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Dots
Wenn Sie nur daran interessiert sind, welche Züge Sie spielen möchten und nicht warum, dann gehen Sie zum "Entscheidungsbaum" ganz unten. Der "Index" darunter listet alle Begriffe auf, die im Text eingeführt werden und kann als schneller Einstieg verwendet werden.
Die Basics
Terminologie: Lassen Sie uns einige neue Begriffe einführen, die wir verwenden werden, um über das Spiel zu sprechen.
Ein box ist ein kleines Quadrat mit 4 benachbarten Punkten als Ecken. Ein Kästchen kann 0, 1, 2, 3, 4 Seiten gezeichnet haben und wird dann als 0-Box, 1-Box, 2-Box, 3-Box, 4-Box bezeichnet.
Eine line ist das Liniensegment, das zwei benachbarte Punkte verbindet.
Das Zeichnen einer Linie wird auch als Einen Zug machen bezeichnet.
Wenn eine nicht gezogene Linie eine 2-Box und eine 3-Box trennt, dann bewirkt das Zeichnen dieser Linie 3 Dinge: Sie vervollständigt die 3-Box und erzielt somit einen Punkt, sie verwandelt die 2-Box in eine 3-Box und gibt dem Spieler einen weiteren Zug, mit dem er die neue 3-Box vervollständigen kann. Diese Art von "Kettenreaktion" kommt sehr häufig vor.
Alle verbundenen 2-Boxen bilden eine Kette. Eine Kette kann 2 Enden haben und wird dann als lineare Kette bezeichnet, unabhängig davon, ob es sich um eine gerade Linie handelt oder nicht, wie
+ + +---+---+ + +---+
| | , oder | |
+ + +---+---+ +---+ +
|
+---+---+Ketten mit 1, 2 und 4 Kästchen zeigt.
Eine Kette kann auch keine Enden haben und dann nennen wir sie eine loopy chain oder einfach eine loop, egal ob sie wie ein Kreis aussieht oder nicht, wie diese
+---+---+---+
| |
+ +---+ +
| | |
+---+ + +
| |
+---+---+
Einen Zug innerhalb einer Kette oder an einem ihrer Enden zu machen, wird in der mathematischen Literatur über dieses Spiel als Öffnen einer Kette bezeichnet.
Was passiert, wenn eine Kette geöffnet wird?
Wenn ein Spieler eine der nicht gezogenen Linien in einer Kette zieht, wie z.B. A1 in
+---+---+---+
| |
+ +A1-+ +
| |
+---+---+dann wird aus mindestens einer 2er-Kiste eine 3er-Kiste (hier die Kiste oben und die Kiste unter der A1-Ziehung) und der andere Spieler darf das/die Kiste(n) anschließend zu einer 4er-Kiste vervollständigen, ein oder zwei Punkte verdienen und gleichzeitig die benachbarte 2er-Kiste in eine 3er-Kiste (hier die Kiste links von B1 und rechts von B2) in
+---+---+---+
| B1 |
+ +A1-+ + .
| B2 |
+---+---+umwandeln Jedes Mal, wenn ein Kästchen vervollständigt ist, muss der Spieler einen weiteren Zug machen, mit dem das nächste Kästchen und alle anderen Kästchen der Kette vervollständigt werden können. Nach dem Ausfüllen des letzten Kästchens muss der Spieler einen weiteren Zug an eine andere Stelle machen, es sei denn, alle Kästchen auf dem Brett sind ausgefüllt.
Anfängliches Spiel
Regel 1: Der naheliegendste Spielzug besteht darin, eine 3er-Box zu vermeiden, die der Gegner einnehmen könnte, wenn er sie vervollständigt. Dies ist eine einfache und nützliche Regel, obwohl sie nicht perfekt ist, wie wir am Ende dieser Seite sehen werden. Irgendwann, wenn etwa die Hälfte aller Linien gezeichnet ist, wird es unvermeidlich, ein 3-Kästchen zu erstellen. Was passiert dann? Da Ketten mit 1, 2 oder ≥ 3 Boxen unterschiedlich behandelt werden, müssen wir sie einzeln betrachten.
Beginnen wir mit einem Blick auf Ketten, die nur eine Box haben.
Sollte man immer eine einzelne 3er-Box vervollständigen, also eine Kette mit einer Box?
+---+
| ?
+---+
Ja, das sollte man immer tun. Ob man die Box nimmt und danach einen Zug A macht oder die Box nicht nimmt und auf A spielt, hat keinen Einfluss darauf, was der Gegner tut, außer dass entweder du oder der Gegner die Box bekommt, also ist es besser, wenn du die Box bekommst.
Wie können Ketten mit zwei Boxen aussehen und wie sollte man darin spielen?
Ketten mit zwei Kästchen sehen aus wie
+---+---+ +---+---+ +---+---+
oder | oder | |
+---+---+ +---+ + + + +oder gedrehte und gespiegelte Versionen davon. Das Zeichnen der Mittellinie führt zu
+---+---+ +---+---+ +---+---+
| oder | | oder | | |
+---+---+ +---+ + + + +und wird in der Literatur Hartherziges Handout genannt.
Sollte man in einer solchen Position immer beide Boxen nehmen?
Ja, man sollte beide Boxen aus den gleichen Gründen nehmen, wie man immer 1-Box-Ketten nehmen sollte. Überzeugen Sie sich selbst.
Das Zeichnen einer Linie am Rand einer 2-Box-Kette (eine der drei oben gezeigten 2-Box-Ketten) führt zu
+---+---+ +---+---+ | oder | | +---+---+ +---+ +
und wird als Half-Hearted Handout. bezeichnet
Ein Zug an der Grenze der oben genannten Positionen führt zu
+---+---+ | | . +---+---+
Ein solcher Zug wird in der Literatur als Double Dealing (DD) bezeichnet. Zur Verdeutlichung: Es gibt eine klare Unterscheidung zwischen den folgenden beiden Zügen:
+---+---+ +---+---+ 1) to | +---+---+ +---+---+
und
+---+---+---+ +---+---+---+ 2) | to | | +---+---+---+ +---+---+---+
, obwohl beide resultierenden 2-Box-Ketten gleich aussehen. Der große Unterschied besteht darin, dass der Zug bei 2) eine Schachtel vervollständigt und es dem Spieler somit ermöglicht, erneut zu ziehen und DD zu spielen, während unter 1) keine Schachtel abgeschlossen ist und der Spieler daher direkt danach nicht DD spielen kann. Während der Zug 2) ein normaler Zug ist, wird der Zug 1) als Halbherziges Handout bezeichnet.
Das Zeichnen der Linie in der Mitte, die beide Felder vervollständigt, wird als Double-Crossed Move bezeichnet. Eine Schleife wird immer durch einen solchen Zug abgeschlossen, aber in einer linearen Kette kann dies nur passieren, wenn der Gegner einen DD-Zug spielt, um die Kontrolle zu übernehmen, wie unten erklärt. Nach einem DD-Zug von Spieler A bleibt dem nächsten Spieler B nichts anderes übrig, als in der Mitte den Double Crossed Move zu spielen. Obwohl dieser Zug B 2 Kästchen gibt, sind die Kosten höher, wenn B als nächstes in einer längeren Kette spielen muss, die vollständig an A geht. In einer solchen Situation wird der Spieler B, der einen Doppelzug macht, ausgetrickst, d.h. "doppelt gekreuzt", daher dieser Name für diesen Zug.
Soll der nächste Spieler nach DD immer beide Boxen nehmen?
Ein DD-Zug ist ein Opfer von zwei Boxen, da der Spieler alternativ zuerst in der Mitte des Hartherzigen Handouts und dann an der Grenze spielen und auf diese Weise zwei Boxen verdienen könnte. Warum sollte man 2 Kisten opfern wollen? Lesen Sie weiter, um es herauszufinden!
Ein Zug wie der Halbherzige Handout-Zug vor DD, der dem Gegner die Möglichkeit gab, ein Opfer zu bringen, wird in der Literatur als verrückter Zug bezeichnet. Dieser verrückte Schachzug kann und sollte vermieden werden. Andere verrückte Bewegungen, wie das Öffnen einer Kette mit 3 oder mehr Kisten, können unvermeidlich sein.
Zurück zu den halbherzigen Handouts, sollte man in einer solchen Position immer beide Schachteln nehmen? Wenn nicht, wann sollte man DD an der Grenze der 2-Box-Kette spielen? Probiere beides in Spielen aus und finde heraus, welchen Unterschied es macht.
Betrachten wir alle Unterschiede. Wenn man eine Schachtel der 2er-Kette nimmt, dann sollte man auch die zweite Schachtel nehmen, wie wir sie vorhin gefunden haben. Nimmt man beide Felder, bekommt man 2 Punkte, muss danach aber woanders hinziehen. Dies kann kostspielig sein, da man möglicherweise eine Kette mit vielen Kästchen öffnen muss, die es dem Gegner ermöglichen, mehr Felder zu nehmen. Wenn man auf der Grenze spielt, vervollständigt man kein Feld und muss daher auch nicht woanders spielen. Aber das Spielen an der Grenze gibt dem nächsten Spieler beide Boxen, wie gerade besprochen. Daher sind beide Spielzüge möglich. Wir werden später auf diese Frage zurückkommen, um festzustellen, welcher Zug in einer bestimmten Situation besser ist.
Wenn man eine Kette mit 2 Kästchen öffnen muss, weil alle anderen Züge noch kostspieliger wären, sollte man dann ein Hartherziges oder ein Halbherziges Handout spielen?
