادل هستند.
  - مرحله استقرا : با استفاده از فرض استقرا، هم ارزی را برای تمام مقادیر P,Q با P+Q=N+1 ثابت می‌کنیم. برای هر مقادیر P,Q با P+Q=N+1، ما ۳ مورد داریم:
  - مورد 1:
  - مورد 2:
  - مورد 3: \(P,Q > 0\) \[ \begin{align} f(P,Q) &= f(P,Q-1) + f(P-1,Q)\qquad\qquad (+)\\ &= \frac{(P+Q-1)!}{P!(Q-1)!} + \frac{(P-1+Q)!}{(P-1)!Q!}\\ &= \frac{(P+Q-1)!Q}{P!(Q-1)!Q} + \frac{(P-1+Q)!P}{(P-1)!PQ!}\\ &= \frac{(P+Q-1)!}{P!Q!} (Q+P)\\ &= \frac{(P+Q)!}{P!Q!} \end{align} \]
  - (+): اگر P + Q = N + 1، آنگاه P + Q-1 = N، به عبارتی با فرض استقرا.
    f(P,Q-1) = \(\frac{(P+(Q-1))!}{(P!(Q-1)!)}\), و به طور مشابه برای f(P-1, Q)
  - این نشان می‌دهد که دو فرمول برای f(P,Q معادل هستند.
  - پايان اثبات . ∎

چند وضعیت مختلف دارای سطرهای P و ستون‌های Q هستند؟
- به سادگی می‌توان از فرمول یکسان برای تمام وضعیت‌های اتصالات به یک مستطیل با سطرهای P-1 و ستون‌های Q-1 استفاده کرد که f(P-1,Q-1) است.

آیا وضعیت‌های برنده یا بازنده دیگری هم وجود دارد ؟
- اگر یک وضعیت دارای N شکلات باشد، آنگاه بازیکن ۱ گزینه‌های N را برای حرکت اول دارد. قادر بودن به حرکت اول به بازیکن ۱ مزیت می‌دهد و این باید به این معنی باشد که وضعیت‌های برنده بیشتری نسبت به وضعیت بازنده وجود دارد. در یک آیتم قبلی آن را تاسیس شد که چگونه بسیاری از وضعیت‌های بازنده در میان وضعیت با 2،3،4 یا 5 شکلات هستند. در اینجا برخی از اعداد که تایید روند است که شکلات‌های بیشتر یک وضعیت است، احتمال آن است که یک وضعیت برنده بالاتر است.
- # of tiles # of positions # of lose positions ٪ وضعیت بازنده
  20 627 42 6.69
  30 5604 220 3.92
  40 37338 1022 2.73
  50 204226 4976 2.43
  60 966467 20106 2.08
  70 4087968 76688 1.87
  80 15796476 270142 1.71
  90 56634173 897964 1.58
- چه تابعی از 2 استدلال '# از وضعیت' و '# وضعیت بازنده ' می‌دهد تقریبا همان ارزش برای هر سطر از جدول بالا؟
  - پاسخ در مورد کشف زیر داده می‌شود.

# of tiles	# of positions	# of lose positions	٪ وضعیت بازنده
20	627	42	6.69
30	5604	220	3.92
40	37338	1022	2.73
50	204226	4976	2.43
60	966467	20106	2.08
70	4087968	76688	1.87
80	15796476	270142	1.71
90	56634173	897964	1.58

فرضیه ای از کاریبو

پیش از این نشان داده بودیم که هر وضعیت یا یک برد است یا یک وضعیت بازنده. اثبات به ما یک روش مستقیم برای تعیین گام به گام برای تمام وضعیت‌ها که آیا آنها در حال بازنده و یا برنده شدن. چیزی که خاص بود این است که این روش نیازی به هیچ جستجو (تلاش کردن حرکت‌ها) نداشت. این ما را به یاد 'سیو از Eratosthenes' برای تعیین تمام اعداد اول تا برخی از اندازه.

