Детективная работа над задачами калькростики
![](/images/caribou/detective_caribou1.png)
Разгадывание калькростика похоже на осмотр места преступления в поисках улик. Ниже приведены примеры, как получить подсказки из отдельных строк головоломки.
Например, если строка, столбец или диагональ
-
a × b = a
тогдаaдолжно быть равно 0 илиbдолжно быть равно 1. Легко определить, какой случай применяется. Мы смотрим на другие строки, которые включаютaиb. Например, еслиa=0, тоc + a = c, а еслиb=1, тоc + b = d. Аналогично, отa ÷ b = aследуетa=0илиb=1, а от каждого изcd × b = cd,cd ÷ b = cdследуетb=1. -
a + b = cd
Из этого следует, чтоc=1, потому что сумма двух 1-значных чисел не может быть больше 9+9=18, а если оба разные, то не более 9+8=17. Такой же вывод можно сделать изcd − b = a.
-
a × b = c
Особенность заключается в том, что результатом является только однозначное число, то есть меньше 10. Кроме того, всеa, b, cразные, поэтому ни один из них не может быть 1 или 0. Таким образом, один изa, bдолжен быть 2, а другой 3 или 4, аcравен 6 или 8. Такой же вывод можно сделать изc ÷ b = a.
-
a × a = b
тогдаb- квадратное число, не равноеaиb<10, поэтомуa=2, b=4илиa=3, b=9. -
c + ea = eg
Тогда первая цифра (десятки) вeaи вegодинаковы, поэтому мы приходим к выводу, чтоc + a = g. -
c + ea = fg
Тогда первая цифра (десятки) вeaи вfgразличны. Это может быть связано только с переносом, поэтому мы приходим к выводу, чтоe + 1 = fиc + a = 10 + g. - Если число содержит более одной цифры, то крайняя левая цифра может считаться ненулевой. Если головоломка большая и состоит из 10 разных букв, то этой простой информации может быть достаточно, чтобы определить, какая буква имеет значение 0.
-
..a × ..b = ..5
Тогдаaилиbравно 5, а другое - нечетная цифра. -
..a × ..b = ..7
Тогда единственными возможными значениямиaиbявляются 3 и 9. Произведение 1 и 7 также заканчивается на 7, но еслиaилиbбудет 7, то это будет известно. -
..a × ..b = ..3
Тогда единственными возможными значениямиaиbявляются 7 и 9. Произведение 1 и 3 также заканчивается на 3, но еслиaилиbбудет 3, то это будет известно. -
..a × ..a = ..9
Тогда единственными возможными значениямиaявляются 3 и 7. -
..a × ..b = ..1
Тогда единственными возможными значениямиaиbявляются 3 и 7. -
..a × ..a = ..1
Тогда единственными возможными значениямиaявляются 1 и 9. -
..a × ..b = ..a
Эта подсказка такая же, как и самая первая, но более общая с большим количеством цифр, которые могут появиться слева отaиb. Эта подсказка появляется относительно часто. Если смотреть только на положение юнитов, то следует, чтоa × b = a + k × 10гдеk- перенос от умножения. Из этого следует, чтоa × (b-1) = k × 10. Другими словами,a × (b-1)должно делиться на 10! Не считая двух случаев, известных из первой зацепки: (a = 0) или (b-1 = 0) У нас есть еще 2 случая для рассмотрения: (a = 5иbчетное) или (b-1 = 5иaчетное). - Если логические рассуждения не помогают определить большее количество значений, то приходится догадываться и рассматривать разные случаи. Если кто-то хочет найти только одно решение, а не все, то сначала следует рассмотреть наиболее вероятные случаи. Что вероятно, а что нет? Из вышеприведенного обсуждения мы узнали, что маловероятно, чтобы стоимость единицы продукта была равна 7, 3 или 1.
- Все утверждения, сделанные выше о частных, в равной степени применимы и к частным.
- Левое большинство цифр многозначных чисел не может быть равным нулю.
- Если в калькростике участвуют не только целые числа, но и рациональные числа, то можно сделать больше выводов:
- Крайняя левая цифра в числителе и знаменателе не может быть равна нулю. Если числитель или знаменатель является однозначной цифрой, то это тоже не может быть нулем.
- Если знаменатель равен однозначной цифре, то это не равно 1.
- Поскольку числитель и знаменатель взаимно просты, единичные цифры числителя и знаменателя не могут быть четными. Кроме того, если обе цифры единицы измерения являются одной и той же буквой, то они не могут быть 5, а если они не являются одной и той же буквой, то не может быть такого, что одна из них равна 0, а другая - 5.
![](/images/caribou/detective_caribou2.png)
Постарайтесь найти больше подсказок, например:
-
Какой вывод можно сделать из a × a = ba? Какие значения может иметь толькоa, b?
-
Что следует из eb × c = cd? Какое значение может иметь толькоe?
-
Если вы знаете, что g = 1, то чтоfg ÷ c = dговорит вам оf, c, d?
Решим одну головоломку:
ab + c = dd × − − e + f = c = = = fb ÷ e = ab
Последняя подсказка, приведенная выше, относится к первому столбцу. Таким образом, у нас есть 4 случая:
- b=0(невозможно, иначе первая строка должна даватьab + c = ..c),
- e=1(в противном случае в первом столбце невозможноab × 1 = ab)
- e-1=5, то есть.e=6иbчетный: 1. столбец: Еслиab × 6является 2-значным числом (fb), тоa=1, потому что уже 20×6=120 приводит к 3-значному числу. Заa=1из первой строки следуетd=2, потому что единица десять может увеличиться только на 1 при добавлении 1-значного числа.bдолжно быть четным в этом 3-м случае, ноb<>0, b≠2, потому чтоd=2, b≠6, потому чтоe=6, b≠8, потому что из 1-го столбца 18×6>100. Следовательно,b=4, начиная с 1-й строкиc=8и со 2-й строкиf=2, что противоречитe=2. Таким образом, случай 3) не применяется.
- b=5иe-1является четным, то есть.eнечетно: Из этого следует, чтоe=3потому чтоe≠1(Кейс 2),e≠5(потому чтоb=5),e<7(потому что в 1-м столбце 15×7>100). Дляaу нас есть ограничения:a≠2(потому что в противном случае из 1-й строки следуетd=a+1=3, но у нас уже естьe=3) иa<>3(потому чтоe=3),a<4(т.к. из 1-го столбца 45×3>100, а не 2-значное число). Следовательно,a=1, из 1-й строкиd=2, c=dd - ab = 22-15=7, из 2-й строкиf=c-e=7-3=4дает нам решение
15 + 7 = 22 × − − 3 + 4 = 7 = = = 45 ÷ 3 = 15
Получайте удовольствие, пробуя нашу задачу дня!
Доступны видеорешения с дополнительными подсказками для следующих задач по калькростике из конкурсов карибу:
- ноябрь 2011 г., 7/8 класс вопрос 23
- Октябрь 2011, 7/8 класс вопрос 17
- май 2011 г., 7/8 класс вопрос 17
- ноябрь 2012 г., 5/6 класс вопрос 18
- Апрель 2013 г., 3/4 класс вопрос 11
- Апрель 2014 г., 3/4 класс вопрос 12
- май 2015 г., 3/4 класс вопрос 12
- Октябрь 2015 г., 3/4 класс вопрос 11
- ноябрь 2015 г., 9/10 класс вопрос 15
Следите за обновлениями или подписывайтесь на них: