Conseils pour résoudre les Casse-Têtes de type Calcrostique

Mener l'Enquête sur les Problèmes Calcrostiques

Résoudre un calcrostique, c’est comme fouiller une scène de crime à la recherche d’indices. Voici des exemples de la façon d’obtenir des indices à partir de lignes du casse-tête.

Par exemple, si la ligne, la colonne ou la diagonale est

a × b = a

alors
a
doit être égal à 0 ou
b
doit être égal à 1. Il est facile de savoir quel cas s’applique. Nous examinons d’autres lignes qui incluent
a
et
b
. Par exemple, si
a=0
alors
c + a = c
et si
b=1
alors
c + b = d
. De même, de
a ÷ b = a
suit
a=0
ou
b=1
et de chacun des
cd × b = cd
,
cd ÷ b = cd
suit
b=1
.
a + b = cd

Il s’ensuit alors que
c=1
parce que la somme de deux nombres à 1 chiffre ne peut pas être supérieure à 9 + 9 = 18 et si les deux sont différents, alors pas plus de 9 + 8 = 17. La même conclusion peut être tirée de
cd − b = a
.
a × b = c

Alors ce qui est spécial, c’est que le résultat n’est qu’un nombre à un chiffre, donc moins de 10. De plus,
a, b, c
sont tous différents, donc aucun d’entre eux ne peut être égal à 1 ou 0. Ainsi, l’un de
a, b
doit être 2 et l’autre 3 ou 4 et
c
est 6 ou 8. La même conclusion peut être tirée de
c ÷ b = a
.
a × a = b

alors
b
est un nombre carré inégal à
a
et
b<10
, donc soit
a=2, b=4
soit
a=3, b=9
.
c + ea = eg

alors le premier chiffre (les dizaines) de
ea
et de
eg
sont les mêmes, ce qui permet de conclure que
c + a = g
.
c + ea = fg

alors le premier chiffre (les dizaines) de
ea
et de
fg
sont différents. Cela ne peut être dû qu’à un report de retenue, nous concluons donc que
e + 1 = f
et
c + a = 10 + g
.
Si un nombre comporte plus d’un chiffre, le chiffre le plus à gauche, c'est-à-dire le premier chiffre, doit être non-nul. Si un casse-tête est grand et comporte 10 lettres différentes, cette information facile à obtenir peut même suffire à dire quelle lettre a la valeur 0.
..a × ..b = ..5

alors soit
a
soit
b
égale 5 et l'autre est un chiffre impair.
..a × ..b = ..7

alors les seules valeurs possibles de
a
et
b
sont 3 et 9. Le produit de 1 et 7 se termine également par 7, mais si
a
ou
b
est 7, alors cela sera connu.
..a × ..b = ..3

alors les seules valeurs possibles de
a
et
b
sont 7 et 9. Le produit de 1 et 3 se termine également par 3, mais si
a
ou
b
est 3, alors cela sera connu.
..a × ..a = ..9

alors les seules valeurs possibles pour
a
sont 3 et 7.
..a × ..b = ..1

alors les seules valeurs possibles pour
a
et
b
sont 3 et 7.
..a × ..a = ..1

alors les seules valeurs possibles pour
a
sont 1 et 9.
..a × ..b = ..a

Cet indice est égal au premier mais appliqué de façon plus générale avec plus de chiffres qui peuvent apparaître à la gauche de
a
et
b
. C'est un indice qui sert plutôt souvent. Il suffit de regarder la position des unités pour en tirer que
a × b = a + k × 10
où
k
est le report de retenue de la multiplication. Il s’ensuit que
a × (b-1) = k × 10
. En d’autres termes,
a × (b-1)
doit être divisible par 10! Hormis les deux cas connus dès le premier indice : (
a = 0
) ou (
b-1 = 0
) Nous n’avons plus que 2 cas à considérer : (
a = 5
et
b
est pair) ou (
b-1 = 5
et
a
est pair).
Si le raisonnement logique n’aide pas à déterminer plus de valeurs, alors il faut deviner et considérer différents cas. Si l’on ne veut trouver qu’une seule solution et pas toutes, il faut d’abord considérer les cas les plus probables. Qu’est-ce qui est probable et qu’est-ce qui ne l’est pas ? De la discussion ci-dessus, nous avons appris qu’il est peu probable que la valeur unitaire d’un produit soit de 7, 3 ou 1.
Toutes les affirmations faites ci-dessus sur les produits s’appliquent également aux quotients.
La plupart des chiffres gauches des nombres à plusieurs chiffres ne peuvent pas être nuls.
Si le calcrostique implique non seulement des entiers mais aussi des nombres rationnels, alors on peut tirer d’autres conclusions :

