Советы по калькростическому решению

Детективная работа над задачами калькростики

Разгадывание калькростика похоже на осмотр места преступления в поисках улик. Ниже приведены примеры, как получить подсказки из отдельных строк головоломки.

Например, если строка, столбец или диагональ

a × b = a

тогда
a
должно быть равно 0 или
b
должно быть равно 1. Легко определить, какой случай применяется. Мы смотрим на другие строки, которые включают
a
и
b
. Например, если
a=0
, то
c + a = c
, а если
b=1
, то
c + b = d
. Аналогично, от
a ÷ b = a
следует
a=0
или
b=1
, а от каждого из
cd × b = cd
,
cd ÷ b = cd
следует
b=1
.
a + b = cd

Из этого следует, что
c=1
, потому что сумма двух 1-значных чисел не может быть больше 9+9=18, а если оба разные, то не более 9+8=17. Такой же вывод можно сделать из
cd − b = a
.
a × b = c

Особенность заключается в том, что результатом является только однозначное число, то есть меньше 10. Кроме того, все
a, b, c
разные, поэтому ни один из них не может быть 1 или 0. Таким образом, один из
a, b
должен быть 2, а другой 3 или 4, а
c
равен 6 или 8. Такой же вывод можно сделать из
c ÷ b = a
.
a × a = b

тогда
b
- квадратное число, не равное
a
и
b<10
, поэтому
a=2, b=4
или
a=3, b=9
.
c + ea = eg

Тогда первая цифра (десятки) в
ea
и в
eg
одинаковы, поэтому мы приходим к выводу, что
c + a = g
.
c + ea = fg

Тогда первая цифра (десятки) в
ea
и в
fg
различны. Это может быть связано только с переносом, поэтому мы приходим к выводу, что
e + 1 = f
и
c + a = 10 + g
.
Если число содержит более одной цифры, то крайняя левая цифра может считаться ненулевой. Если головоломка большая и состоит из 10 разных букв, то этой простой информации может быть достаточно, чтобы определить, какая буква имеет значение 0.
..a × ..b = ..5

Тогда
a
или
b
равно 5, а другое - нечетная цифра.
..a × ..b = ..7

Тогда единственными возможными значениями
a
и
b
являются 3 и 9. Произведение 1 и 7 также заканчивается на 7, но если
a
или
b
будет 7, то это будет известно.
..a × ..b = ..3

Тогда единственными возможными значениями
a
и
b
являются 7 и 9. Произведение 1 и 3 также заканчивается на 3, но если
a
или
b
будет 3, то это будет известно.
..a × ..a = ..9

Тогда единственными возможными значениями
a
являются 3 и 7.
..a × ..b = ..1

Тогда единственными возможными значениями
a
и
b
являются 3 и 7.
..a × ..a = ..1

Тогда единственными возможными значениями
a
являются 1 и 9.
..a × ..b = ..a

Эта подсказка такая же, как и самая первая, но более общая с большим количеством цифр, которые могут появиться слева от
a
и
b
. Эта подсказка появляется относительно часто. Если смотреть только на положение юнитов, то следует, что
a × b = a + k × 10
где
k
- перенос от умножения. Из этого следует, что
a × (b-1) = k × 10
. Другими словами,
a × (b-1)
должно делиться на 10! Не считая двух случаев, известных из первой зацепки: (
a = 0
) или (
b-1 = 0
) У нас есть еще 2 случая для рассмотрения: (
a = 5
и
b
четное) или (
b-1 = 5
и
a
четное).
Если логические рассуждения не помогают определить большее количество значений, то приходится догадываться и рассматривать разные случаи. Если кто-то хочет найти только одно решение, а не все, то сначала следует рассмотреть наиболее вероятные случаи. Что вероятно, а что нет? Из вышеприведенного обсуждения мы узнали, что маловероятно, чтобы стоимость единицы продукта была равна 7, 3 или 1.
Все утверждения, сделанные выше о частных, в равной степени применимы и к частным.
Левое большинство цифр многозначных чисел не может быть равным нулю.
Если в калькростике участвуют не только целые числа, но и рациональные числа, то можно сделать больше выводов:

Крайняя левая цифра в числителе и знаменателе не может быть равна нулю. Если числитель или знаменатель является однозначной цифрой, то это тоже не может быть нулем.
Если знаменатель равен однозначной цифре, то это не равно 1.
Поскольку числитель и знаменатель взаимно просты, единичные цифры числителя и знаменателя не могут быть четными. Кроме того, если обе цифры единицы измерения являются одной и той же буквой, то они не могут быть 5, а если они не являются одной и той же буквой, то не может быть такого, что одна из них равна 0, а другая - 5.

Постарайтесь найти больше подсказок, например:

Какой вывод можно сделать из
a × a = ba
? Какие значения может иметь только
a, b
?
Что следует из
eb × c = cd
? Какое значение может иметь только
e
?
Если вы знаете, что
g = 1
, то что
fg ÷ c = d
говорит вам о
f, c, d
?

Решим одну головоломку:

   ab + c = dd
    ×   −    −
    e + f =  c
    =   =    =
   fb ÷ e = ab

Последняя подсказка, приведенная выше, относится к первому столбцу. Таким образом, у нас есть 4 случая:

b=0
(невозможно, иначе первая строка должна давать
ab + c = ..c
),
e=1
(в противном случае в первом столбце невозможно
ab × 1 = ab
)
e-1=5
, то есть.
e=6
и
b
четный: 1. столбец: Если
ab × 6
является 2-значным числом (
fb
), то
a=1
, потому что уже 20×6=120 приводит к 3-значному числу. За
a=1
из первой строки следует
d=2
, потому что единица десять может увеличиться только на 1 при добавлении 1-значного числа.
b
должно быть четным в этом 3-м случае, но
b<>0, b≠2
, потому что
d=2, b≠6
, потому что
e=6, b≠8
, потому что из 1-го столбца 18×6>100. Следовательно,
b=4
, начиная с 1-й строки
c=8
и со 2-й строки
f=2
, что противоречит
e=2
. Таким образом, случай 3) не применяется.
b=5
и
e-1
является четным, то есть.
e
нечетно: Из этого следует, что
e=3
потому что
e≠1
(Кейс 2),
e≠5
(потому что
b=5
),
e<7
(потому что в 1-м столбце 15×7>100). Для
a
у нас есть ограничения:
a≠2
(потому что в противном случае из 1-й строки следует
d=a+1=3
, но у нас уже есть
e=3
) и
a<>3
(потому что
e=3
),
a<4
(т.к. из 1-го столбца 45×3>100, а не 2-значное число). Следовательно,
a=1
, из 1-й строки
d=2, c=dd - ab = 22-15=7
, из 2-й строки
f=c-e=7-3=4
дает нам решение
```
   15 + 7 = 22
    ×   −    −
    3 + 4 =  7
    =   =    =
   45 ÷ 3 = 15
```

Получайте удовольствие, пробуя нашу задачу дня!

Доступны видеорешения с дополнительными подсказками для следующих задач по калькростике из конкурсов карибу: