Мы используем эту возможность для практики математического формализма и будем группировать утверждения в

• Гипотеза (предлагаемое утверждение в качестве отправной точки для дальнейшего исследования)
• Определение (объяснение значения слова или фразы)
• Теорема (смелое утверждение)
• Лемма (минорное высказывание)
• Доказательство (утверждения, которые без сомнения показывают, что теорема или лемма верны. Символ □ будет указывать на конец доказательства.)
• Colongary (утверждение, которое следует непосредственно из теоремы или леммы)

Нет. Статус фонаря зависит только от количества щелчков, сделанных на самом светильнике и на соседних светильниках, а не от порядка щелчков. Если общее количество нажатий на свет и на его соседей равномерно, то свет не меняет своего состояния. Если число нечетное, то статус меняется, независимо от порядка кликов.

Пример:

Выберите два разных соседних источника света, скажем, А и В. Затем кликаем по ним в порядке А, Б, Б, А. Что в итоге? Ничего не изменилось, потому что В, В не имеет никакого эффекта, и А, А также не имеет эффекта.

Теперь давайте поменяем порядок первых двух кликов и кликнем их в порядке B, A, B, A. Что в итоге? Опять ничего не изменилось. Порядок первых двух кликов не имел значения. То же самое происходит, если мы нажимаем две кнопки по два раза в любом порядке. Порядок кликов не имеет значения.

Один из способов снижения количества кликов заключается в следующем.

Во время решения головоломки для каждого источника света записывается количество щелчков, сделанных на этом свете. После этого каждое четное число щелчков на фонаре устанавливается равным нулю, а каждому нечетному числу щелчков равным 1. Новая последовательность имеет тот же эффект и также является решением.

Определение:Последовательность щелчков называется сокращенной , если каждый источник света нажимается не более одного раза. Описанный выше процесс называется редукцией.

В последовательности может быть только столько щелчков, сколько источников света, потому что в уменьшенной последовательности каждый источник света щелкает не более одного раза. Таким образом, если доска имеет высоту h и ширину w , то есть h×w свет, и сокращенная последовательность может иметь максимум h×w много кликов.

Поскольку порядок щелчков не имеет значения, достаточно знать для каждого источника света, щелкает ли он в решении или нет. Поэтому для полного перебора будет достаточно попробовать кликнуть по всем комбинациям всех огней.

Если на плате есть h×w лампы, то есть 2 их комбинации^h×w (по 2 варианта для каждой лампочки, независимо от того, кликнут ли она в этой комбинации или нет). Такой поиск методом перебора занял бы слишком много времени. Однако, если включена функция «Справочные заметки» (недоступна в конкурсах), то можно просто нажать на все лампочки один за другим и проверить, не приблизил ли вас этот клик к решению. Если да, то оставьте его, в противном случае нажмите на него еще раз.

Лемма:

Если на прямоугольной сетке все источники света горят и на каждый светильник нажимают один раз, то после этого угловые огни ГАСНУТ (O), все остальные огни по краям горят (#) и все оставшиеся огни выключены (O), как показано на этой доске 4 x 4:

            # # # #      O # # O
            # # # #      # O O #
            # # # #      # O O #
            # # # #      O # # O

            before       after

Доказательство:

Начнем с того, что каждый светильник сам по себе щелкает и, следовательно, переключается один раз. Каждый фонарь также включается при нажатии на соседнюю лампочку.

Следовательно, если количество соседних огней четное, то свет будет включен дополнительное четное количество раз, то есть в общей сложности нечетное количество раз. Следовательно, он все равно будет выключен, если он был включен изначально.

Аналогично, если количество соседних огней нечетное, то свет будет включен еще нечетное количество раз, то есть в сумме четное количество раз. Следовательно, он все равно будет включен, если он был включен изначально.

Подсчитав число соседей каждого светильника, мы получаем формулировку леммы. □

Если каждый свет нажимается четное количество раз, то уменьшение (объясненное ранее) дает ноль щелчков каждого света, и тогда неудивительно, что все лампы остаются включенными. Но существует ли сокращенная последовательность щелчков, которая начинается и заканчивается при включенных индикаторах?

Определение:

Сокращенная последовательность, включающая хотя бы один щелчок, называется циклом , если все огни имеют одинаковое состояние до и после этой последовательности.

Мы будем искать циклы, начиная со всех включенных огней и заканчивая включенными всеми огнями. Такой цикл оставит без изменений и все остальные начальные состояния, т.е. если мы начнем с платы с включенными и выключенными лампами, и выполним этот цикл, те же самые лампы будут гореть и выключаться. Понимаете почему?

Одна из возможностей найти цикл — это

• Запуск при включенных индикаторах
• имеют две разные сокращенные последовательности, которые выключают один и тот же свет, например, выключают все огни
• Объедините обе последовательности в одну последовательность, которая, если начаться с включенными всеми огнями, закончится с включенными всеми огнями
• Уменьшите эту объединенную последовательность, чтобы получить цикл. Этот сокращенный цикл содержит клики, потому что обе объединенные последовательности были разными, поэтому в одной последовательности должен быть хотя бы один клик, которого нет в другой исходной последовательности. В сокращенной комбинированной последовательности будет этот щелчок.

Для каких размеров досок это возможно? Для конкретного размера доски можно ответить на этот вопрос, сформулировав линейную алгебраическую систему уравнений и исследуя ее. Подробнее об этом можно прочитать в ссылках, приведенных ниже.

Давайте начнем с того, что все огни включены (#) и нажмем на каждый индикатор ровно один раз. Мы знаем, мы получаем

            O # # O
            # O O #
            # O O #
            O # # O

Потому что мы ищем цикл, т.е. начиная и заканчивая всеми включенными огнями, мы пытаемся нажать на все огни, которые выключены (показаны как O) один раз, что не только зажжет их, но и оставит все остальные огни включенными. Пожалуйста, убедитесь в этом сами.

Чтобы напомнить себе: сначала мы нажали на все источники света, а затем снова нажали на огни на обеих диагоналях. Поэтому мы дважды щелкнули по диагоналям. Сократив всю эту последовательность, все двойные щелчки по диагональным источникам света будут отброшены, и останутся только щелчки по # огням на приведенной выше доске. Итак, мы начали с включенным светом и закончили с включенным светом. Таким образом, 8 кликов по # на приведенной выше доске образуют цикл! УРА, мы нашли цикл! 🥳

Пожалуйста, попробуйте и убедитесь в том, что нажатие на 8 огней, отмеченных # выше, не меняет огни доски 4×4. Это лучше всего видно при запуске с включенными всеми лампами.

Если цикл известен, то это может быть использовано для еще большего сокращения последовательности кликов.

Лемма:

Если известен цикл с c большим количеством кликов и дана последовательность, из которых n кликов принадлежат к циклу, то замена этих n кликов на c-n кликов, которых нет в цикле, дает эквивалентную последовательность.

Доказательство:

Это доказательство является конструктивным, т.е. показывает, как построить такую последовательность.

Если мы добавим последовательность к циклу, то новая объединенная последовательность будет эквивалентной, потому что мы добавили цикл. В комбинированной последовательности n кликов выполняются дважды, один раз в исходной последовательности и один раз в цикле. При редукции, т.е. удалении этих двойных щелчков, новая последовательность по-прежнему будет эквивалентной (потому что редукция порождает эквивалентные последовательности) и теперь будет иметь вместо n щелчков c-n щелчков, принадлежащих циклу. □

Следствие:

Если c−n < n , то новая последовательность короче. Это имеет место тогда и только тогда, когда n > c/2. Прописью: Если последовательность содержит более половины щелчков цикла, то последовательность можно сократить, добавив цикл и удалив двойные щелчки.

Пример:

Составьте (карандашом на бумаге) список из 13 источников света на доске 4×4, начните со всех включенных огней, нажмите на 13 огоньков и нарисуйте картинку результата. (Почему 13, а не 12? Об этом мы увидим ниже. :-) ) Теперь проверьте, какие из 13 щелчков относятся к циклу, и составьте новый список щелчков (карандашом на бумаге), где эти щелчки цикла заменены другими щелчками в цикле. Начните снова со всеми включенными индикаторами и выполните эту более короткую последовательность щелчков.

Что в итоге?

Результат этой более короткой последовательности должен быть таким же, как и раньше.

Теорема:

Последовательность кликов на доске 4×4 может быть сокращена максимум до 12 кликов.

Доказательство:

Мы узнали, что сокращенная последовательность на доске 4×4 может иметь только 4×4=16 кликов. Мы знаем цикл в 8 кликов для доски 4×4. Следовательно, последовательность может иметь не более 16−8=8 кликов, которые не относятся к циклу. Мы также выяснили, что если последовательность имеет более половины щелчков цикла, то ее можно сократить. Таким образом, сокращенная и сокращенная последовательность может иметь не более:
       8 (клики не относятся к циклу)
+ 8/2 (половина кликов из цикла)
= 12 кликов
на доске 4&Times 4. □

Следствие:

Все возможные проблемы с 4×4 бортами для включения всех огней могут быть решены максимум за 12 кликов.

Осветление:

Теорема не говорит о том, существует ли последовательность длины 12, которую нельзя было бы сократить с помощью циклов. Может быть, максимальная длина будет 12, 10 или 8. Теорема говорит только о том, что она не может иметь более 12 кликов.

Нажимаем все лампочки не в цикле, поэтому все 8 огней по диагоналям. Затем выбираем 4 светильника из цикла, например, по одному с каждой стороны по часовой стрелке. С © указанием клика мы сделали эти 12 кликов:

            © · © ©
            © © © ·
            · © © ©
            © © · ©

в результате доски

            # O O #
            O # # O
            O # # O
            # O O #

Нет. Уже эти 4 клика

            · © · ·
            © · · ·
            · · · ©
            · · © ·

имеют тот же результат:

            # O O #
            O # # O
            O # # O
            # O O #

Это означает, что у нас есть новый цикл 12+4=16 кликов, УРА! 🥳 Если мы отбросим двойные клики ( © + © = ·), этот новый цикл из 12 кликов останется:

            © · © ©       · © · ·       © © © ©
            © © © ·   +   © · · ·   =   · © © ·
            · © © ©       · · · ©       · © © ·
            © © · ©       · · © ·       © © © ©

Пожалуйста, убедитесь, что это цикл.

Сумма двух циклов должна быть циклом, т.е. она не меняет доску:

            © © © ©       · © © ·       © · · ©
            · © © ·   +   © · · ©   =   © © © ©
            · © © ·       © · · ©       © © © ©
            © © © ©       · © © ·       © · · ©

дает повернутую на 90° версию цикла 12 кликов, который является нашим новым 3-м циклом. Пожалуйста, убедитесь, что это тоже цикл.

Каждая последовательность

            © · © ©         · · © ·
            © · · ·   and   © © © ·
            · · · ©         · © © ©
            © © · ©         · © · ·

имеет 8 кликов.

Можно ли их сократить за 3 цикла?

Каждый из них перекрывается с циклом из 8 кликов ровно на 4 клика и перекрывается с каждым циклом из 12 кликов ровно на 6 кликов. Пожалуйста, проверьте эти 6 утверждений. Они не перекрываются с каждым циклом более чем на половину кликов цикла. Таким образом, эти последовательности не могут быть сокращены с помощью этих 3 циклов, но добавление к ним всего одного клика позволит их сократить.

Приведем такую недоказанную гипотезу:

Гипотеза:

Максимальная длина последовательности кликов на доске 4×4, которая не может быть сокращена циклом, равна 8.

Пожалуйста, докажите это. Для начала нужно было бы показать, что других независимых циклов не существует.

Аналогично 4×4 доскам мы

• Запуск при включенных индикаторах
• Нажмите на каждый огонек по одному разу и получите

                      O # # # O
                      # O O O #
                      # O O O #
                      # O O O #
                      O # # # O

• Нажмите на все источники света по диагоналям один раз, а также на центральный источник света только один раз. В результате все огни горят.
• Уменьшите последовательность, отбросив все двойные щелчки по диагоналям, оставив 25−9=16 кликов, показанных как © показано в:

                      · © © © ·
                      © · © · ©
                      © © · © ©      (1)
                      © · © · ©
                      · © © © ·

• и празднуем, мы нашли цикл, УРА! 🥳

Пожалуйста, попробуйте и убедитесь в том, что нажатие на 16 огней, отмеченных © выше, не меняет огни доски 5×5. Это лучше всего видно при запуске с включенными всеми лампами.

