Knot Colouring ©

دو تا از سه نمودار زیر

بی‌گره

گره توزون-سیکورا

گره 8-19

بدون برش خط‌های گره می‌توانند به یکدیگر تبدیل شوند.

شما فکر می‌کنید کدامیک از آنها هستند؟

در ادامه شما یاد می‌گیرید که چگونه از رنگ‌پذیری استفاده کنید تا اینکه بتوانید تشخیص دهید که دو نمودار، متعلق به گره‌های مختلف هستند یا خیر. با بررسی 3-رنگ‌پذیری می‌توان فهمید که کدام نمودارها قطعا نمی‌توانند به یکدیگر تغییر شکل دهند.
در غیر این صورت، روش زیر نشان می‌دهد که چگونه نمودار توزون-سیکورا را به یک دایره تبدیل کنیم.

اثبات اینکه نمودار توزون-سیکورا بی‌گره است.

طرح اولیه

یک حرکت ریدمیستر3 (R3)

بعد از انجام حرکت و کشش

عبور کاهش حرکت عبور

بعد از انجام حرکت و کشش

عبور کاهش حرکت عبور

بعد از انجام حرکت و کشش

عبور کاهش حرکت عبور

بعد از انجام حرکت و کشش

عبور کاهش حرکت عبور

بعد از انجام حرکت و کشش

عبور کاهش حرکت عبور

بعد از انجام حرکت

عبور کاهش حرکت عبور

بعد از انجام حرکت

یک حرکت ریدمیستر2 (R2)

بعد از انجام حرکت

یک حرکت ریدمیستر1 (R1)

بعد از انجام حرکت

یک حرکت ریدمیستر1 (R1)

بعد از انجام حرکت

یک حرکت ریدمیستر1 (R1)

بعد از انجام حرکت

یک حرکت ریدمیستر1 (R1)

بعد از انجام حرکت

نمودار بی‌گره و توزون-سیکورا همراه با بی نهایت نمودار معادل آنها متعلق به یک گره ریاضی، در اینجا بی‌گره هستند. چگونه می‌توان متوجه شد که دو نمودار هرگز نمی‌توانند به یکدیگر تبدیل شوند، مهم نیست که چقدر بزرگ می‌شوند؟ خاصیتی که هنگام تغییر شکل نمودار تغییر نمی‌کند، یک "ثابت گره" (غیر متغیر) نامیده می‌شود.

به عنوان یک مثال از یک ثابت گره، می‌توانیم حداقل تعداد تقاطع در تمام بی نهایت نمودار معادل یک نمودار را در نظر بگیریم. پیدا کردن این ثابت دشوار است زیرا نمی‌توان همه نمودارهای معادل یک نمودار را بررسی کرد.

اما چه خاصیتی از گره می‌تواند یک ثابت گره باشد و در یک نمودار داده شده قابل محاسبه باشد؟ وقتی که بتوان یک نمودار را به هر روش دلخواهی تغییر شکل داد، تصور اینکه کدام ویژگی یک نمودار با تغییر شکل آن تغییر نمی‌کند دشوار است.

ویژگی 3-رنگ‌آمیزی یک ثابت گره است.

برای توضیح آن، از رشته‌ها استفاده می‌کنیم که بخشی از خط گره هستند و می‌توانند بدون برداشته شدن قلم از روی کاغذ رسم شوند. در هر تقاطع 3 رشته دیده می‌شود. یکی رشته روگذر است و هر طرف آن یک رشته دیگر دیده می‌شود که اگر به هم وصل شوند رشته زیرگذر را می‌سازند.وقتی که می‌گوییم « نمودار یک گره 3-رنگ‌پذیر است » یعنی با سه رنگ قابل رنگ‌آمیزی است و می‌توانیم به هر رشته ، یکی از 3 رنگ را نسبت دهیم به طوری که در هر تقاطع 1 یا 3 رنگ داشته باشیم، نه 2 رنگ. رنگ‌آمیزی همه رشته‌ها با یک رنگ همیشه امکان‌پذیر است اما آن را کنار می‌گذاریم زیرا هیچ اطلاعاتی به ما نمی‌دهد. حداقل از 2 رنگ باید استفاده شود.