دفعات بازدید : در مورد Sieve از Eratosthenes ، به عنوان مثال در اینترنت
- برای پیدا کردن تمام اعداد اول تا اندازه N²، که در آن N برخی از تعداد کامل است، یکی از موارد زیر را انجام دهد:
- - A: Start with the prime number p=2.
  - ب: عبور از تمام چند برابر p تا N².
  - ج: پیدا کردن بزرگترین عدد بعدی > p است که هنوز عبور نکرده است. اگر آن عدد > باشد، آنگاه الگوریتم متوقف می‌شود. در غیر این صورت با این عدد p تماس بگیرید و با گام B ادامه پیدا کنید.
- تمام عددهای تا N² که از هم عبور نمی‌کنند همه عددهای اول < N^{2 هستند}. می‌توان شبیه سازی این الگوریتم را بر روی https://en.wikipedia.org/wiki/Sieve_of_Eratosthenes

این قیاس الهام بخش ما بود که به شباهت‌های بیشتری بین عددهای اول و وضعیت بازنده فکر کنیم. منجر به فرضیه ای برای وضعیت‌های بازنده‌ای شد که شبیه به 'تئوری عددهای نخست' است. در اینجا جزئیات.

جدول : قیاس بین وضعیت بازنده در چامپ و عددهای اول :

شماره‌ها	چامپ
اعداد کامل بی نهایت زیادی وجود دارد.	وضعیت‌های بی نهایت چامپ وجود دارد.
اعداد اول و اعداد فاکتوری قابل فاکتوری وجود دارد.	وضعیت‌های ا بازنده و کسب وضعیت وجود دارد.
اعداد اول بی نهایت زیادی وجود دارد.	بی نهایت بسیاری از وضعیت‌های بازنده وجود دارد.
یک عدد فاکتوریزا محصول یک عدد اول و یک عدد است.	وضعیت برنده مجموع یک وضعیت بازنده و یک وضعیت است (زیرا آنچه در یک حرکت قطع می‌شود شکل پلکان دارد، و بنابراین یک وضعیت است).
هنگامی که یک عدد اول شناخته شده است، یکی می‌داند فورا بی نهایت بسیاری از اعداد فاکتوریز (تمام چند برابر از عدد اول).	هنگامی که یک وضعیت بازنده شناخته شده است، یکی می‌داند فورا بی نهایت بسیاری از وضعیت‌های برنده (تمام وضعیت‌های ناشی از پر کردن مستطیل گوشه، از جمله کسانی که آنهایی که بی نهایت طولانی در امتداد سطر بالا و ستون سمت چپ).
یک عدد بزرگ بسیار بیشتر احتمال دارد که به یک عدد اول کوچک قابل تجزیه باشد تا یک عدد اولبزرگ.	یک وضعیت بزرگ بسیار بیشتر احتمال دارد که به یک وضعیت بازنده کوچک کاهش یابد تا به یک وضعیت بازنده بزرگ.
برای تعیین اینکه آیا یک عدد N یک عدد اول است یا نه، دانستن تمام اعداد نخست P تا ریشه مربع N بسیار کارآمد است. سپس می‌توان بررسی کرد که آیا N را می‌توان با تقسیم به P کاهش داد یا خیر، به عنوان یکی از تقسیمات آزمایشی N / P.	برای تعیین اینکه آیا یک وضعیت P یک وضعیت بازنده است، لازم است بدانید که تمام وضعیت‌های بازنده L که در P موجود است. سپس می‌توان بررسی کرد که آیا P را می‌توان در یک حرکت به L کاهش داد یا نه.
'Sieve of Eratosthenes' یک راه کارآمد برای تعیین تمام اعداد نخست تا برخی از اعداد N است، بلکه برای بررسی اینکه آیا یک عدد داده شده یک عدد نخست است یا نه. این الگوریتم در بالا شرح داده شده است.	به طور مشابه به 'Sieve از Eratosthenes' یکی با وضعیت بازنده شروع می‌شود {1}، و عبور از تمام وضعیت‌های برنده است که به آن وضعیت بازنده در یک حرکت را کاهش می‌دهد. یکی پس از آن بازرسی تمام وضعیت با یک شکلات بیشتر. تمام وضعیت‌هایی که از آن عبور نمی‌کنند در حال وضعیت بازنده هستند.
ناکارآمدی باقی مانده از الگوریتم sieve شامل عبور از اعداد فاکتوریز به طور مکرر است.	ناکارآمدی باقی مانده از الگوریتم sieve شامل عبور از وضعیت‌های برنده بارها و بارها است.
چگالی اعداد نخست با اندازه آنها کاهش می‌یابد؛ i.e. نسبت (# از اعداد اول تا برخی از تعداد کل N) / N کاهش می‌یابد به عنوان N افزایش می‌یابد.	تراکم وضعیت بازنده با اندازه آنها کاهش می‌یابد؛ i.e. نسبت (# وضعیت بازنده با تا N شکلات) / (# از همه وضعیت با N شکلات) کاهش می‌یابد به عنوان N افزایش می‌یابد. (چالش: فرمول وابستگی این نسبت به N چگونه است و چگونه آن را با فرمول برای چگالی اعداد نخست مقایسه می‌کند؟).
Theorem prime number: (# of primes ≤ N) / (N / log(N)) → 1 as N → infinity.	فرضیه تمثیلی: (# وضعیت بازنده با شکلات N) / ((# از وضعیت با شکلات N) / ورود به سیستم (# از وضعیت با شکلات N)) → 0.283... به عنوان N → بی نهایت.