Теорема:

Последовательность кликов на доске 5×5 не может иметь более 17 кликов.

Доказательство:

Мы узнали, что сокращенная последовательность на доске 5×5 может иметь только 5×5=25 кликов. Мы знаем цикл в 16 кликов для доски 5×5. Следовательно, последовательность может иметь не более 25−16=9 кликов, которые не относятся к циклу. Мы также выяснили, что если последовательность имеет более половины щелчков цикла, то ее можно сократить. Таким образом, сокращенная и сокращенная последовательность может иметь не более:
       9 (клики не относятся к циклу)
+ 16/2 (половина кликов цикла)
= 17 кликов
на доске 5&Times 5. □

Следствие:

Если у платы 5×5 проблем с включением всех огней есть решение, то есть решение, насчитывающее максимум 17 кликов.

Осветление:

Означает ли это, что существуют последовательности из 17 кликов, которые нельзя сократить?

Ответ:

Нет. Пока мы этого не знаем.

Поскольку доска имеет прямоугольную форму, схема включения/выключения огней может быть симметричной по вращению на 90° или 180° или иметь зеркальную симметрию вдоль горизонтальной или вертикальной линии симметрии. Если доска квадратная, она также может иметь зеркальную симметрию по диагонали или даже по обеим диагоналям.

В дальнейшем идея состоит в том, что решение состоит из ряда щелчков, которые имеют эту симметрию, и других щелчков, которые не имеют этой симметрии.

Как мы можем добиться прогресса?

Нам нужно вдохновение, и мы получаем его, играя в игру и нажимая на случайные лампочки, пока не получим доску, которая выглядит странно или имеет красивую симметрию. И тогда мы задаемся вопросом, не является ли последовательность кликов тоже особенной.

Мы можем наткнуться на доску наподобие этой:

            O O O O O         
            # O # O #         
            O O # O O      (2)
            # O # O #         
            O O O O O

и забыть, как мы до нее добрались. Это легко выяснить, выбрав «Справочные заметки ВКЛ» и щелкнув каждую позицию. Если число, указанное в «Справочных примечаниях: Вы можете выиграть максимум за XX кликов», было уменьшено, мы записываем позицию, и если нет, мы нажимаем на нее снова. Находим такое решение, где © указан клик:

            · · · · ·
            © © © © ©
            · · © · ·      (3)
            · © · © ·
            © · © · ©

Теперь мы должны быть действительно удивлены и очень любопытны!

Почему?

Потому что плата (2) имеет зеркальную симметрию со средней горизонтальной линией в качестве линии симметрии, но решение не имеет этой симметрии. В математике редко бывает, чтобы симметричная задача имела несимметричное решение.

Что теперь?

Мы должны исследовать это, выделив симметричную часть и несимметричную часть (3).

Поэтому мы записываем (3) как сумму симметричной и несимметричной частей:

        · · · · ·     · · · · ·     · · · · ·
        © © © © ©     · © · © ·     © · © · ©
        · · © · ·  =  · · © · ·  +  · · · · ·
        · © · © ·     · © · © ·     · · · · ·
        © · © · ©     · · · · ·     © · © · ©

Точно так же, как охотники за сокровищами ищут драгоценные камни, мы в математике также ищем уникальные объекты. Приведенное выше разложение не является уникальным. Существует множество способов записать несимметричную часть как сумму симметричной и другой несимметричной части.

Существует ли уникальное разделение?

Мы можем сделать его уникальным, потребовав, чтобы несимметричные щелчки находились только с одной стороны линии симметрии.

Мы используем   © + © = ·   и поэтому пишите сейчас

           · · · · ·     · · · · ·     · · · · ·     · · · · ·
           © © © © ©     · © · © ·     © · © · ©     · · · · ·
           · · © · ·  =  · · © · ·  +  · · · · ·  +  · · · · ·
           · © · © ·     · © · © ·     © · © · ©     © · © · ©
           © · © · ©     · · · · ·     · · · · ·     © · © · ©

           · · · · ·     · · · · ·
           © © © © ©     · · · · ·
        =  · · © · ·  +  · · · · ·
           © © © © ©     © · © · ©
           · · · · ·     © · © · ©

Зная, что мы на пути к чему-то, мы теперь хотим знать об этом все.