Le chiffre le plus à gauche du numérateur et du dénominateur ne peut pas être nul. Si le numérateur ou le dénominateur est un seul chiffre, il ne peut pas non plus être nul.
Si le dénominateur est un seul chiffre, il n’est pas égal à 1.
Étant donné que le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux, les chiffres unitaires du numérateur et du dénominateur ne peuvent pas être pairs. De plus, si les deux chiffres de l’unité sont de la même lettre, ils ne peuvent pas être 5 et s’ils ne sont pas la même lettre, il ne peut pas être vrai que l’un est 0 et l’autre 5.

Essayez de trouver d’autres indices, par exemple :

Que peut-on conclure de
a × a = ba
? Quelles sont les seules valeurs possibles pour
a, b
?
Que peut-on conclure de
eb × c = cd
? Quelles sont les seules valeurs possibles pour
e
?
Si vous savez que
g = 1
alors qu’est-ce que
fg ÷ c = d
vous dit sur
f, c, d
?

Résolvons une énigme :

   ab + c = dd
    ×   −    −
    e + f =  c
    =   =    =
   fb ÷ e = ab

Le dernier indice ci-dessus s’applique à la première colonne. Nous avons donc 4 cas :

b=0
(n'est pas possible car sinon dans la première rangée
ab + c = ..c
),
e=1
(n'est pas possible car sinon dans la première colonne
ab × 1 = ab
)
e-1=5
, c.-à-d.
e=6
et
b
pair : 1. colonne : si
ab × 6
est un nombre à 2 chiffres (
fb
), alors
a=1
car déjà 20×6=120 donne un nombre à 3 chiffres. Avec
a=1
de la première ligne suit
d=2
car l’unité de dix ne peut augmenter que de 1 lors de l’ajout d’un nombre à 1 chiffre.
b
doit être pair dans ce 3ème cas mais
b<>0, b≠2
parce que
d=2, b≠6
parce que
e=6, b≠8
parce que de la 1ère colonne 18×6>100. Donc
b=4
, à partir de la 1ère ligne
c=8
et à partir de la 2ème ligne
f=2
qui contredit
e=2
. Par conséquent, le cas 3) ne s’applique pas.
b=5
et
e-1
est pair, c.-à-d.
e
est impair : Il s’ensuit que
e=3
parce que
e≠1
(Cas 2),
e≠5
(parce que
b=5
),
e<7
(parce que dans la 1ère colonne 15×7>100). Pour
a
on a les contraintes suivantes :
a≠2
(car sinon à partir de la 1ère rangée suit
d=a+1=3
mais on a déjà
e=3
) et
a<>3
(parce que
e=3
),
a<4
(car dans la 1ère colonne 45×3>100 et non un nombre à 2 chiffres.). Par conséquent,
a=1
, à partir de la 1ère rangée,
d=2, c=dd - ab = 22-15=7
, à partir de la 2ème ligne
f=c-e=7-3=4
, ce qui nous donne la solution
```
   15 + 7 = 22
    ×   −    −
    3 + 4 =  7
    =   =    =
   45 ÷ 3 = 15
```

Amusez-vous bien en essayant notre problème du jour !

On a mis à votre disposition des solutions vidéo des problèmes Calcrostiques suivants des concours précédents :