کدام یک از سه نمودار ، 3-رنگ‌پذیر است؟

3-رنگ‌پذیری یک ثابت گره ضعیف است زیرا کمترین مقدار ممکن اطلاعات را به ما می‌دهد، فقط یک بلی یا خیر. این ثابت تنها قادر است که تمام گره‌ها را به دو دسته تقسیم کند، گره هایی که 3-رنگ‌پذیر هستند و آنهایی که 3-رنگ‌پذیر نیستند.

N-رنگ‌پذیری

ما می‌توانیم تمام گزاره‌های حساب پیمانه‌ای را ، با معرفی یک ضریب k و فرمول‌بندی مجدد معادله ≡ به عنوان یک معادله جبری معمولی، ثابت کنیم. برای خلاصه‌نویسی در فرمول‌ها و متن ، موارد زیر را رعایت می‌کنیم.
تمام عددهای مورد استفاده، عددهای صحیح هستند.
"pq" به جای "p × q"،
"∃" به جای "وجود دارد"،
':' برای "با خاصیت"، و
"A → B" برای "اگر A درست باشد آنگاه B هم درست است" .

ثابت کنید : اگر (پیمانه N) a ≡ b و (پیمانه N) c ≡ d آنگاه (پیمانه N) (a+c) ≡ (b+d)

ثابت کنید : اگر (پیمانه N) a ≡ b آنگاه برای هر عدد صحیح m داریم : (پیمانه N) ma ≡ mb.

ثابت کنید : اگر (پیمانه PQ) a ≡ b آنگاه : (پیمانه P) a ≡ b.

چون (پیمانه PQ) a ≡ b
پس یک عدد صحیح k وجود دارد بطوریکه : a = b + k(PQ)
و یا a = b + (kQ) P
و در نتیجه : (پیمانه P) a ≡ b

آیا عکس این گزاره درست است؟

از نظر شهودی ، چرا قبول می‌کنیم که عکس این گزاره درست نیست؟

در یک معادلههمنهشتی به پیمانه N ، دو طرف ≡ می‌توانند N مقدار ناهمنهشت داشته باشند. در یک همنهشتی به پیمانه NM ، دو طرف ≡ می‌توانند NM مقدار مختلف (ناهمنهشت) داشته باشند. بنابراین یک همنهشتی به پیمانه NM ، شامل اطلاعات بیشتری نسبت به یک همنهشتی به پیمانهN است. صرف نظر کردن از قسمتی از اطلاعات ، با رفتن از پیمانه NM به پیمانه N آسان است اما معکوس آن یعنی ، ایجاد اطلاعات جدید از از اطلاعات قبل ، دشوار و شاید غیرممکن است. به طور کلی، در این بحث ، تساوی معمولی ، یعنی = ، معادل با همنهشتی به پیمانه ∞ (بی نهایت) است.

به عنوان یک بحث جانبی، مفهوم همنهشتی این امکان را می‌دهد که در برنامه‌های کاربردی که در آنها ، جواب سوال شامل اعداد صحیح است و شخص به دنبال یک جواب در قالب یک معادله با استفاده از "=" است و در ضمن می‌داند که یک کران بالا برای قدر مطلق عددهای جواب وجود دارد، یک ایده ممکن برای حل مساله این است که کار را با پیدا کردن یک جواب در پیمانه N به ازاای برخی از عددهای اول کوچک N شروع کرده و سپس جواب‌های به پیمانه N ^ 2 و N ^ 4 و . . . محاسبه شود تا زمانی که توان N از کران بالای جواب بیشتر شود و سپس می‌توان (پیمانه N) را رها کرد و راه حل دقیق با استفاده از = را پیدا کرد.