Поскольку исходная доска была симметричной, а симметричная часть должна составлять симметричную доску, следовательно, несимметричная последовательность также должна составлять симметричную доску.

Что это такое?

        · · · · ·                               O O O O O
        · · · · ·                               O O O O O
        · · · · ·   (4)   generates the board   # O # O #   (5)
        © · © · ©                               O O O O O
        © · © · ©                               O O O O O

Пожалуйста, проверьте это!

Мы увидим, что существует очень мало несимметричных решений, которые генерируют симметричную доску и все щелчки мыши находятся по одну сторону от линии симметрии.

Что, если обойти доску (5) и посмотреть на нее и на решение (4) с другой стороны?

Доска выглядит так же (потому что имеет симметрию 180°), но решение становится

                    © · © · ©
                    © · © · ©
                    · · · · ·      (6)
                    · · · · ·
                    · · · · ·

Таким образом, (6) является другой несимметричной последовательностью, производящей ту же симметричную доску (5). Это несчастный случай или в целом так?

Это общее утверждение:

Если симметричная задача (здесь (5), имеющая симметрию на 180°), порожденная несимметричной последовательностью (здесь (4)), то выполнение операции симметрии (здесь поворот на 180°) на этой последовательности генерирует новую несимметричную последовательность (здесь (6)), которая создает ту же доску (здесь (5)).

Что происходит, когда выполняются обе несимметричные последовательности?

После первой последовательности (4) три огня выключаются (на борту (5)), а после второй последовательности (6) 3 огня снова включаются, теперь ГОРЯТ. Это означает, что (4) + (6)

                    © · © · ©
                    © · © · ©
                    · · · · ·      (7)
                    © · © · ©
                    © · © · ©

- это цикл из 12 кликов! УРА!! 🥳 Пожалуйста, убедитесь в этом, выполнив эти 12 кликов.

Для чего можно использовать этот новый цикл?

Как и в случае с другим циклом из 16 кликов, этот цикл можно использовать для сокращения последовательности кликов.

Можно ли сократить цикл в 16 кликов с помощью цикла в 12 кликов? Результатом должен быть цикл, потому что цикл + цикл = цикл.

Выполнение обоих циклов дает (из-за © + © = · )

                    · © © © ·     © · © · ©     © © · © ©
                    © · © · ©     © · © · ©     · · · · ·
                    © © · © ©  +  · · · · ·  =  © © · © ©      (8)
                    © · © · ©     © · © · ©     · · · · ·
                    · © © © ·     © · © · ©     © © · © ©

, который должен быть циклом, и да, это просто цикл (7), повернутый на 90°.

Является ли цикл из 16 кликов также суммой двух несимметричных решений симметричной задачи?

У нас есть 2 способа записать цикл из 16 кликов в виде суммы:

                    · © © © ·     · · · · ·     · © © © ·
                    © · © · ©     © · · · ·     · · © · ©
                    © © · © ©  =  © © · · ·  +  · · · © ©      (9)
                    © · © · ©     © · © · ·     · · · · ©
                    · © © © ·     · © © © ·     · · · · ·


                    · © © © ·     · · · · ·     · © © © ·
                    © · © · ©     © · · · ©     · · © · ·
                    © © · © ©  =  © © · © ©  +  · · · · ·      (10)
                    © · © · ©     © · · · ©     · · © · ·
                    · © © © ·     · · · · ·     · © © © ·

Каждая из двух последовательностей в правой части (9) является несимметричной последовательностью, в результате которой получается симметричная доска

                    # O O O O
                    O O O O O
                    O O O O O      (11)
                    O O O O O
                    O O O O #

Каждая из двух последовательностей в правой части (10) представляет собой несимметричную последовательность, в результате которой получается симметричная доска

                    # O O O #
                    O O O O O
                    O O O O O      (12)
                    O O O O O
                    # O O O #

Таким образом, цикл из 16 кликов является суммой двух несимметричных решений симметричной задачи, даже двумя способами.

Если кто-то хочет свести к минимуму количество последовательностей для запоминания, то достаточно запомнить

                    · · · · ·
                    © · · · ·
                    © © · · ·      (13) 
                    © · © · · 
                    · © © © · 

, потому что другая последовательность справа от (9) имеет тот же эффект, а последовательности справа от (10) — это просто сумма (13) и поворотов на 90° от (13).

Как это помогает решать симметричные платы?

Если верно, что для досок 5×5 последовательности (4), (13) и их повороты на 90° являются единственными несимметричными последовательностями, которые создают зеркально симметричные доски (за исключением симметричных щелчков, которые дают другие несимметричные последовательности), то для решения зеркально-симметричной доски нужно только выполнять симметричные ходы до тех пор, пока не загорятся все огни. или до тех пор, пока вы не дойдете до одной из досок (5) или (11) (или повернетесь на 90° от них), а затем просто выполните последовательности (4) или (13) (или их повороты на 90°).

Другими словами, чтобы решить зеркально-симметричную доску 5x5, нужно только попробовать симметричные комбинации кликов, которые требуют меньшего количества таких симметричных кликов и, таким образом, приводят к меньшему дереву поиска.

Мы не отвечаем на этот вопрос, но у нас есть два предложения.

Гипотеза:

Нет других циклов для доски 5×5, которые не являются комбинацией 3 циклов с 12, 12 и 16 кликами.

Гипотеза:

Максимальная длина укороченной последовательности кликов на доске 5×5 равна 13.

Мы оставляем вам возможность подумать над доказательством или контрпримером в виде другого независимого цикла или последовательности с более чем 13 щелчками, которая не может быть сокращена за счет 3 циклов (7), (8) и (1) с 12, 12 и 16 щелчками. Первую гипотезу можно проверить с помощью линейной алгебры (см. ниже), но было бы неплохо иметь простое доказательство или другой цикл. Пример последовательности с 13 щелчками, которая не может быть сокращена за 3 цикла:

            © · © · ©
            · © · © · 
            © · © · ©
            · © · © · 
            © · © · ©

Получайте удовольствие от (повторных) поисков и доказательств!

При использовании h×w ламп включения/выключения предусмотрено 2^h×w расположение. Как мы выяснили ранее, также есть 2^h×w возможные последовательности кликов.

Но есть последовательности, которые приводят к одному и тому же шаблону доски, а именно любая последовательность и эта последовательность + цикл. Следовательно, у нас больше последовательностей, чем достижимого шаблона доски, поэтому должен существовать шаблон доски, который не может быть достигнут.

В математике есть слова для обозначения таких ситуаций. Если бы каждая последовательность щелчков приводила к различному шаблону, то сопоставление последовательностей с шаблоном называлось бы инъективным. Если бы каждый шаблон был результатом некоторой последовательности кликов, то отображение последовательностей на шаблон называлось бы сюръективным. Таким образом, наша карта последовательностей щелчков по шаблону является неинъективной и несюръективной.

Практика подготовки

Чтобы подготовиться к участию в соревновании, полезно начать с доски, на которой все огни горят. Чтобы получить эту доску, нужно уменьшить количество 'Initial Clicks' и 'Purple Lights' до 0 и увеличить размер доски. Затем сделайте 2 клика либо по прямым соседям, либо по диагонали соседей и запомните полученный узор, чтобы вы узнавали их, когда они появляются в игре. Делайте такие попытки в углу, на краю и в центре, так как рисунок также зависит от местоположения.

Другой способ — взять доску 5×5 со всеми включенными лампами и щелкнуть лампочки, симметричные по отношению к диагональной или средней линии, или повернутые на 90° или 180° версии друг друга, и посмотреть, какой симметричный узор вы можете получить.

Что следует попробовать в первую очередь, если поблизости есть небольшая группа огней, которые не горят?

В этом случае следует в первую очередь попробовать перемещения в центр таких небольших групп, потому что щелчки по краю таких групп только выключат еще больше огней и увеличат группу выключенных огней. Если это не удается, нужно нажать больше огней подальше, и в конечном итоге вам придется делать клики по всему игровому полю.

Что делать, если рисунок доски имеет симметрию?