Wenn man in der Mitte der Kette spielt (ein hartherziges Handout), dann ist die andere Seite gezwungen, beide Boxen zu nehmen und danach einen potenziell kostspieligen Zug woanders zu machen:
+---+---+ +---+---+ +---+---+
→ | → | | | und woanders.
+---+---+ +---+---+ +---+---+
Wenn man am Rand der Kette spielt (ein Half-Hearted Handout), dann gibt man dem Gegner die Möglichkeit, entweder die beiden Boxen wie oben zu nehmen oder am Rand zu spielen (ein Double Dealing (DD) Zug):
+---+---+ +---+---+ +---+---+
→ | → | |
+---+---+ +---+---+ +---+---+
Diese Möglichkeit, DD zu spielen, kann sehr wertvoll sein, wie wir später herausfinden werden. Dem Gegner zusätzliche Optionen zu geben, kann nie ein besserer Zug sein, daher sollte man niemals ein halbherziges Handout spielen, wenn man eine 2-Box-Kette aktiviert, um ein optimales Spiel zu erzielen. Im nicht optimalen Spaßspiel könnte man halbherzige Züge ausprobieren, um das Können des Gegners herauszufinden, oder um den Gegner zu verwirren, wenn man zurückliegt (aber nicht, wenn man versucht, optimal zu spielen).
Was macht man mit geöffneten linearen Ketten von drei oder mehr Boxen?
Wenn eine Kette geöffnet wird, dann hat sie mindestens eine 3er-Box. Man könnte diese Box und auch die anderen Boxen ausfüllen, aber sollte man das tun?
Gibt es Boxen, die man unbedingt aus einer linear geöffneten Kette nehmen sollte?
Auf der einen Seite wollen wir so viele Boxen wie möglich mitnehmen. Auf der anderen Seite wollen wir vielleicht nicht den Preis dafür zahlen, dass wir danach woanders spielen und damit eine noch größere Kette für den Gegner öffnen. Was wir auf jeden Fall tun sollten, ist, alle bis auf zwei Boxen zu nehmen, wie zuvor gerechtfertigt, sie sind kostenlos, es gibt keine negativen Nebeneffekte. Danach können wir darüber nachdenken, auch die restlichen 2 Boxen zu nehmen oder DD (Double Dealing) zu spielen. Darüber werden wir weiter unten mehr sprechen.
Ketten mit ≥ 3 Kästchen werden als lange Ketten. bezeichnet. Dazu gehören sowohl lineare als auch schlaufenförmige Ketten.
Warum gibt es einen speziellen Namen für solche Ketten?
Wenn nur noch lange Ketten mit mindestens 3 Kisten übrig sind, dann würde das Öffnen einer davon, egal auf welche Weise, bedeuten, dass sich auf mindestens einer Seite des Zuges mindestens 2 benachbarte Kisten befinden. Der andere Spieler könnte also Double Dealing spielen, was für den Rest des Spiels entscheidend ist.
Wie viele Kästchen werden benötigt, um eine Schleife zu machen?
Die kleinstmögliche Schleife hat 4 Boxen:
+---+---+ | | + + + | | +---+---+
Wenn eine Schleife geöffnet wird, kann man dann alle bis auf 2 Kisten sicher nehmen, ohne nachzudenken?
Probieren wir das aus. Die kleinstmögliche geöffnete Schleife ist
+---+---+ | | +---+ + | | +---+---+
Natürlich könnten wir alle 4 Boxen nehmen und dann woanders spielen, aber was wäre, wenn wir um jeden Preis vermeiden wollten, woanders zu spielen? Wenn wir zwei Kästchen nehmen würden, würden wir
+---+---+ | | | +---+---+ | | +---+---+
erreichen, aber wir müssten einen weiteren Zug machen. Wir konnten hier also nicht aufhören, denn alle Linien an der Grenze sind bereits gezogen, so dass wir weiter nach
+---+---+ | | | +---+---+ | | | +---+---+
kommen müssen und dann an anderer Stelle einen Zug machen müssen, der möglicherweise eine noch größere Kette an den Gegner übergeben könnte.
Was könnten wir stattdessen tun?
Wir wollen einen Zug spielen, der kein Kästchen vervollständigt, um zu vermeiden, woanders spielen zu müssen. Der einzig mögliche Zug besteht darin, in der Mitte des geöffneten Loops zu spielen, um
+---+---+ | | +---+---+ . | | +---+---+
Mit diesem Zug wird ein Kästchen nicht vervollständigt und somit spielt der andere Spieler als nächstes. Wir nennen diesen Zug Double Double Dealing (DDD). Der Preis besteht darin, 4 statt 2 Kisten zu opfern. Für den Gegner ist es am besten, die 4 Boxen zu nehmen und danach woanders zu spielen.
Was ist, wenn eine geöffnete Schleife mehr als 4 Kästchen hat?
Wir können so viele Kästchen nehmen, wie wir wollen, solange wir danach noch einen Zug spielen können, der kein Feld vervollständigt. Das bedeutet, dass wir alle bis auf 4 Kästchen nehmen können, z. B. wenn wir
+---+---+---+---+ +---+---+---+---+ | | | | | + +---+---+ + ergibt z.B. + +---+---+ + | | | | +---+---+---+---+ +---+---+---+---+
öffnen und 8 − 4 = 4 Kästchen nehmen, ergibt sich z.B.
+---+---+---+---+ | | | | | + +---+---+---+ . | | | +---+---+---+---+
Nun müssten wir uns entscheiden, ob wir die restlichen 4 Kisten nehmen oder sie dem Gegner opfern, indem wir
+---+---+---+---+ | | | | | + +---+---+---+ . | | | | +---+---+---+---+
Mehr dazu später.
Im Falle einer offenen Kette oder dem unwahrscheinlichen Fall, dass mehrere Ketten offen sind, wie viele Schachteln kann man sicher nehmen, ohne darüber nachzudenken, DD zu spielen oder nicht?Nachdem diese Kästchen ausgefüllt sind, kann man darüber nachdenken, ob man DD/DDD spielen soll oder nicht.
Wir haben gelernt, dass das Spiel mit mehr oder weniger zufälligen Zügen beginnt, nur dass beide Spieler so lange wie möglich darauf verzichten, 3-Boxen zu erstellen, d.h. sie vermeiden es, Ketten zu öffnen. Wenn dies unvermeidlich wird, nehmen wir es als den Beginn des Endspiels.. Wir fangen an, das Endspiel zu erklären, weil es der einfachste Teil aller Spiele ist.
Das Endspiel
Wie bei allen anderen Spielen auch, je näher man dem Ende kommt, desto einfacher wird es, vorherzusagen, wer bei optimalem Spiel gewinnen wird und mit wie viel Vorsprung. Wir beginnen unsere Analyse daher am Ende des Spiels. Im Endspiel sind alle Züge entweder offene Ketten oder komplette Boxen oder DD/DDD-Züge. Wenn ein Spieler eine Kette öffnen muss, dann könnte die erste Idee für eine Strategie sein, die kleinste der verfügbaren Ketten zu öffnen, um dem Gegner die geringste Anzahl von Kisten zu geben. Lassen Sie uns das an ein paar Beispielen ausprobieren.
Beispiel 1
Nehmen wir an, dass alle Kästchen bis auf zwei Ketten mit 3 und 4 Kästchen vervollständigt sind:
+ +---+---+ | | | | + +---+---+ | +---+---+---+ +---+---+---+
Spieler A, der als nächstes zieht, öffnet die kürzere Kette (mit einem beliebigen Zug, wie A1), damit der andere Spieler B diese Kette für sich beansprucht und 3 Punkte erhält, und A, um danach die größere Kette mit Kisten zu erhalten, mit einer Punktzahl von A:B=(0+4):(3+0)=4:3.
+A9-+---+---+ | | | | +A8-+---+---+ | B5 A6 A7 +---+---+---+ B2 A1 B3 B4 +---+---+---+
Übrigens, der Zug A1 ist das, was wir früher als verrückten Zug definiert haben, ein Zug, der dem Gegner die Möglichkeit gibt, ein Opfer zu bringen. Das kann man hier nicht vermeiden.
Und genau das passiert im nächsten Diagramm. Spieler B nimmt mit dem Zug B2 (im nächsten Diagramm) nur ein Feld und spielt dann Double Dealing mit B3. A muss dann die 2 Kästchen mit A4 nehmen, ist gezwungen, die große Kette mit einem Zug zu öffnen, wie A5, und B bekommt die restlichen 4 Kästchen mit einem Endergebnis von A:B = (2+0):(1+4)=2:5.
+B9-+---+---+ | | | | +B8-+---+---+ | A5 B6 B7 +---+---+---+ B2 A1 A4 B3 +---+---+---+Wir sehen, dass es in dieser Situation für B von Vorteil ist, zwei Kästchen zu opfern.
Beispiel 2
Nehmen wir an, dass alle Kästchen bis auf eine Kette mit 3 Kästchen und eine Schlaufe mit 4 Kästchen fertig sind.
+---+---+---+ | | | + + +---+ | | | +---+---+---+ +---+---+---+Spieler A ist als nächstes an der Reihe.
Fall 1: A öffnet die Kette mit 3 Kästchen.
Wenn Spieler B nach A1 die ganze Kette nimmt, erhält Spieler A die Schleife und die Punktzahl aus diesen beiden Ketten ist A:B = (0+4):(3+0) = 4:3.
+---+---+---+ | A7 | | +A6-+A8-+---+ | B5 | | +---+---+---+ B2 A1 B3 B4 +---+---+---+
Wenn nach A1 Spieler B DD spielt, dann ist nach
+---+---+---+ | B7 | | +B6-+B8-+---+ | A5 | | +---+---+---+ B2 A1 A4 B3 +---+---+---+die Punktzahl dieser beiden Ketten A:B = (2+0):(1+4) = 2:5, also ist es auch hier für B von Vorteil, DD zu spielen und A:B = 2:5 zu erreichen.