چنین روشی به نام Hensel lifting می‌تواند برای تجزیه چند جمله‌ایهای یک متغیره ، ابتدا با توجه به برخی از اعداد اول کوچک و سپس بر روی تمام اعداد صحیح ، استفاده شود.

ثابت کنید : (پیمانهN) ( b به پیمانه N) + ( a به پیمانه N) = a+b

ثابت کنید : (پیمانهN) ( b به پیمانه N) × ( a به پیمانه N) = a×b

ثابت کنید که اگر P(x,y,...) یک چندجمله‌ای با متغیرهای x و y و . . . باشد آنگاه : (پیمانه N) ( . . . , ( y به پیمانهN) , ( x به پیمانهN) )P ≡ ( . . . , y , x(P

ثابت کنید: در حساب پیمانه‌ای به پیمانه یک عدد اول، حاصل تقسیم بر یک عدد صحیح (غیر صفر) ، یک عدد صحیح خواهد بود.

چه موقع همنهشتی (پیمانه N) ma ≡ mb با همنهشتی (پیمانه N) a ≡ b معادل است؟

قضیه باقیمانده چینی

همانطور که قبلا در «کمی غذا برای ذهن» و در قسمت > مقدمه با تعریف‌ها > حرکت های ریدمیستر گفته شده است ، 3 حرکت ریدمیستر برای انجام هر گونه تغییر شکل یک نمودار گره کافی هستند. بنابراین، برای اینکه N-رنگ‌پذیری یک ثابت گره باشد ، فقط باید نشان داد که ویژگی‌های آن با انجام این سه حرکت تغییر نمی‌کند.

چگونه می توان نشان داد که یک حرکت ریدمیستر1رنگ‌پذیری گره را تغییر نمی‌دهد؟

چگونه می‌توان نشان داد که یک حرکت ریدمیستر2 رنگ‌پذیری گره را تغییر نمی‌دهد؟

چگونه می‌توان نشان داد که یک حرکت ریدمیستر3 رنگ‌پذیری گره را تغییر نمی‌دهد؟

اگر کسی یک رنگ‌آمیزی داشته باشد، چه رنگ های دیگری را می توان از ان برای هر نمودار گره به دست اورد؟

آیا رنگ‌پذیری به پیمانه 2 معنی دار است؟

در مورد(پیمانه N)رنگ (2N)، یعنی مدول یک عدد حتی؟

برای کدام عدد N ، N-رنگ‌پذیری بدیهی نیست و مفید خواهد بود؟

ایا دانستن تمام رنگ‌آمیزی ها mod P و mod Q کافی است که در ان P و Q برای دانستن تمام رنگ ها mod (PQ) همکاری می کنند؟

کدام حرف باید ارزش داشته باشد؟

برای تصمیم گیری در مورد رشته بعدی، Enter را فشار دهید تا معادلات را با تعداد حروف خود مرتب کنید، یعنی با فوریت.
اگر یک معادله دارای چندین حرف است، یکی را انتخاب کنید که در اکثر معادلات دیگر رخ می دهد تا معادلات بیشتری ساده شود زمانی که یک عدد اختصاص داده می شود. معادل ان، ماوس را روی معادله حرکت دهید، گذرگاه دایره ای را ببینید و در این گذرگاه ان رشته رنگ نشده را کلیک کنید که بیشترین عبور را دارد.
حروف سمت راست ≡ سریعتر از حروف سمت چپ محاسبه می شوند. برای محاسبه یک حرف در سمت چپ، نیاز به تقسیم بر ۲ است که ممکن است نیاز به اضافه کردن N به سمت راست برای تبدیل شدن به مساوی داشته باشد. این کار دشوار نیست اما در یک مسابقه زمان دشوار است. به همین دلیل، هنگام حدس زدن ارزش یک حرف ممکن است یک حرف در سمت چپ یک ≡.
برای صرفه جویی در وقت، نگران محاسبه مقادیر در بازه 0..N-1 نباشید. ارزش ها می توانند منفی یا خودسرانه بزرگ باشند. اگر انها درست باشند، یک معادله بنفش سبز می شود و این تنها چیزی است که اهمیت دارد.