Исходная доска может быть зеркально симметричной по отношению к одной или обеим диагоналям или по отношению к горизонтальной и/или вертикальной линии симметрии. Другими симметриями могут быть симметрия вращения на 90° или 180°. В разделе Какую роль играет симметрия в этой игре? мы вывели следующую стратегию.

Мы выполняем группы симметричных щелчков, которые сохраняют симметрию до тех пор, пока не загораются все огни, или когда у нас есть доска размером 5×5, пока не доходит до одной из этих досок:

                    O O O O O            # O O O O             # O O O #
                    O O O O O            O O O O O             O O O O O
                    # O # O #  (5) or    O O O O O  (11) or    O O O O O  (12)
                    O O O O O            O O O O O             O O O O O
                    O O O O O            O O O O #             # O O O #

(или поворотов на 90°), а затем просто выполняет последовательности:

                    · · · · ·            · · · · ·             · © © © ·
                    · · · · ·            © · · · ·             © · © · ©
                    · · · · ·  (4) resp  © © · · ·  (13) resp  © © · © ©  (1)
                    © · © · ©            © · © · ·             © · © · ©
                    © · © · ©            · © © © ·             · © © © ·

(соответственно их повороты на 90°).

Что значит «Играть симметрично»?

Если какой-либо индикатор на линии симметрии выключен, то необходимо нажать на сам этот индикатор. Причина: Если один из них не щелкает по нему, а щелкает только по соседнему свету, то следует также щелкнуть по другому соседнему свету, симметричному линии симметрии, и тогда свет на линии симметрии будет включен дважды и останется выключенным.

По той же причине, если какой-либо индикатор на этой диагонали горит, то на этот свет НЕЛЬЗЯ нажимать.

Если положение симметрично относительно двух линий симметрии (2 диагоналей или горизонтальной и вертикальной средней линии), то вышеуказанные правила распространяются на обе линии. Любой индикатор на этих линиях, который выключен, должен быть нажат, а любой свет на этих диагоналях, который горит, НЕ должен быть нажат, чтобы все огни были включены и чтобы получилось симметричное решение.

Если доска симметрична не зеркально, а вращательно, то для сохранения этой симметрии создаются группы кликов с одинаковой вращательной симметрией.

Какой бы ни была симметрия, когда вы щелкаете по источнику света, то также щелкаете по источнику света, относящемуся к симметрии. Другими словами, если это симметрия на 90° (4-кратная вращательная симметрия), то нажмите на другие 3 источника света, если это 180° симметрия (2-кратная вращательная симметрия), то также нажмите на другой свет. Если это зеркальная симметрия, то также нажмите на зеркальный симметричный свет. Если источник света сам по себе симметричный, то нажмите на него только один раз. Примерами источников света, по которым можно щелкнуть один раз, являются центральный свет при любой симметрии, или свет на диагонали при диагональной зеркальной симметрии, или свет на горизонтальной или вертикальной линии, проходящей через центр, если эта линия является линией симметрии.

Если после нажатия на источник света и все его симметричные источники света симметрия увеличивается (например, 2 зеркальные симметрии вместо одной зеркальной симметрии), то в дальнейшем используйте увеличенную симметрию.

Что делать, если рисунок доски не имеет симметрии?

Если у платы нет симметрии, то можно попробовать сделать клики, которые включат больше света, чем погаснет. Затем можно сделать движения, которые сблизят ВЫКЛ свет. Рано или поздно получается симметричная позиция, и тогда она продолжается симметричными щелчками.

История этой головоломки и схема общего решения приведены в Википедии. Другое, более математическое описание с большим количеством ссылок приведено на Wolfram MathWorld. Возможно, вы захотите проверить, содержатся ли наши выводы в этих публикациях или нет.

На эти вопросы можно ответить, сформулировав и исследуя линейную алгебраическую систему уравнений. Подробнее об этом можно прочитать в ссылках, приведенных выше.

Фиолетовые огни потенциально меняют все. Необходимо проверить каждое вышеприведенное утверждение, остается ли оно в силе при наличии фиолетовых огней или как изменить утверждения, чтобы они оставались верными. Линейная алгебра была бы достаточно гибкой и общей, чтобы покрыть доски фиолетовыми огнями.