Fall 2: A öffnet den Kreislauf mit 4 Kästchen.
Wenn nach A1 Spieler B die ganze Runde macht, erhält Spieler A die kürzere Kette und die Punktzahl aus diesen beiden Ketten ist A:B = (0+3):(4+0) = 3:4.
+---+---+---+ | B3 | | +B2-+B4-+---+ | A1 | | +---+---+---+ B5 A6 A7 A8 +---+---+---+
Wenn nach A1 Spieler B DDD mit B2 spielt, erhalten wir
+---+---+---+ | B2 | | +A3-+A4-+---+ | A1 | | +---+---+---+ B6 A5 B7 B8 +---+---+---+und eine Punktzahl aus diesen beiden Ketten von A:B = (4+0):(0+3) = 4:3. In diesem Fall ist es besser, wenn B NICHT DDD spielt und somit A:B = 3:4 erhält. Wenn A zuerst in der kürzeren linearen Kette spielt, kann A nur A:B = 2:5 durchsetzen. Wenn A hingegen zuerst die größere Schleife öffnet, kann A das bessere Ergebnis von A:B = 3:4 erzielen.
Was ist die Erklärung?
Wenn A eine lange Kette (mit >2 Boxen) eröffnen muss, dann hat Spieler B die Möglichkeit, am Ende der Schachteln dieser Kette DD/DDD zu spielen und somit auch die nächste Kette zu bekommen und DD/DDD in dieser Kette erneut zu spielen und so weiter bis zum Ende des Spiels. Wir nennen das "Kontrolle haben", da Spieler A niemals die Möglichkeit haben wird, DD/DDD zu spielen, wenn Spieler B nicht will. Was Spieler A tun kann, ist, den Preis von DD/DDD hoch zu treiben. Wenn A eine lineare Kette öffnet, ist der Preis für B, DD zu nehmen, das Opfer von 2 Boxen. Wenn A eine Loopy Chain öffnet, beträgt der Preis für B zum Spielen von DDD 4 Steine. Dies zeigt, dass beim Sortieren von Ketten nach Wert der Wert korrigiert werden sollte, indem 2 Kästchen für lineare Ketten und 4 Kästchen für verschlungene Ketten subtrahiert werden.
Beispiel 3
In diesem Beispiel wollen wir mehr über die Reihenfolge erfahren, in der Ketten geöffnet werden sollen. Nehmen wir an, dass alle Kästchen vollständig sind, bis auf zwei lineare Ketten mit 3 und 4 Kästchen und eine Schleife mit 4 Kästchen wie hier:
+---+---+ +---+
| | |
+ + +---+ +
| | | |
+---+---+---+ +
|
+---+---+ +---+Spieler A zieht als nächstes. Es ist klar, dass A die größere lineare Kette mit 4 Boxen nicht öffnen wird, wenn es eine lineare Kette mit 3 Boxen gibt.
Fall 1: A öffnet die Kette mit 3 Kästchen.
Bevor wir uns für das optimale Spiel für Spieler B entscheiden, wollen wir prüfen, welche der anderen 2 Ketten zuerst geöffnet werden sollte:
+---+---+ +---+ | | | + + +---+ + | | | | +---+---+---+ + | | | | +---+---+---+---+
Lassen Sie die Spieler C und D sein, wobei C als nächstes an der Reihe ist.
Fall 1.1: C öffnet die Schleife
+---+---+ +---+
| | |
+ + +---+ +
| C1 | | |
+---+---+---+ +
| | | |
+---+---+---+---+ Wenn nach C1 Spieler D DDD mit D2 spielt, dann ist nach
+---+---+C5-+---+ | D2 | D6 | +C3-+C4-+---+D7-+ | C1 | | | +---+---+---+D8-+ | | | | D9 +---+---+---+---+
die Punktzahl dieser beiden Ketten C:D = (4+0):(0+4) = 4:4. Wenn D keine DDD spielt, sondern die Schleife nimmt, dann ist nach
+---+---+D5-+---+ | D3 | C6 | +D2-+D4-+---+C7-+ | C1 | | | +---+---+---+C8-+ | | | | C9 +---+---+---+---+
die Punktzahl dieser beiden Ketten ebenfalls C:D = (0+4):(4+0) = 4:4.
Fall 1.2: C öffnet die 4-Box-Kette
+---+---+C1-+---+
| | |
+ + +---+ +
| | | |
+---+---+---+ +
| | | |
+---+---+---+---+ Wenn nach C1 Spieler D die ganze Kette nimmt, dann ist der Punktestand nach
+---+---+C1-+---+ | C8 | D2 | +C7-+C9-+---+D3-+ | D6 | | | +---+---+---+D4-+ | | | | D5 +---+---+---+---+
C:D = (0+4):(4+0) = 4:4. Wenn nach C1 Spieler D DD mit D4 spielt, dann ist nach
+---+---+C1-+---+ | D8 | D2 | +D7-+D9-+---+D3-+ | C6 | | | +---+---+---+C5-+ | | | | D4 +---+---+---+---+der Punktestand C:D = (2+0):(2+4) = 2:6. Das Beste, was D nach C1 erzwingen kann, ist C:D = 2:6.
Was lernen wir aus den beiden Fällen?
Es ist am besten, wenn der Spieler, der als nächstes (C) spielt, den Loop mit C:D = 4:4 öffnet, anstatt dass die lineare Kette nur C:D = 2:6 erreicht. Wenn wir Ketten nach Größe − 2 sortieren würden, um zu entscheiden, welche zuerst geöffnet werden soll, dann (4−2) = 2 < 4 would give the correct result. We can now decide on the optimal play for B in:
+---+---+- +---+
| | |
+ + +---+ +
| | | |
+---+---+---+ +
A1 |
+---+---+ +---+
Soll B die Kette nehmen oder DD spielen?
Wenn B die Kette nimmt, dann ist nach
+---+---+A9-+---+ | A7 | B10 | +A6-+A8-+---+B11+ | B5 | | | +---+---+---+B12+ B2 A1 B3 | B13 +---+---+B4-+---+
die Punktzahl auf diesen 3 Ketten A:B = (0+4+0):(3+0+4) = 4:7. Wenn B stattdessen DD mit B3 spielt, dann ist nach
+---+---+B9-+---+ | B7 | B10 | +B6-+B8-+---+B11+ | A5 | | | +---+---+---+B12+ B2 A1 A4 | B13 +---+---+B3-+---+
der Punktestand auf diesen 3 Ketten A:B = (2+0+4):(1+4+0) = 6:5. Das Beste, was B nach A1 erreichen kann, ist also A:B = 4:7, das B erhält, indem er DDD nicht spielt. In beiden Fällen haben wir die frühere Erkenntnis verwendet, dass die Schleife als nächstes geöffnet werden sollte.
Fall 2: A öffnet die Schleife mit 4 Kästchen:
+---+---+ +---+
| | |
+ + +---+ +
| A1 | | |
+---+---+---+ +
|
+---+---+ +---+
Fall 2.1: B übernimmt die gesamte Schleife.
Es ist klar, dass die kleine Kette mit DD gespielt werden sollte, was zu
+---+---+B9-+---+ | B3 | A10 | +B2-+B4-+---+A11+ | A1 | | | +---+---+---+A12+ B5 A6 B8 | A13 +---+---+A7-+---+führt, was eine Punktzahl auf diesen 3 Ketten von A:B = (0+1+4):(4+2+0) = 5:6 ergibt.
Fall 2.2: B opfert die Schleife.
Wieder sollte die kleine Kette mit DD gespielt werden, was zu
+---+---+A9-+---+ | B2 | B10 | +A3-+A4-+---+B11+ | A1 | | | +---+---+---+B12+ A5 B6 A8 | B13 +---+---+B7-+---+führt, was eine Punktzahl für diese 3 Ketten von A:B = (4+2+0):(0+1+4) = 6:5 ergibt.
Was lernen wir aus den Fällen 2.1 und 2.2?
Aufgrund des hohen Preises für das Spielen von DDD in einer Schleife ist es für B hier am besten, den gesamten Loop zu nehmen und eine Punktzahl von A:B = 5:6 zu erreichen.
Was lernen wir aus den Fällen 1 und 2?
Wir haben zwei lineare Ketten mit 3 und 4 Kästen und eine Schlaufe mit 4 Kästen. Am besten ist es, wenn A die Schleife öffnet und eine Punktzahl von A:B = 5:6 erreicht. Wenn A die Kette mit 3 Kästchen öffnet, dann erreicht sie nur A:B = 4:7. Es ist klar, dass es für B nicht besser sein kann, die Kette mit 4 Kisten vor der Kette mit 3 Kisten zu öffnen. Daher funktioniert es nicht, Ketten einfach nach Größe zu sortieren, um zu bestimmen, welche als nächstes geöffnet werden sollen. Aber das Sortieren nach Größe -2 für lineare Ketten und Größe -4 für verschlungene Ketten scheint zu funktionieren, weil (4-4) = 0 < 1 = 3 − 2 indicating that the loop should be opened first.
Die Reihenfolge, in der Ketten geöffnet werden
Mit den Erfahrungen aus den obigen Beispielen gehen wir nun das Problem an, die Reihenfolge zu bestimmen, in der Ketten geöffnet und abgeschlossen werden. Diese Reihenfolge der Ketten wird unten verwendet, um zu bestimmen, wann einer der Spieler DD/DDD spielen wird, wer das Spiel gewinnt und mit wie viel Vorsprung. Die gute Nachricht ist, dass diese Abfolge von Eröffnungsketten im Endgame nicht davon abhängt, wer an der Reihe ist oder wer zuvor DD/DDD gespielt hat. Der Grund dafür ist, dass zu jedem Zeitpunkt des Spiels nur die Linien zählen, die gezogen wurden, nicht von wem und nicht in welcher Reihenfolge. Auch der aktuelle Spielstand hat keinen Einfluss auf das zukünftige optimale Spiel. Ein schwieriges Problem in einfachere Probleme aufzuteilen, ist bereits ein Erfolg. In diesem Fall wurde die schwierige Aufgabe, zu bestimmen, wer welchen Zug im Endspiel macht, in zwei Probleme unterteilt: das Problem der Reihenfolge, in der Ketten geöffnet werden sollen, und das Problem, wer DD/DDD spielt und wann. Bevor wir beginnen, müssen wir über den allgemeinen Trend im Endspiel nachdenken.
Nimmt der "Wert" der geöffneten Ketten zum Ende hin ab oder zu?
Eine geöffnete Kette wird dem Gegner gegeben. Die Kette sollte daher den geringstmöglichen "Wert" haben, wobei der Wert auf einen Blick die Anzahl der Kartons ist. Daher kann der "Wert" der geöffneten Ketten im Laufe des Endspiels nur steigen oder konstant bleiben, aber nicht sinken. In unserem obigen Beispiel haben wir gesehen, dass es nicht funktioniert, die Kette mit den wenigsten Kästchen zu öffnen, die der Gegner nehmen kann. Aber wir wollen die Ketten nach einem gewissen "Wert" sortieren, weil jeder Spieler die am wenigsten wertvolle Kette für den Gegner öffnen möchte. Für den Gegner besteht der Wert einer Kette nicht nur in der Anzahl der Kästchen; Es spielt auch eine Rolle, ob die geöffnete Chain geeignet ist, um DD/DDD darin zu spielen. Ein guter Kandidat für diese Anpassung der Eignung für DD besteht darin, 2 von der Anzahl der Felder zu subtrahieren, wenn die Kette eine Schleife ist. Dies entspricht der Subtraktion von 2 von linearen Ketten und 4 von verschlungenen Ketten. Um also Ketten nach 'Wert' zu sortieren, nehmen wir 'Wert' = # von Boxen, wenn die Kette KEINE Schleife ist, und nehmen 'value' = # von Boxen − 2, wenn die Kette eine Schleife ist.
Wir beginnen mit Brettpositionen, bei denen jedes Kästchen mindestens 2 Seiten gezeichnet hat. Dazu können wir zwei Regeln formulieren, die alle Ketten ordnen.
Regel 2: Um Ketten zu ordnen, nimm für die letzte Kette die größte lineare Kette und wenn es keine lineare Kette gibt, nimm die größte Schleife.
Begründung der Regel 2
Ein Spieler, der die Kontrolle hat, öffnet keine Ketten und sortiert daher auch keine Ketten. Jeder Spieler, der Ketten sortiert, möchte es dem Gegner also so kostspielig wie möglich machen, die Kontrolle zu übernehmen oder zu behalten (d.h. DD/DDD-Züge zu spielen). Ein DD-Zug kostet 2 Boxen und ein DDD-Move 4 Boxen. Dieser Preis muss für alle Ketten bis auf die letzte bezahlt werden. Um die Gesamtkosten für den Gegner zu maximieren, sollte daher bei der Sortierung von Ketten möglichst die letzte Kette linear sein und keine Schleife. ∎
Regel 3: Wenn im Endspiel alle Kästchen mindestens 2 Seiten gezeichnet haben, dann sortiere sie, um alle anderen Ketten zu sortieren (Anzahl der Kästchen − 2, wenn es sich um eine Schleife handelt).
Begründung von Artikel 3
Zuerst sollten 1-Box-Ketten geöffnet werden, dann 2-Box-Ketten und dann lange Ketten. Wenn man 2 Boxen von allen linearen Ketten subtrahiert, hätte die 1-Box-Kette einen Wert von 1−2 = −1 und die 2-Box-Kette einen Wert von 2−2 = 0. Diese Werte sind kleiner als die Werte langer Ketten, so dass die Regel zum Subtrahieren von 2 Kästchen auch bei kurzen Ketten das richtige Sortierergebnis liefert.
Für den nächsten Spieler, der die Kontrolle übernimmt oder behält, ist der Wert einer Kette die Anzahl ihrer Kästchen − 2, wenn es sich um eine lineare Kette handelt, und − 4, wenn es sich um eine Schleife handelt. Um Ketten zu sortieren, erhält man das gleiche Ergebnis, wenn man im Falle einer Schleife nur 2 subtrahiert.
Was ist, wenn der Gegner keine Kontrolle hat und in der nächsten Runde auch nicht die Kontrolle übernimmt? Würde der Gegner nicht davon profitieren, wenn er aufgrund dieser Reihenfolge in einer geöffneten Schleife mit zwei Kästchen mehr als nächstes zieht, als wenn er eine lineare Kette mit gleichem "Wert", aber weniger Kästchen erhält? Nein! Wenn der Gegner die gesamte Runde absolviert, gibt es danach, wenn dieser Spieler an der Reihe ist, eine Schleife weniger und es ist 2 Boxen billiger, die Kontrolle zu übernehmen. ∎
Wir haben diesen Effekt in Beispiel 3 Fall 2.1 gesehen, wo Spieler B, nachdem Spieler A den Loop mit A1 geöffnet hat, den gesamten Loop übernimmt, aber als Konsequenz wurde es für A danach erschwinglich, mit A7 die Kontrolle zu übernehmen und das bestmögliche Ergebnis zu erzielen.
Die obigen Regeln sind eindeutig, wenn alle Kästchen zu einer Kette gehören, d.h. wenn alle Kästchen mindestens 2 Seiten gezeichnet haben. Aber was ist, wenn es 0- und 1-Boxen gibt?
Zu welchen Ketten gehören diese Boxen?
Regel 4: Um eine Sequenz von Ketten zu erstellen, die nach Wert sortiert sind, führe den folgenden Zyklus von Zügen durch, bis das gesamte Brett vollständig ist.
- Öffnen Sie eine der Ketten, für die der Wert (Anzahl der Kästchen, oder wenn es sich um eine Schleife handelt, die Anzahl der Kästchen −2) minimal ist, mit einer Ausnahme: Wenn es noch mindestens eine Schleife gibt, unabhängig davon, ob sie verbunden oder getrennt ist, und wenn es nur eine getrennte lineare Kette gibt, und wenn es keinen verbundenen Baum gibt, der nur lineare Ketten enthält, dann öffnen Sie nicht die letzte getrennte lineare Kette.
- Vervollständige die geöffnete Kette, ohne die Kisten zu zählen. Das Zeichnen von Linien am Ende einer linearen Kette kann eine 1-Box in eine 2-Box verwandeln und somit entweder zwei lineare Ketten zusammenführen oder eine Schleife abschneiden.
Wenn es im Endspiel noch 0-Kästchen und 1-Kästchen gibt, dann kann man sich ein solches Kästchen als Punkt vorstellen und sich die Ketten als Linien vorstellen, die an solchen Punkten enden oder am Rand des Brettes enden und dann einen künstlichen Zusatzpunkt erhalten.
Punkte zusammen mit ihren Verbindungslinien werden in der Mathematik als graph bezeichnet.
Die Ausnahme in Regel 4, die in der "Graphensprache" formuliert ist, würde lauten: Öffnen Sie keine lineare Kette, die einer vom verbleibenden Graphen getrennten Linie entspricht, wenn der verbleibende Graph einen getrennten Teil hat, der eine Schleife enthält, und keinen getrennten Teil, der keine Schleife enthält (und daher in der Sprache der Graphen als "Baum" bezeichnet wird).
Beispiel 4: Ein Diagramm wie ein "T"
Das 1-Kästchen hat ein 'T' mit der Inschrift:
+---+---+---+ + | T | | + + + + + | | | | + + +---+---+ | | | + +---+---+ +
Der Graph, der dieser Tafel entspricht, wäre wie ein T mit 4 Punkten, wobei das − und das | im T-Treffen und 3 Punkte an den 3 Enden des T.
Links von der 1er-Box befindet sich eine der beiden kürzesten Ketten. Wenn man es öffnet und
+---+---+---+ + +---+---+---+ + | | | | | | | + + + + + +---+ + + + | | | | | | | | +---+ +---+---+ +---+ +---+---+ | | | | | | + +---+---+ + +---+---+---+ +
vervollständigt, sieht man, dass das Brett durch das Vervollständigen von 2 Luftmaschen vervollständigt wird, eine mit 3 und eine mit 9 Kästchen.
Beispiel 5: Ein Graph wie ein "P"
Auf der 1-Schachtel befindet sich ein "P" mit der Inschrift:
+---+---+---+---+ | | + +---+---+ + | P | + +---+---+---+ | | +---+---+---+ +
Würde man die Seite über dem 1-Kästchen oder rechts von diesem Kästchen ziehen, würde man eine große lineare Kette mit 12 Kästchen
+---+---+---+---+ | | +---+---+---+ + | | + +---+---+---+ | | +---+---+---+ +
erzeugen und öffnen, die man dem Gegner nicht geben möchte. Wenn du die Linie unter der 1-Box zeichnest, wird das Board in eine geöffnete lineare Kette mit 4 Boxen und eine Schlaufe mit 8 Boxen unterteilt.
+--+--+--+--+ | | + +--+--+ + | | +--+--+--+--+ | | +--+--+--+ +
In Regel 4 wurde eine Ausnahme formuliert. Beispiel 6 veranschaulicht diese Ausnahme.
Beispiel 6: Ein "P"-Graph plus eine getrennte lineare Kette
Es können zwei lineare Ketten geöffnet werden, eine rechts und eine unten.
+---+---+---+---+ + | P | | + + +---+ + + | | | | + +---+---+---+ + | | | +---+---+---+ + +
Fall 1. Zuerst die kürzeste Kette öffnen
Es wurden 21 Züge gemacht, wenn also Spieler A begonnen hat, ist Spieler B als nächstes an der Reihe.
Wenn Spieler A nach dem Öffnen der kleinsten Kette mit B1 sofort die Kontrolle übernimmt, erhalten wir
+---+---+---+---+B1-+ | B5 B12 | | +A6-+ +---+ +A2-+ | | | | +A7-+---+---+---+B4-+ | A8 A9 B11 | | +---+---+---+A10+A3-+
und eine Punktzahl von A:B = (1+4+6):(2+2+0) = 11:4, wobei (2+2+0) bedeutet, dass Spieler B von den 3 geöffneten Ketten in dieser Reihenfolge 2, 2 und 0 Kästchen erhält. Da B nur mit B5 die 2. lineare Kette öffnen kann, kann Spieler A mit A10 die Kontrolle behalten, was nur 2 kostet, und erhält die Schleife kostenlos.
Fall 2. Zuerst die längere lineare Kette öffnen
Nachdem B die längere Luftmasche mit B1 darunter geöffnet hat und diese Luftmasche vollendet ist, muss derjenige, der die letzte(n) Viereck(e) hat, eine Luftmasche öffnen. Nach unserer Regel 2 öffnet Spieler B als nächstes die Schleife mit B8, um die Kontrolle zu übernehmen/zu behalten. Diese Strategie funktioniert, weil es für Spieler A keinen Sinn macht, die Kontrolle in der Schleife zu übernehmen/zu behalten, da es 4 Boxen kostet, aber nur 3 Boxen in der letzten Kette gewinnt.
+---+---+---+---+A14+ | B1 A13 B8 | | +A2-+A12+---+A9-+B15+ | | A11 A10 | | +A3-+---+---+---+B16+ | A4 A5 B7 | | +---+---+---+A6-+B17+
Die Punktzahl ist A:B = (4+6+0):(2+0+3) = 10:5
Wenn A in der ersten Kette nicht DD spielen würde:
+---+---+---+---+B14+ | B1 B13 A8 | | +A2-+B12+---+B9-+A15+ | | B11 B10 | | +A3-+---+---+---+A16+ | A4 A5 A6 | | +---+---+---+A7-+A17+
, dann wäre das Ergebnis A:B = (6+0+3):(0+6+0) = 9:6 für A schlechter. Der Grund dafür ist, dass das Spielen in der Schleife nach dem Öffnen (B9 oben) 6−3=3 Punkte wert ist und die Kontrolle in der ersten langen Kette nur 2 Punkte kostet, so dass es sich lohnt, die Kontrolle in der ersten Kette zu übernehmen. 10:5 ist besser als 9:6 für Spieler A.
Vergleicht man die Fälle 1 und 2 und die beiden Spielstände 11:4 und 10:5, so ist klar, dass Spieler B zuerst die längere Kette eröffnen sollte. Der Grund dafür ist, dass, wenn B zuerst die getrennte lineare Kette öffnen würde, die Schleife zuletzt abgeschlossen würde, was bedeutet, dass Spieler A keine 4 Punkte zahlen müsste, wenn er DDD in der Schleife spielt, um die Kontrolle zu behalten. Wir würden gegen unsere frühere Regel 2 verstoßen. Man kann allgemein zeigen, dass, wenn die getrennte Kette m Kästchen hat, die verbundene lineare Kette n Kästchen hat und die Schleife p Kästchen hat, dann gibt Spieler B, der die getrennte Kette zuerst öffnet, B 4 Punkte von 2 mal DD, während B die angehängte lineare Kette öffnet, dann erhält B
min(p + max(0,m-4),min(6,m+2))
viele Punkte. Der niedrigste Wert, den dies annehmen kann, ist, wenn p den niedrigsten Wert hat, der 4 ist (eine Schleife hat mindestens 4 Kästchen) undm seinen niedrigsten Wert hat, der 3 ist (kürzeste lange lineare Kette, wenn die kürzeste Kette nur 2 Kästchen hätte, würde sofort mit Hartherziges Handout gespielt werden und die Formel wäre anders). Für p = 4 und m = 3 würde Spieler B
min(4 + max(0,-1),min(6,5)) = min(4+0,5) = 4
und für P > 4 oder M > 4 würde Spieler B mehr als 4 Punkte bekommen.
Was ist, wenn es verschiedene Ketten mit dem gleichen niedrigsten Wert gibt?
Wenn verschiedene Ketten den gleichen niedrigsten Wert haben, verwendet unser Programm die Regel, um eine verbundene Kette zu öffnen. Der Gedanke dahinter ist, dass die Möglichkeit besteht, dass durch diese geöffnete Kette eine Schleife zugänglich wird, die das Übernehmen/Halten der Kontrolle nur noch teurer machen kann.
In Partien übernimmt man in der Regel die Kontrolle, indem man DD/DDD zu Beginn des Endspiels spielt. Aber wenn es viele Ketten mit 3 Boxen und Loops mit weniger als 8 Boxen gibt, dann ist es vielleicht am besten, DD/DDD nicht zu spielen und nicht die Kontrolle zu übernehmen. Wir brauchen also einen allgemeinen Algorithmus und nicht nur eine Faustregel.
Wann sollte man DD/DDD spielen und wann nicht?
In der Literatur über das Dots-Spiel wird das erste Spiel von DD/DDD auch taking control. genannt. Das bedeutet, dass der Spieler die Kontrolle darüber übernimmt, wer die letzte lange Kette bekommt, was möglicherweise nicht dasselbe ist, wie die Kontrolle über das Spiel zu übernehmen und es zu gewinnen, indem er DD/DDD NICHT spielt, wie wir weiter unten sehen werden.
Wenn ein Spieler die Möglichkeit hat, DD/DDD zu spielen, dann hat dieser Spieler die Möglichkeit, die Rollen mit dem Gegner zum Preis von 2 Punkten (DD) oder 4 Punkten (DDD) zu tauschen. Wenn man die Punktzahl kennt, die man durch optimales Spielen in den verbleibenden Ketten erhält, dann kann man entscheiden, ob es sich lohnt, die Rollen jetzt zum Preis von 2 (wenn die aktuell gespielte Kette linear ist) oder zu einem Preis von 4 (wenn die aktuell gespielte Kette eine Schleife ist) zu tauschen. Zusammen mit dem Verdienst aus der aktuellen Kette kann man die Punktzahl ermitteln, bevor man die aktuelle Kette öffnet. Diese Berechnung kann ab dem Ende des Spiels rückwärts durchgeführt werden, wenn man die Reihenfolge der geöffneten Ketten kennt. Eine solche Reihenfolge kann durch Regel 4 bestimmt werden.
Regel 5: Entscheide, ob du DD/DDD spielen möchtest oder nicht, indem du den folgenden Pseudo-Code verwendest.
Im folgenden Pseudo-Computercode ist Variable A die Anzahl der Punkte, die der Spieler, der die nächste Kette öffnet, im Rest des Spiels erhält, und Variable B ist die Anzahl der Punkte, die der andere Spieler erhält. Die Anzahl der verbleibenden Boxen ist A+B. Wir rechnen rückwärts und der Einfachheit halber beschriften wir Ketten rückwärts: Die letzte geöffnete Kette im Spiel ist Kette 1, die Kette davor ist Kette 2 und so weiter. Die aktuelle Kette ist die Kette k. Jede Kette j hat n_j Kästchen. Die Variable playDD zeichnet auf, ob DD/DDD in Kette j abgespielt wird.
Im folgenden Pseudocode initialisiert die Zeile(n)
- (1)-(3) die 3 Variablen als Ergebnis des Spielens der letzten Kette.
- (4)-(22) aktualisiere A, B, playDD für Kette j, wobei j rückwärts von der vorletzten Kette (j=2) zur aktuellen Kette k verläuft.
- (5)-(13) Wenn Kette j linear ist, sind die Kosten 2
- (14)-(22) Wenn Kette j eine Schleife ist, sind die Kosten 4
- (6)-(9), (15)-(18) wenn der Gewinn B−A größer ist als die Kosten (2 oder 4), dann spiele DD und reduziere B um die und addieren Sie sie zu A. Auf jeden Fall bekomme B n_j.
(1) A = 0
(2) B = n_1
(3) playDD = FALSCH
(4) Für jede Kette j von 2 bis k:
(5) Wenn chain j ist linear:
(6) Wenn B > (A + 2):
(7) playDD = STIMMT:
(8) B = B + n_j - 2
(9) A = A + 2
(10) Sonst:
(11) playDD = FALSCH:
(12) B = A + n_j
(13) A = B
(14) Sonst → Wenn chain j ist eine Schleife:
(15) Wenn B > (A + 4):
(16) playDD = STIMMT
(17) B = B + n_j - 4
(18) A = A + 4
(19) Sonst
(20) playDD = FALSCH
(21) B = A + n_j
(22) A = B
Nach dieser Berechnung A ist die Punktzahl für den Spieler, der die aktuelle Kette geöffnet hat B ist die Punktzahl für den Gegner und playDD sagt, ob der Gegner jetzt DD/DDD spielen soll. ∎ (Ende von Regel 5)
Dieser Pseudo-Code mag für einen Nicht-Programmierer schwierig erscheinen, aber er ist leicht im Kopf auszuführen, da er nur bedeutet, zu überprüfen, ob der Vorteil, die Kontrolle zu behalten, die Kosten dafür überwiegt, d.h. die Kosten für das Spielen von DD/DDD.
Testfrage
Wir wissen, dass unterste Wertschöpfungsketten zuerst geöffnet werden. Bedeutet das, dass das Spielen von DD/DDD gegen Ende des Spiels vorteilhafter wird?
Mit anderen Worten, bedeutet das Spielen von DD/DDD jetzt immer, dass man es bis zum Ende spielen muss, da sonst der Gegner die Kontrolle übernimmt und gewinnt?
In fast allen Fällen, ja. In Beispiel 6, Fall 2 haben wir jedoch gesehen, dass eine Schleife mit niedrigem Wert möglicherweise erst zugänglich ist, nachdem lineare Ketten mit höherem Wert abgeschlossen sind. Obwohl es nicht genug Anreiz gab, DDD zu spielen, als die Schleife geöffnet wurde (die letzte Kette hatte nur 3 Boxen, während DDD 4 Boxen kostet), reichte der Anreiz aus, um früher DDD zu spielen, was nur 2 kostet.
Testfrage
Nehmen wir an, dass jemand richtig einschätzt, ob er DD/DDD spielen soll. Sie entscheiden sich, es zu spielen und die letzte Kette zu bekommen.
Wird dieser Spieler immer gewinnen?
Nein. Nehmen wir zum Beispiel an, wir haben 5 lineare Ketten mit jeweils 3 Kästchen. Wenn Sie die letzte kaufen, erhalten Sie einen Anreiz von 3 Boxen, was ausreicht, um 3 DD zu bezahlen, die jeweils 2 kosten, und 1 Box zu erhalten. Das bedeutet, dass die erste Kette als Ganzes abgeschlossen ist und 3 weitere DD-Züge Punkte (3+2+2+2+0) ergeben: (0+1+1+1+3) = 9:6 für den Spieler, der die letzte Kette nicht bekommen hat.
Sind unsere Regeln, um Endspiele zu spielen, perfekt?
Nein. Wenn man auf einem großen Brett viele Ketten hat, die durch 0-Boxen und 1-Boxen verbunden sind, dann können mehrere von ihnen die gleiche Anzahl von Boxen haben, und dann kann eine verfeinerte Theorie oder Suche erforderlich sein, um die optimale auszuwählen, auf deren Grundlage andere Ketten später durch die Fertigstellung der ersten Ketten zugänglich werden.
Die Regel der langen Kette
Regel 6: Der erste Spieler sollte versuchen, die Anzahl der Punkte + die Anzahl der langen linearen Ketten gerade zu machen, und der zweite Spieler sollte versuchen, diesen Wert ungerade zu machen.
Begründung der Regel
Zu Beginn führen wir einige Variablen ein, wobei '#' für 'Zahl' steht:
nt = # der Züge (# wie oft ein Spieler aufeinanderfolgende Züge gespielt hat)
nd = # der Punkte
r = # der Reihen von Punkten
c = # der Spalten mit Punkten
nl = # der Zeilen
nb = # der Kästchen
nc = # von langen Ketten
nz = # des Zuges, der die erste lange Kette im Endspiel geöffnet hat
Wir beginnen mit der Ableitung einer Relation, die als Eulersche Identität bekannt ist.
nb = (r−1)(c−1) = rc − r − c + 1
nd = RC
nl = # der horizontalen Linien + # der vertikalen Linien
= r(c−1) + c(r−1)
= 2rc − r − c
und daher
nl = nb + nd − 1 .
Diese Beziehung ist äquivalent zur Eulerschen Identität, die für beliebige Graphen gilt, d.h. eine beliebige Anzahl von Punkten, die durch eine beliebige Anzahl von nl von Linien verbunden sind, nicht nur vertikal und horizontal, die nf Flächen umgeben, wobei in unserem Fall nf = nb + 1 ist, weil unser rechteckiges Gitter von Punkten eine zusätzliche umgebende Fläche hat, die auch in Eulers Identität gezählt wird:
nl − nd + 2 = nf (= nb + 1).
Als nächstes berechnen wir die Anzahl der Züge des gesamten Spiels.
nt = nl − (# Anzahl der Male, in denen das Zeichnen einer Linie mindestens 1 Kästchen abgeschlossen hat)
− 1 {Das Ausfüllen des allerletzten Kästchens gibt keinen weiteren Zug.})
= nl − (nb − (# der Züge, die 2 Kästchen vervollständigen) − 1)
= nl − nb + 1 + (# der Züge, die 2 Kästchen vervollständigen)
= nd {mit unserer früheren Relation nl = nb + nd − 1}
+ (# von DD in linearen Ketten) + (# von Schleifen) + (# von DDD in Schleifen)
Die letzte Zeile ergibt sich aus der Tatsache, dass beim Beenden einer Schleife der letzte Zug immer zwei Felder vervollständigt und wenn DDD in einer Schleife gespielt wird, dann schließt ein weiterer Zug ebenfalls 2 Felder ab. Wir nennen die abgeleitete Relation
Formel für die Anzahl der Umdrehungen:
nt = nd + (# von DD in linearen Ketten) + (# von Schleifen) + (# von DDD in Schleifen)
Es handelt sich um eine exakte Formel, die auf keinen Annahmen beruht.
Rechnen nz, das ist die Runde, die die erste lange Kette öffnet
Nachdem die erste lange Kette im Endspiel geöffnet wurde, ist die Anzahl der verbleibenden Züge gleich der Anzahl der langen Ketten, wenn jeder Spieler eine Kette vervollständigt, falls kein DD und kein DDD gespielt wird. Wenn also (# von DD) = (# von DDD) = 0 ist, dann
nz {# des Zuges, der die erste lange Kette im Endspiel öffnet}
= nd + (# der Schleifen) − (# der langen Ketten)
= nd − (# von langen linearen Ketten)
Die Formel für nz gilt auch, wenn DD/DDD gespielt werden.
Rechtfertigung:
Ein Spiel von DD/DDD konnte nichts daran ändern, was bereits zuvor passiert war, nämlich die nz-Runden, die zur Eröffnung der ersten langen Kette im Endspiel führten. Für jeden gespielten DD und DDD erhöht sich die Anzahl der Züge im Endspiel um 1 (bitte überprüfen), so dass, wenn man die Anzahl der Züge im Endspiel von der Gesamtzahl der Züge abzieht, (# von DD) und (# von DDD) jeweils abgebrochen werden und wir den gleichen Wert für nz erhalten, als wenn kein DD/DDD gespielt würde.
Kein Spieler möchte also diesen Zug machen, d.h. der erste Spieler möchte nicht, dass nz ungerade ist und möchte daher, dass nz gerade ist. 2×(# von langen linearen Ketten) ist eine gerade Zahl, so dass die Addition zu nz nichts daran ändert, ob nz gerade oder ungerade ist, was letztendlich zu der
Lange Kettenregel: Der erste Spieler versucht, (# aus Punkten) + (# aus langen linearen Ketten) zu machen, während der zweite Spieler versucht, es ungerade zu machen. ∎
Eine falsche Herleitung der Long-Chain-Regel
In einigen Veröffentlichungen über das DOTS-Spiel werden zwei unnötige Annahmen getroffen, um die Long Chain Rule herzuleiten.
1. Annahme: Wenn beide Spieler das Endspiel optimal spielen, dann gewinnt derjenige, der den letzten Zug spielt, wegen des hohen Wertes der letzten und größten Kette und weil er nicht noch einmal ziehen und eine weitere Kette für den Gegner öffnen muss.
Der erste Spieler möchte also, dass nt = (# der Züge) ungerade ist, um den ersten und letzten Zug machen und gewinnen zu können.
2. Annahme: Alle langen Ketten bis auf die letzte Kette werden mit DD/DDD gespielt. Somit ist (# von Schleifen) + (# von DDD in Schleifen) gerade und kann ignoriert werden und nt = nd + (# von DD in linearen Ketten) wird zu nt = nd + (# von langen linearen Ketten) − 1. Daher möchte der erste Spieler, dass dieser nt ungerade ist, um den letzten Zug machen zu können, der dann ist, wenn (# der Punkte) + (# der langen linearen Ketten) gerade ist - die lange Kettenregel. ∎
Aber wir wissen, dass diese 2 Annahmen nicht notwendig sind, damit die Long-Chain-Regel wahr ist. Das nächste Beispiel soll dies verdeutlichen.
Welchen Erfolg garantiert die Regel für einen Spieler?
Die Long Chain Rule ist eine notwendige und hinreichende Bedingung, um zu entscheiden, welcher Spieler der erste Spieler ist, der im Endspiel die erste offene Long Chain spielt. Dieser Spieler P kann wählen, ob er DD/DDD spielen möchte oder nicht. Wir haben 2 Fälle.
Wenn die erste lange Kette linear ist , dann hat sie mindestens 3 Kästchen, und das Spielen von DD kostet 2 Kästchen.
• Wenn der Anreiz für das Spielen von DD <2 ist, dann wird Spieler P nicht DD spielen und die gesamte erste Kette nehmen und der Gegner wird höchstens 1 weiteres Feld von den verbleibenden Ketten erhalten, so dass P im Endspiel mindestens 3−1 = 2 Felder mehr als der Gegner erhält.
• Wenn der Anreiz 2 ist, dann spielt es keine Rolle, ob P in der ersten langen Kette DD spielt oder nicht und somit im Endspiel ≥3 Felder mehr gewinnt.