جدول : تفاوت بین وضعیت بازنده در چامپ و عددهای اول :

شماره‌ها	چامپ
مجموعه تمام اعداد یک مجموعه کاملاً سفارش داده شده است؛ يعني بين هر دو عدد، يکي ميدونه کدوم بزرگتره.	مجموعه تمام وضعیت‌های چامپ یک مجموعه تا حدی سفارش داده شده است. وضعیت‌ها را می‌توان به طور کامل در وضعیت‌های دیگر موجود است، اما نیاز ندارد.
عمل کاهش یک عدد به یکی از شمارنده‌های اول آن تقسیم است.	عملیات برای کاهش وضعیت به وضعیت بازنده تفریق شکلات است.
یک عدد را می‌توان به صورت یک بخش خط بر روی یک خط عدد یک بعدی تجسم کرد.	یک وضعیت از طریق فهرستی از اعداد مرتب شده بر اساس اندازه تعریف می‌شود و به این ترتیب یک شیء دوD است.

باز کردن سوالات :

آیا فرضیه (# وضعیت بازنده با N شکلات) / ((# از وضعیت با شکلات N) / ورود به سیستم (# از وضعیت با شکلات N)) → 0.283... همانطور که N → بی نهایت درست است؟

مي‌توانيد آن را ثابت کنيد ؟ (ما هنوز نمی‌توانیم :-) )

بازی چامپ که در بالا انجام شد نسخه ای از چامپ دو بعدی است. یعنی صفحه تنها ۲ بعدی است، دارای عرض و ارتفاع است.