کدام ارزش باید تعیین شود؟

اگر یک معادله تنها یک حرف باقی مانده باشد، پس زمینه بنفش است و سپس هیچ انتخابی وجود ندارد، مقدار باید محاسبه شود تا معادله سبز شود. مثال ها را در دستورالعمل ها ببینید.
همانطور که در بالا نشان داده شده است در این بخش > "اگر کسی یک رنگ داشته باشد ..." بخش، مقادیر تمام حروف را می توان با همان مقدار ثابت منتقل کرد. بنابراین اولین حرفی که می خواهید اختصاص دهید می تواند مقدار 0 بدون از دست دادن کلیت داده شود. هیچ مقدار دیگری برای ان حرف امتحان نمی شود زیرا همیشه می توان ان مقدار را به صفر تغییر داد.
برای حرف دوم به رنگ باید فقط دو مورد را در نظر بگیرید: 1) همان مقدار حرف اول، یعنی 0 و 2) مقدار متفاوتی دارد. در این حالت فقط باید 1 را در نظر بگیریم زیرا دیدیم که تمام اعداد می توانند با 2 ضرب شوند. (N-1) (که در ان N عدد اول رنگ های موجود است) و هنوز هم یک راه حل معادل دارد. لطفا مرجع این بخش > "اگر کسی یک رنگ داشته باشد ..." به عنوان مثال، اگر N = 5 و یک مقدار متفاوت برای حرف دوم اختصاص داده شده، مانند 3 را امتحان کرده و یک راه حل به دست اورده باشد، ضرب این مقدار (و تمام مقادیر دیگر) با 2 باعث می شود 3 به 3×2 = 6 ≡ 1 mod 5 بنابراین به 1. بنابراین حرف دوم فقط باید به صورت 0 و 1 امتحان شود.
تست ها نیز یک سوال از زمان است. می توان با وارد کردن اعداد منفی در زمان صرفه جویی کرد، زمانی که انها سریعتر از اعداد مثبت محاسبه می شوند. رابط کاربری نیازی به اعداد در محدوده 0..N-1 ندارد.
هنگامی که یک معادله قرمز می شود، شرط ≡ براورده نمی شود و حداقل یک عدد باید تغییر کند. سپس عدد دیگری را امتحان کنید. به منظور از دست دادن اعداد، می توان اعداد را به ترتیب 0،1,...,N-1 امتحان کرد و زمانی که رنگ‌آمیزیپیدا شد، متوقف شد.
هنگام عقب نشینی با کلیک کردن بر روی دکمه خنثیسازی، اگر کسی یک معادله بنفش را ببیند، می تواند دوباره بدون فکر کردن روی دکمه خنثی سازی کلیک کند. دلیل ان این است که معادله بنفش تنها یک حرف دارد و برای این حرف تنها یک مقدار ممکن (mod N) وجود دارد، بنابراین هیچ مقدار دیگری برای این حرف در این وضعیت مورد ازمایش قرار نمی گیرد.
برای جستجوی سیستماتیک و از دست دادن هر گونه امکان رنگ‌آمیزی، می توان با اختصاص دادن هر متغیر مقدار 0 شروع کرد که راه حل بی اهمیت را می دهد و سپس شروع به عقب نشینی برای دریافت یک راه حل غیر بی اهمیت می کند.
نمودار گره مورد استفاده در این بازی در حال حاضر تعداد کمی از گذرگاه. اما اگر نمودارها حداقل نباشند، ابتدا ساده کردن انها سودمند خواهد بود. بدون تکنیک های فوق برای سرعت بالا، باید رنگ‌آمیزی N^C را امتحان کنید که N تعداد رنگ ها و C تعداد گذرگاه ها = تعداد رشته ها است. کاهش تعداد گذرگاه ها تنها با 1، تلاش را با یک عامل N کاهش می دهد.