• Wenn der Anreiz >2 ist, dann spielt P DD und bekommt im Endspiel >3 Felder mehr.
Wenn die erste lange Kette eine Schleife ist , dann hat die erste Kette im schlimmsten Fall 4 Kästchen und der Anreiz ist 4 und dann, egal ob man DDD spielt oder nicht, beide Spieler erhalten im Endspiel die gleiche Anzahl von Punkten. Aber wenn der Anreiz >4 ist, dann gibt es mehr Punkte, wenn man DDD spielt, und wenn der Anreiz <4 ist, dann gibt es mehr Punkte, wenn man DDD nicht spielt, weil die Schleife mindestens 4 Kästchen hat. Und wenn die erste lange Kette eine Schleife mit mehr als 4 Kästchen ist, dann bekommt P diese zusätzlichen Punkte als Vorteil im Endspiel, auch wenn der Anreiz 4 ist.
Was sind mögliche Punkteunterschiede zu Beginn des Endspiels?
• Wenn die Anzahl der 1-Ketten gerade und die Anzahl der linearen 2-Ketten gerade ist, dann ist die Punktedifferenz zu Beginn des Endspiels Null.
• Wenn die Anzahl der 1-Ketten gerade und die Anzahl der linearen 2-Ketten ungerade ist, dann ist der Punktestand zu Beginn des Endspiels 2.
• Wenn die Anzahl der 1-Ketten ungerade ist, dann beträgt die Punktedifferenz nach Abschluss aller 1-Ketten 1. Dann wechselt jede abgeschlossene 2er-Kette nur zwischen beiden Spielern, die mit 1 Feld führen.
Wie wichtig ist also die Long Chain Rule?
Wann bestimmt die Long-Chain-Regel nicht das Ergebnis?
Welche Regel sollte dann befolgt werden?
Beispiel 7: Testen der Regel in einer ungewöhnlichen Situation
Im folgenden beginnt Spieler A das Spiel. Auf diesem Brett wurde eine ungerade Anzahl von 5×3 = 15 Zügen gemacht. Zug 16 öffnet die erste lange Kette, die der von uns abgeleiteten Formel entspricht: 16 = (# der Punkte) − (# der linearen langen Kette) = 20 − 4. Wer auch immer diesen Zug macht, in diesem Fall Spieler B, verliert, wenn Spieler A DD angemessen spielt.
+-B-+ + + + | | | | | + + + + + | | | | | + + + + + | | | | | + + + + +
Spieler A startete und Spieler B musste eine Kette öffnen.
Wie hoch ist die Punktzahl, wenn drei DD gespielt werden?
Wenn A 3 Mal DD spielt, dann ist das Endergebnis A:B = 6:6.
+---+---+---+---+ | A | A | A | A | +---+---+---+---+ | B | B | B | A | +---+---+---+---+ | B | B | B | A | +---+---+---+---+
Der Punktestand aus den letzten 3 Ketten ist 5:4, also ist es nicht optimal, DD in der ersten Kette zu spielen und mit 2 Punkten für einen Punkt zu bezahlen.
Wie hoch ist der Punktestand, wenn zwei DD gespielt werden?
Es ist besser, wenn A die gesamte erste Kette nimmt und ein Endergebnis von A:B = 7:5 erhält.
+---+---+---+---+ | A | B | B | B | +---+---+---+---+ | A | A | A | B | +---+---+---+---+ | A | A | A | B | +---+---+---+---+
Welche Annahme der falschen Herleitung der Long-Chain-Regel wird verletzt?
Beide Annahmen wurden verletzt. A gewinnt, bekommt aber nicht die letzte Kette. DD wird nicht in jeder langen linearen Kette gespielt.
Gilt die Long Chain Rule noch für dieses optimale Spiel?
Wir erhalten (# der Punkte) + (# lange lineare Ketten) = 20 + 4 = 24, was gerade ist und der erste Spieler gewinnt, wie es die Regel vorhersagt. Diese Regel ist also besser als der alternative Beweis mit unnötigen Annahmen und Fehlinterpretationen.
Testfrage
Erfordert ein optimales Spiel, entweder DD/DDD zu spielen oder DD/DDD nicht zu spielen?
Nein, beide könnten gleich gut sein. Mit nur zwei langen Ketten mit 3 Kästchen muss A DD spielen, was eine Punktzahl A:B = 4:2 ergibt.
+-B-+ + +---+---+ | | | | A | A | + + + +---+---+ | | | → | B | A | + + + +---+---+ | | | | B | A | + + + +---+---+
Der Anreiz, DD vor diesen beiden Chains zu spielen, ist also 4 − 2 = 2, was den Kosten für das Spielen von DD entspricht. Daher ergeben beide Spiele die gleiche Punktzahl: A:B = (0+1+3):(3+2+0) = 4:5 = (2+2+0):(1+1+3)
+---+---+---+ +---+---+---+ | B | A | A | | B | B | B | +---+---+---+ +---+---+---+ | B | B | A | = | A | A | B | +---+---+---+ +---+---+---+ | B | B | A | | A | A | B | +---+---+---+ +---+---+---+
Testfrage
Könnte es bei optimalem Spiel passieren, dass Spieler wiederholt DD/DDD starten und aufhören?
Ja. Wir haben oben gesehen, wie das Hinzufügen einer Kette mit 3 Kästchen das Ergebnis von 4:2 auf 4:(2+3) = 4:5 änderte. Der Anreiz, DD vor diesen 3 Ketten zu spielen, wäre 5−4 = 1 < 2, also weniger als die Kosten für das Spielen von DD, die 2 sind. Bei vier Ketten à 3 Kästchen würde die erste also nicht mit DD gespielt werden. Wenn es eine weitere Kette mit 3 Kästchen gäbe, würde die Punktzahl (4+3):5 = 7:5 = (4+1):(5+2) sein, so dass der Anreiz, in 5 Ketten mit 3 Kästchen die zweite zu spielen, 7−5 = 2 wäre, so dass es in Ordnung wäre, DD zu spielen, was in beiden Fällen eine Punktzahl von (2+5):(1+7) = 7:8 = 7 ergibt: (3+5).
+-B-+---+---+---+ | A | B | B | B | +---+---+---+---+ | A | A | A | B | +---+---+---+---+ | A | A | A | B | +---+---+---+---+
Durch das Hinzufügen von mehr Ketten mit 3 Kästchen könnte man mehr Änderungen zwischen Spiel und Nicht-Spiel von DD haben.
Ist die Long Chain Rule erfüllt?
Der Leser wird ermutigt, die Long Chain Rule mit weiteren Beispielen zu überprüfen, die Schleifen beinhalten.
Beispiel 8: Anwenden der Long-Chain-Regel
Auf this website von David Wilson wird die folgende Stellung gezeigt, die nur einen Zug hat, den der nächste Spieler gewinnen kann.
+ + + +
|
+ + +---+
+---+---+---+
|
+ +---+ +
Wer würde gewinnen, wenn sich beide Spieler an unsere Endspielregeln halten würden?
Dieses Brett hat eine gerade Anzahl von Punkten und eine gerade Anzahl von langen Ketten. In der letzten langen Kette wird kein DD-Zug gespielt, so dass normalerweise eine ungerade Anzahl von DD-Zügen gespielt wird und daher # der Punkte + # der DD ungerade ist, so dass die Anzahl der Züge ungerade ist, so dass der erste Spieler die letzte Kette erhält und gewinnt. Dies steht im Einklang mit der "Long Chain Rule": "Der erste Spieler sollte versuchen, # aus Punkten + # aus langen (linearen) Ketten gerade zu machen, und der zweite Spieler sollte versuchen, es ungerade zu machen."
Was kann der 2. Spieler tun?
Der 2. Spieler kann die Anzahl der Punkte nicht ändern, sondern nur die Anzahl der DD-Züge, indem er 2 Kästchen opfert und den als B markierten Zug spielt, der der einzige Gewinnzug ist, den der 2. Spieler in dieser Situation hat:
+ + + +
|
+ + +---+
+---+---+---+
| B
+ +---+ +Dieser Zug reduziert die Anzahl der langen Ketten von 2 auf 1 und macht somit # der Punkte + # der langen (linearen) Ketten ungerade und ermöglicht es somit dem 2. Spieler, stattdessen mit einem Punkt Vorsprung zu gewinnen um einen Punkt zu verlieren.
Wie könnte das Spiel weitergehen?
Die folgenden Variationen führen alle zu A:B = 4:5, also zu einem 1-Punkt-Sieg für B.
+A8-+B4-+A5-+ B9 | B13 B14 +A3-+A12+---+ A11 B10 B15 B16 +---+---+---+ | B A2 A7 +A1-+---+B6-+ +A5-+A10+B6-+ B13 | B9 A11 +A12+A3-+---+ B4 B14 B15 B16 +---+---+---+ | B A2 B8 +A1-+---+A7-+ +A5-+B4-+B6-+ A10 | B13 B14 +B9-+A13+---+ A11 A3 B15 B16 +---+---+---+ | B A2 B8 +A1-+---+A7-+
Dieser Schritt verstößt gegen die allererste Regel 1, keine 3-Boxen zu erstellen, wenn es nicht wirklich notwendig ist. Wie schlimm ist dieser Verstoß gegen Regel 1?
Dieser Verstoß gegen Regel 1 ist nicht weniger seltsam als das Spielen von DD. Wie wir bereits herausgefunden haben, ist es normal, DD zu spielen und einen Preis von 2 Punkten zu zahlen, um die Rollen zu tauschen. Dieses Opfer ist also minimal und in Ordnung, wenn es den gleichen Effekt wie eine DD-Attacke hat.