آیا می‌توانید یک نسخه از چامپ 3-بعدی تصور کنید؟
- ساده ترین راه برای تصور اضافه کردن بعد جدید به بازی با اضافه کردن بعد سوم به صفحه است. به جای اینکه فقط یک عرض و ارتفاع باشد، صفحه جدید طول، عرض و ارتفاع خواهد داشت. اگر کسی مکعب‌های کمی برای بازی با آن داشت، مانند تاس، می‌توانستند این بازی سه بعد را همان طور که در تصویر زیر نشان داده شده است، انجام دهند.
- در هنگام انجام یک حرکت، یکی مکعب انتخاب شده و همچنین هر مکعب به سمت چپ، بالا و بالای مکعب انتخاب شده را حذف می‌کرد. یک حرکت نمونه به رنگ زرد در تصویر برجسته شده است که تمام شکلات‌های سبز در تصویر را نیز حذف می‌کند. کسی که آخرین شکلات را می‌گیرد که با شکلات قرمز در تصویر نشان داده شده است، بازیکنی است که بازی را از دست می‌دهد.
- برای آسان تر کردن بازی با مکعب‌های واقعی، می‌توان مکعب‌ها را در برابر گوشه ای مانند گوشه یک جعبه کفش هل داد، به طوری که شکلات قرمز در گوشه بسیار جعبه قرار دارد، و تنها یک بار قابل دسترسی است که تمام مکعب‌های دیگر نیز حذف شده اند. با استفاده از یک جعبه لازم نیست، اما آن را مکعب تثبیت و آن را آسان تر به حذف مکعب بدون ضربه زدن به کل ساختار بیش از.

چه در مورد بازی چامپ در ابعاد حتی بیشتر؟
- پیش از این ما تعیین کرد که آن را به اندازه کافی آسان برای اضافه کردن یک بعد جدید به یک بازی چامپ . اگر کسی می‌خواست چامپ را در بعد حتی بالاتر از سه بعدی بازی کند، به اضافه کردن ابعاد جدید به صفحه چامپ ادامه می‌دهد. با این حال، پس از 3D هیچ راهی برای شبیه سازی یک صفحه چامپ با استفاده از بلوک‌های دیگر وجود دارد. با این حال یک راه برای شبیه سازی بازی چامپ با استفاده از مداد و کاغذ وجود دارد، و این روش به ما اجازه می‌دهد تا بازی را در هر تعداد از ابعاد، نه تنها 2D یا 3D.
- ما کار خود را با انجام یک بازی 2-بُعدی چامپ بر روی کاغذ شروع خواهیم کرد. روشی که می‌توان بازی را شبیه‌سازی کرد این است که ابتدا با انتخاب شماره‌ای که فقط ۲ عامل اول مختلف دارد. به عنوان مثال، 72 = 2³ x 3². سپس تمام شمارنده‌های این عدد را به صورت مستطیل می‌نویسیم، همانطور که در زیر نشان داده شده است.
- 72 36 18 9
  24 12 6 3
  8 4 2 1
- هر عدد همسایه مناسب توسط یک عامل ۲ کوچکتر است و هر عدد همسایه در زیر توسط یک عامل ۳ کوچکتر است. برای انجام یک حرکت در این هیئت مدیره، یک عدد را انتخاب کنید. سپس آن عدد را به همراه هر یک از شمارنده‌های آن حذف می‌کردید. هر شماره ۷۲ را می‌گیرد بازی را از دست می‌دهد.
- برای داشتن مستطیل اولیه بزرگتر، می‌توان با استفاده از فرمول ۲^P x ۳ Q عدد بزرگتری پیدا^کرد. با جایگزینی P و Q با اعداد بزرگتر، یک صفحه بزرگتر و بزرگتر برای چامپ دوبُعدی دریافت کنید.
- چگونه می‌توان این شبیه‌سازی را به بُعدهای بالاتر گسترش داد ؟
  - برای گسترش این مداد و نسخه کاغذی چامپ از 2D به 3D, یکی به سادگی نیاز به گسترش فرمول مورد استفاده برای پیدا کردن شماره شروع. به جای انتخاب عدد که تنها ۲ شمارنده اول دارد، یک عدد را انتخاب می‌کرد که ۳ شمارنده اول مختلف دارد. ما می‌توانیم از فرمول جدیدی برای پیدا کردن این عدد استفاده کنیم که به این قرار است: ۲^P x ۳^Q x ۵^R. سپس با استفاده از روش‌های مشابه قبل می‌توان بازی را در ۳ بعد شبیه سازی کرد. رفتن به ابعاد حتی بزرگتر به سادگی نیاز به اضافه کردن اعداد اول جدید به فرمول، بسته به تعداد ابعاد شما می‌خواهید.