بله. گره با کمتر از 12 گذرگاه که هیچ رنگ‌آمیزی 10₁₂₄، 10₁₅₃، 11n₃₄، 11n₄₂، 11n₄₉، 11n₁₁₆ و، البته، unknot. شکل نشان می دهد یک نمودار از گره 10₁₂₄.

نمودار با برچسب " توزون-سیکورا " در بالای صفحه تنها یکی از بی نهایت بسیاری از نمودارهای unknot است و بنابراین نیز رنگی نیست.

بله، این متغیرهای اضافی تعدد راه حل ها هستند، یک تعدد برای هر تعداد رنگ موجود. برای درک نظرات زیر برخی از دانش جبر خطی مفید است.

اگر یک نمودار گره دارای گذرگاه C باشد، رشته های C نیز دارد و بنابراین سیستم شرایط دارای ماتریس ضریب C×C است که در ان هر ردیف نشان دهنده یک عبور است و شامل دو -1 و یک 2 یا +1 و -1 (عبور از حلقه ریدمیستر1) است. هر ستون مربوط به یک رشته است و دارای 2 است که رشته دارای بیش از حد عبور می کند و یا دو -1 یا یک -1 و یک + 1 است.

شرایط یک سیستم خطی همگن را تشکیل می دهند (سمت راست فقط شامل 0 است) و سوال این است که اعداد رنگ‌آمیزی را پیدا کنیم که راه حل های مستقل خطی غیر مهم (رنگ‌آمیزی) وجود دارد.

مانند جبر خطی، ماتریس با تعویض ردیف ها و اضافه کردن چند ردیف به ردیف های دیگر به شکل مورب تبدیل می شود. علاوه بر این، این مراحل نیز با ستون ها انجام می شود. چیزی که در اینجا مجاز نیست ضرب ردیف ها و ستون ها در یک عدد است زیرا این امر یک مدولو شماره رنگ را اضافه می کند که تعیین کننده ماتریس صفر است و رنگ‌آمیزی اضافی را اضافه می کند. انچه در عوض انجام می شود این است که بارها و بارها 2 جزء غیر صفر از یک ستون / ردیف، می گویند A، B، برای استفاده از الگوریتم اقلیدس گسترش یافته برای پیدا کردن p،q، رضایت pA + qB = GCD (A، B). p،q ضرب کننده دو ردیف / ستون است. پس از تعویض ردیف ها / ستون ها، GCD (A، B) به عنصر مورب تبدیل می شود. نتیجه یک ماتریس مورب به نام Smith Normal Form است که معمولا گوشه بالا سمت چپ با 1 شروع می شود و به دنبال ان اعدادی هستند که هر عامل عدد بعدی در مورب هستند. اخرین عنصر مورب صفر است زیرا هر نمودار گره اجازه رنگ‌آمیزی بی اهمیت را فقط با استفاده از یک رنگ می دهد. بنابراین برای محاسبه فرم نرمال اسمیت پس از انداختن هر ستون و یک ردیف کافی است.

محاسبه تعیین کننده ماتریس ضریب C×C صفر می دهد زیرا ستون ها به صفر اضافه می شوند. محاسبه تعیین کننده پس از رها کردن یک ردیف و یک ستون یک عدد را نشان می دهد که محصول اعداد در مورب فرم نرمال اسمیت است. بنابراین فرم عادی اسمیت اطلاعات بیشتری در مورد همان تلاش می دهد.

مثال: برای این نمودار با 83 عبور، ماتریس ضریب دارای اندازه 83×83 است.