Im obigen Teil dieser Seite wurden Fachbegriffe vorgestellt und Regeln formuliert. Das Endspiel wird ausführlich beschrieben und für den ersten Teil des Spiels gibt die Long Chain Rule eine Orientierung. Wenn du mehr über den ersten Teil des Spiels erfahren möchtest, dann schau dir bitte [2] und [3] in den Referenzen an. Der folgende Entscheidungsbaum fasst diese Webseite zusammen.
Ein Entscheidungsbaum
Damit die folgenden Links funktionieren, muss man den obigen Text aufklappen, indem man auf klickt
- Wenn es mindestens eine 3er-Box gibt (eine Box, die vervollständigt werden kann), dann identifiziere alle Ketten, die an all diesen 3-Boxen befestigt sind.
- Wenn eine dieser Ketten linear ist und mindestens 2 benachbarte Kästchen hat, dann vervollständige alle Kästchen aus allen linearen und alle geschlungenen geöffneten Ketten mit Ausnahme dieser beiden benachbarten Kästchen dieser einen linearen Kette. Analysiere dann, ob du DD spielst und entweder DD spielst oder die letzten 2 Kästchen vervollständigst.
- Wenn alle offenen Ketten entweder die Länge 1 haben oder geschlungen sind, dann zuerst alle offenen Ketten der Länge 1 vervollständigen und wenn es mindestens eine offene Loopy Kette gibt, dann alle offenen Loopy Chains bis auf die letzten 4 Kästchen einer der offenen Loopy Chains vervollständigen. Analysieren Sie dann, ob Sie DDD spielen oder die letzten 4 Felder ausfüllen möchten.
- Wenn es kein Kästchen gibt, das ausgefüllt werden kann, dann
- Wenn jeder Zug ein 3-Kästchen erzeugt, dann
- Wenn die kürzeste Kette eine 2-Kette
+---+---+ +---+---+
ist, bei der die 2 nicht gezeichneten Linien überall sein können, aber nicht im selben Kästchen, dann spiele in der Mitte, um (in diesem Fall) Folgendes zu erreichen:+---+---+ | +---+---+ - Andernfalls bestimmen Sie die nächste zu öffnende Kette und spielen Sie an einer beliebigen Stelle in dieser Kette.
- Wenn die kürzeste Kette eine 2-Kette
- Wenn es einen Zug gibt, der kein 3er-Feld erzeugt, dann
- Wenn es im Spiel höchstens 1 lange Kette (linear oder geschlungen) gibt, z.B. weil das Rechteck aus Punkten klein oder dünn ist, dann werden keine DD/DDD-Züge gespielt und dann gewinnt der Spieler, der den letzten Zug macht, und wegen der Anzahl der Rundenformel sollte der erste Spieler versuchen, die Summe # der Punkte + # der Schleifen ungerade und der zweite Spieler gerade zu machen. Da die # der Punkte fest ist, kann man nur versuchen, eine gerade bzw. ungerade Anzahl von Schleifen zu erhalten. Wenn das unmöglich ist, dann ändere, wer zuerst spielt.
- Wenn klar ist, dass es mindestens zwei lange Ketten im Spiel geben wird, aber nicht klar ist, wie viele, dann befolge die Long Chain Rule und versuche als erster Spieler, # aus Punkten + # aus langen linearen Ketten gerade zu machen und als zweiter Spieler versuche du, die Summe ungerade zu machen, sonst
- Wenn klar ist, wie viele lange lineare Ketten im Spiel auftauchen werden und wenn die Long Chain Rule das Verlieren des Spiels vorhersagt, dann erwägen Sie, einen Opferzug zu machen, um die Anzahl der langen linearen Ketten zu reduzieren.
- Wenn jeder Zug ein 3-Kästchen erzeugt, dann
Referenzen
[1] Wikipedia:Punkte und Kästchen, siehe dort weitere Quellenangaben.
[2] Berlekamp, Elwyn R.; Conway, John H.; Guy, Richard K. (1982), "Chapter 16: Dots-and-Boxes", Winning Ways for your Mathematical Plays, Band 2: Games in Particular, Academic Press, S. 507–550.
[3] Berlekamp, Elwyn (2000), The Dots-and-Boxes Game: Sophisticated Child's Play, AK Peters, Ltd, ISBN 1-56881-129-2.
[4] Wilson, David, Ergebnisse der Punkt-und-Kästchen-Analyse, Universität von Wisconsin
Index
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- # ...
- die Anzahl der ...
- Box
- ein kleines Quadrat mit 4 benachbarten Punkten als Ecken
- ?-Box
- 0-Box, 1-Box, 2-Box, 3-Box, 4-Box sind Boxen, bei denen 0, 1, 2, 3, 4 ihrer Seiten gezeichnet sind.
- Chain
- eine Sequenz, die aus verbundenen 2-Boxen besteht. Es gibt lineare Ketten und loopy Ketten.
- Double-Crossed Move
- Ein Zug, der zwei benachbarte Felder auf einmal vervollständigt. Es wird unmittelbar nach einem Double Dealing Zug in einer linearen Kette oder nach Abschluss einer Schleife gespielt.
- DD
- Abkürzung für Double Dealing
- DDD
- Abkürzung für Double Double Dealing
- Doppelzüngigkeit
- ein Zug, der zu führt
- Double Double Dealing
- Ein Zug in der Mitte einer geöffneten Schleife mit 4 verbleibenden Boxen, die z.B.
+---+---+ +---+---+---+---+ | | | | | +---+---+ oder +---+---+---+---+ oder | | +---+---+ +---+---+ +---+---+---+ | | | | | +---+---+---+ oder +---+---+ + | | | | +---+---+ +---+- Endspiel
- Die letzte Phase des Spiels, die beginnt, wenn es unvermeidlich wird, im nächsten Zug ein 3-Kästchen zu erstellen
- Eulersche Identität
- eine allgemeine Relation für jeden graph in der Ebene, nicht nur für das Punktspiel, bei dem sich Linien nicht kreuzen: (# der Linien) − (# der Punkte) + 2 = (# der Flächen) wobei die Flächen die "äußere Fläche" enthalten, also für uns (# der Flächen) = (# der Kästchen) + 1.
- Graph
- Ein Konzept in der Mathematik, bei dem eine Anzahl von Punkten durch eine Anzahl von Linien verbunden ist
- Hartherziges Handout
- Zeichnen der Mittellinie in
führt+---+---+ +---+---+ +---+---+ oder | oder | | +---+---+ +---+ + + + +oder gedrehten und gespiegelten Versionen von ihnen, was zu+---+---+ +---+---+ +---+---+ | oder | | oder | | | +---+---+ +---+ + + + +oder gedrehten und gespiegelten Versionen von ihnen- Halbherziges Handout
- Zeichnen einer Linie am Rand einer Kette mit zwei Kästchen, die zu
führen+---+---+ +---+---+ | oder | | +---+---+ +---+ +
- Line
- Das Liniensegment, das zwei benachbarte Punkte horizontal +---+ oder vertikal
verbindet- Lineare Kette
- Eine Kette, die 2 Enden hat, nicht unbedingt gerade
- Lange Kettenregel
- Der erste Spieler sollte versuchen, # aus Punkten + # aus langen Ketten gerade zu machen, und der zweite Spieler sollte versuchen, diesen Wert ungerade zu machen.
- Lange Kette
- eine Kette mit ≥ 3 Kästchen
- Loony Move
- Ein Zug, der dem Gegner die Möglichkeit gibt, ein Opfer zu bringen
- Loop
- Abkürzung für loopy chain
- Loopy chain
- eine Kette ohne Enden
- Verschieben
- Zeichnen einer Linie
- Number of Turns Formula
- Eine exakte Formel, die die Anzahl der Züge in einem Spiel angibt, die die Grundlage für die Long Chain Rule ist und die für eine geringe Anzahl von Punkten nützlich ist, um zu entscheiden, ob man der erste Spieler ist oder nicht
- Öffnen einer Kette
- Ausführen einer Bewegung innerhalb einer Kette oder an einem ihrer Enden (wenn es sich um eine lineare Kette handelt) und so Erstellen einer 3-Box.
- Regel 1
- Der offensichtlichste Spielzug besteht darin, es zu vermeiden, eine 3-Box zu erstellen, die der Gegner einnehmen könnte, wenn er sie vervollständigt.
- Regel 2
- Für die Reihenfolge der Ketten nimmst du für die letzte Kette die größte lange lineare Kette, und wenn es keine lange lineare Kette gibt, dann nimm die größte Schleife.
- Regel 3
- Wenn im Endspiel alle Kästchen mindestens 2 Seiten gezeichnet haben, dann sortiere alle anderen Ketten nach (# der Kästchen) − 2 (wenn es sich um eine Schleife handelt).
- Regel 4
- Um eine Abfolge von Ketten zu erstellen, die nach dem Wert für den nächsten Spieler sortiert sind, führt der niedrigste Wert zuerst eine Sequenz von Zügen aus (siehe text), bis das gesamte Brett vollständig ist.
- Regel 5
- Verwenden Sie den bereitgestellten Pseudocode (siehe text), um zu entscheiden, ob DD/DDD gespielt werden soll oder nicht.
- Regel 6
- Bezieht sich auf die Long Chain Rule
- Übernahme der Kontrolle
- wie beim Spielen von DD/DDD, was als wichtiger Nebeneffekt die Möglichkeit bietet, DD/DDD in den nächsten Ketten zu wiederholen
- Turn
- eine Folge aufeinanderfolgender Züge eines Spielers
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