فرم نرمال اسمیت دارای یک مورب است که از گوشه بالا سمت چپ با 79 بار در 1 شروع می شود و پس از ان 3، 3، 85837301265 (= 3 x 5 x 5722486751)، 0. این بدان معنی است که سه رنگ مستقل 3 رنگ و یک رنگ 85837301265 وجود دارد که نشان می دهد ان را نیز دارای 5 رنگ، 15 رنگ، 3x5722486751-رنگ و 5x5722486751-رنگ.

اگر یک نمودار رنگ‌آمیزی نداشته باشد، تمام اعداد مورب 1 به جز 0 در موقعیت اخر هستند.

نمودار زیر متعلق به گره 12a₈₀₁ است.

فرم نرمال اسمیت (SNF) در قطر 9 1s و پس از ان 3،45،0 است. در این شکل هر عدد یک عامل از عدد مورب بعدی است. و تعدد رنگ‌آمیزی تعداد عناصر مورب است که در ان به عنوان یک عامل رخ می دهد. بنابراین هر نمودار این گره دارای دو رنگ مستقل 3 رنگ و یک 45 رنگ است که نشان می دهد ان را نیز دارای یک رنگ 5،9،15 رنگ است.

ایا یک مرور کلی از رنگ های احتمالی گره های اصلی تا برخی از اندازه ها وجود دارد؟

فایل متنی https://cariboutests.com/qi/knots/colour3-15-N.txt لیست برای هر گره با شماره عبور ≦ 15 تمام ورودی های فرم نرمال اسمیت که 0 یا 1 نیستند. این اعداد از یک نمودار محاسبه شده اند اما ثابت هستند و بنابراین هنگام محاسبه از هر نمودار ان گره یکسان هستند. اگر تصاویری از گره های رنگی را دوست دارید، می توانید یک پوستر از مجموعه پوستر ما را با کلیک بر روی صفحه اصلی "Home" > "Posters" که منجر به https://cariboutests.com/images/posters/knot_colouring_portrait.pdf می شود، دانلود کنید.

N-coloring به عنوان یک ثابت چقدر قوی است؟

جدول زیر نشان می دهد که چگونه استفاده از رنگ‌آمیزی بیشتر، تعداد کلاس های ثابت گره ها را افزایش می دهد و در نتیجه تعداد گره های متوسط در هر کلاس را کاهش می دهد. ستون سمت راست نشان می دهد که چگونه ریشه (#cr - 3) ریشه تعداد کلاس های ثابت رنگ‌آمیزی تقریبا ثابت باقی می ماند، جایی که تعداد عبور گره ها #cr دارد.

جدول 1: امار متغیر رنگ arount

# of cr: # of crossings
# از kn: # از گره ها
# از cl1: # از کلاس ها در هنگام در نظر گرفتن تنها لیستی از اعداد رنگ‌آمیزی اول
# از cl2: # از کلاس زمانی که در نظر گرفتن تنها لیست از چند عدد اول رنگ‌آمیزی
# cl3: # از کلاس ها هنگام در نظر گرفتن لیستی از اسمیت عادی فرم نوشته ها <> 1
ABS: exp (ln (noofcl3 [cr]) / (cr-3))
= (cr-3)th root of (# of cl3)

# از cr	# از kn	# cl1	KN / CL1	# cl2	KN / CL2	# cl3	KN / CL3	فارسی
3	1	1	1.00	1	1.00	1	1.00
4	1	1	1.00	1	1.00	1	1.00	1.000
5	2	2	1.00	2	1.00	2	1.00	1.414
6	3	3	1.00	3	1.00	3	1.00	1.442
7	7	7	1.00	7	1.00	7	1.00	1.627
8	21	13	1.62	14	1.50	16	1.31	1.741
9	49	25	1.96	29	1.69	33	1.48	1.791
10	165	47	3.51	53	3.11	62	2.66	1.803
11	552	81	6.81	93	5.94	116	4.76	1.812
12	2176	136	16.00	162	13.43	203	10.72	1.805
13	9988	234	42.68	271	36.86	342	29.20	1.792
14	46972	409	114.85	488	96.25	623	75.40	1.795
15	253293	722	350.82	855	296.25	1100	230.27	1.792

چگونه بزرگترین عدد ررنگ‌آمیزی برای گره های با گذرگاه C به C بستگی دارد؟

اگر کسی تمام گره ها را با عبور از عدد C (<16) بگیرد و از این گره ها یکی با بالاترین عدد رنگ‌آمیزی N_max را پیدا کند، جدول زیر نشان می دهد که N_max با افزایش C توسط 1 تقریبا با ضریب 1.7 رشد می کند.

جدول 2: جدول B (C) = N_حداکثر^{1 / (C-1)}

C	N_max	گره	B (C)
3	3	3₁	1.732
4	5	4₁	1.710
5	7	5₂	1.627
6	13	6₃	1.670
7	19	7₆	1.634
8	37	8₁₇	1.675
9	61	9₃₃	1.672
10	109	10₁₁₅	1.684
11	199	11a₃₀₁	1.698
12	353	12a₁₁₈₈	1.705
13	593	13a₄₆₂₀	1.703
14	1103	14a₁₆₄₇₆	1.714
15	1823	15a₆₅₆₀₆	1.710

AsciiKnots یک برنامه کامپیوتری برای محاسبه یک نمودار گره داده شده تمام اعداد رنگ‌آمیزی با محاسبه فرم نرمال اسمیت ماتریس ضریب است. اگر نمودار گره گذرگاه های زیادی نداشته باشد، با جستجوی بهینه سازی شده ازمون و خطا برای یک شماره رنگ‌آمیزی داده شده همه رنگ ها یا تمام اعداد رنگ‌آمیزی از جمله رنگ‌آمیزی انها محاسبه می شود.

به غیر از رنگ‌آمیزی، برنامه می تواند خیلی بیشتر محاسبه کند. می توان ان را از https://cariboutests.com/games/knots/AsciiKnots.tar.gz دانلود کرد. AsciiKnots تحت لینوکس اجرا می شود. کاربران سختگیر ویندوز می توانند لینوکس اوبونتو را به صورت رایگان به عنوان یک برنامه تحت ویندوز 10 نصب کنند. دستورات لینوکس برای حذف نسخه های قدیمی دانلود شده، برای دانلود اخرین نسخه، باز کردن ان و شروع ان هستند


        rm AsciiKnots.tar.gz 

        wget https://cariboutests.com/games/knots/AsciiKnots.tar.gz 

        tar xfz AsciiKnots.tar.gz 

        ./AsciiKnots

قابلیت رنگ‌آمیزی محدود نیز در https://cariboutests.com/games/knots/knoteditor/ پس از انتخاب "Tools" > "Color Knot" در دسترس است.

[1] R. H. Fox, Metacyclic invariants of knots and links, Canadian Journal of Mathematics 22 (1970) 193−201.
[2] J. H. Przytycki, 3-coloring and other elementary invariants of knots. Banach Center Publications, Vol. 42, “Knot Theory”, Warszawa, 1998, 275−295.
[3] D. Rolfsen, Table of Knots and Links. Appendix C in Knots and Links. Wilmington, DE: Publish or Perish Press, pp. 280-287, 1976.
[4] J. C. Cha and C. Livingston, KnotInfo: Table of Knot Invariants, http://www. indiana.edu/~knotinfo
[5] “Colour Classification of Knots with Crossing Number up to 15”, https:// cariboutests.com/qi/knots/colour3-15.txt
[6] T. Wolf, “A Knot Workbench”, https://cariboutests.com/games/knots/AsciiKnots.tar.gz

رنگ‌آمیزی گره